ความซับซ้อน - ทฤษฎียากที่จะตรวจสอบค่าของ ?

ฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ , ลดระดับถูกกำหนดให้เป็นจำนวนตัวเลขที่สำคัญน้อยกว่าหรือเท่ากับx$\pi(x)$$x$

เราสามารถกำหนดปัญหาการตัดสินใจจาก$\pi(x)$ดังนี้:

ได้รับตัวเลขสอง$x$และ$n$เขียนในไบนารีตัดสินใจว่า$\pi(x) = n$n

วันนี้เพื่อนกับฉันกำลังพูดถึงปัญหานี้ มีอัลกอริทึม pseudopolynomial-time สำหรับปัญหานี้ - นับได้สูงสุด$x$โดยใช้การแบ่งการทดลองในแต่ละขั้นตอนเพื่อดูว่าตัวเลขมีจำนวนมากแค่ไหนและตรวจสอบว่าเท่ากับ$n$หรือไม่ ปัญหายังอยู่ใน PSPACE เนื่องจากอัลกอริทึมที่ฉันเพิ่งอธิบายสามารถนำไปใช้เพื่อใช้พื้นที่เสริมพหุนามเท่านั้น

อย่างไรก็ตามฉันมีปัญหาในการหาวิธีที่จะวางปัญหานี้ในระดับความซับซ้อนที่ต่ำกว่า ฉันไม่เห็นวิธีการสร้างตัวตรวจสอบพหุนามเวลาสำหรับปัญหาดังนั้นฉันไม่แน่ใจว่ามันอยู่ใน NP หรือไม่และฉันไม่สามารถคิดวิธีที่จะนำมันเข้าสู่ลำดับชั้นพหุนามได้เลย

คลาสความซับซ้อนที่เหมาะสมที่สุดสำหรับปัญหานี้คืออะไร

ขอบคุณ!

นี่เป็นปัญหาเปิดมาก ฉันจะวาดบางชั้นเรียนที่ปัญหาสามารถพอดีกับ "ธรรมชาติ"

คำจำกัดความของคุณค่อนข้างอึดอัดใจที่จะทำงานด้วยปัญหายากที่จะปรับให้เข้ากับระดับความซับซ้อนที่มีอยู่ ภาษาที่คุณได้กำหนดไว้เป็นจุดตัดของภาษาที่และ\} ดังนั้นถ้าเช่นอยู่ในชั้นเรียนแล้วจะอยู่ในcokสิ่งนี้ทำให้การกำหนดลักษณะของภาษาที่คุณกำหนดไว้ยากเพราะจะต้องระบุ "จุดตัดของภาษาในด้วยภาษาใน " เพื่อให้ขอบเขตที่แคบที่สุด{ ( x , n ) | π ( x ) ≥ n } { ( x , n ) | π ( x ) ≤ n } K { ( x , n ) | π ( x ) ≥ n } c o K $\{(x,n)|\pi(x)\leq n\}$$\{(x,n)|\pi(x)\geq n\}$$\{(x,n)|\pi(x)\leq n\}$$K$$\{(x,n)|\pi(x)\geq n\}$$coK$$K$$coK$

ปัญหา "Compute " เป็นปัญหาในโดยที่เป็นคลาสของปัญหาของรูปแบบ "คำนวณจำนวนเส้นทางการยอมรับของ nondeterministic, พหุนาม TM" เห็นได้ชัดว่าเราสามารถสร้าง nondeterministic TM ที่คาดเดาจำนวนและจากนั้น (ด้วย AKS) ทดสอบว่าเป็นนายกหรือไม่# $\pi(X)$$\#P$$\#P\subseteq FPSPACE$$q \leq x$$q$

ตัวแปรการตัดสินใจของคือซึ่งเป็นคลาสของภาษาที่อยู่ในรูปแบบ: "เมื่อได้รับพหุนาม nondeterministic TM อย่างน้อยครึ่งหนึ่งของเส้นทางการคำนวณยอมรับ?" ทั้งและอาจจะเป็นปัญหาที่ลดลงใน (โดยทำบางอย่าง fudging กับ TM ที่กล่าวมาข้างต้นเพื่อสร้างสมดุลจำนวนเส้นทางที่ยอมรับ)$\#P$$PP$$\{(x,n)|\pi(x)\leq n\}$$\{(x,n)|\pi(x)\geq n\}$$PP$

ปัญหาของคุณอยู่ในC P$_=$ ผ่านอัลกอริทึม$\hspace{-0.06 in}\text{,}$

$\;\;\;$ไม่ต้องเดาจำนวนเต็มเช่นและอีกเล็กน้อยถ้าปฏิเสธแล้ว ถ้าเป็นเช่นนั้น: หากยอมรับอย่างอื่นปฏิเสธ อื่น ๆ : ถ้าเป็นนายกแล้วก็ยอมรับคนอื่นปฏิเสธ$\big[$m$\: 0\leq m < 2^{\lceil \hspace{.02 in}\log_{\hspace{.02 in}2}\hspace{-0.02 in}(x+1)\rceil}\big]$b
$\;\;\;$x < m
$\;\;\;$b=1
$\;\;\;\;\;$m < n
$\;\;\;$
$\;\;\;\;\;$m

.


โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาของคุณคือยังอยู่ใน PP, ตั้งแต่PP ปิดให้บริการภายใต้การลดลงของความจริงตาราง

ในทางปฏิบัติคุณอาจได้รับคำตอบเร็วขึ้นหรือช้าลง :-(

มีการประมาณที่ดีพอสมควรสำหรับπ (x) ดังนั้นคุณคำนวณการประมาณเช่นนี้และถ้ามันอยู่ไกลเกินไปคุณก็รู้ว่าπ (x) ≠ n ตัวอย่างเช่นถ้า n ≥ x ฉันรู้ว่าπ (x) ≠ n โดยไม่คำนวณอะไรเลย

มีอัลกอริทึมที่รวดเร็วซึ่งกำหนดว่าπ (x) เป็นเลขคู่หรือคี่วิ่งใน O (x ^ (1/2)) คุณสามารถเรียกใช้อัลกอริทึมนี้และอาจตรวจพบว่าความเท่าเทียมกันของ n ผิดและคุณเสร็จแล้ว มันมีโอกาสห้าสิบถ้า n เป็นจำนวนเต็มแบบสุ่มใกล้กับπ (x)

นอกจากนั้นฉันไม่รู้วิธีใดที่เร็วกว่าการคำนวณπ (x) ซึ่งไม่สะดวกมาก - ถ้าฉันเขียนโปรแกรมที่ควรจะคำนวณπ (10 ^ 25) และฉันได้รับผลลัพธ์ที่ไม่ผิดอย่างเห็นได้ชัดไม่มีทางที่จะตรวจสอบว่าผลลัพธ์ของฉันถูกต้องนอกเหนือจากการทำซ้ำ การคำนวณ และคุณไม่สามารถคำนวณซ้ำได้โดยใช้โปรแกรมของฉันคุณต้องเขียนโปรแกรมอื่นมิฉะนั้นคุณจะไม่ตรวจสอบว่าโปรแกรมของฉันมีข้อบกพร่องใด ๆ หรือไม่ที่ทำให้การคำนวณฟังก์ชั่นแตกต่างจากπ (x) เล็กน้อย

calculated (x) สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายในประมาณ O (n ^ (2/3)) และเร็วขึ้นด้วยคณิตศาสตร์ลึก ๆ