ฉันเพิ่งได้ยินการเปรียบเทียบที่น่าสนใจซึ่งระบุว่าการพิสูจน์ของทัวริงเกี่ยวกับความลังเลของปัญหาการหยุดชะงักนั้นคล้ายกับการโต้เถียงตัดผมของรัสเซล

ดังนั้นฉันจึงสงสัยว่าในที่สุดนักคณิตศาสตร์ก็สามารถทำให้ทฤษฎีเซตสอดคล้องกันได้โดยการเปลี่ยนจากการกำหนดเขตข้อมูลที่ไร้เดียงสาของคันทอร์ไปเป็นระบบที่ซับซ้อนมากขึ้นของสัจพจน์ (ทฤษฎีเซต ZFC) ทำให้การยกเว้นสำคัญ (ข้อ จำกัด ) และการเพิ่มเติม

ดังนั้นอาจเป็นไปได้ที่จะลองคำอธิบายเชิงนามธรรมของการคำนวณทั่วไปที่ทรงพลังและแสดงออกได้ดีกว่าเครื่องทัวริงและสิ่งใดสิ่งหนึ่งที่จะได้รับการพิสูจน์อัตถิภาวนิยมหรืออาจเป็นอัลกอริธึมสำหรับแก้ปัญหาการหยุดชะงัก ทัวริงเครื่องโดยพลการ?

คุณไม่สามารถเปรียบเทียบได้ ทฤษฎีเซตไร้เดียงสามีความขัดแย้งที่ถูกกำจัดโดยทฤษฎีเซต ZFC ทฤษฎีต้องได้รับการปรับปรุงเพื่อความมั่นคงเนื่องจากข้อสมมติฐานพื้นฐานของงานวิทยาศาสตร์คือความมั่นคงสามารถทำได้ (เหตุผลอื่นกลายเป็นธุรกิจที่ไม่แน่นอน) ฉันคิดว่านักคณิตศาสตร์คาดหวังว่ามันจะเป็นไปได้และพยายามแก้ไขปัญหานี้

ไม่มีสถานการณ์เช่นนี้กับทฤษฎีการคำนวณและปัญหาการหยุดชะงัก ไม่มีความขัดแย้งไม่มีความขัดแย้ง มันเกิดขึ้นเมื่อไม่มีเครื่องจักรทัวริงที่สามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักของ TM ได้ มันเป็นเพียงทฤษฎีบทไม่ใช่ความขัดแย้ง

ดังนั้นอาจเป็นไปได้ว่าความก้าวหน้าบางอย่างในความเข้าใจของเราเกี่ยวกับจักรวาลจะนำไปสู่รูปแบบการคำนวณที่เกินกว่าที่เราจะจินตนาการได้ในตอนนี้ เหตุการณ์ดังกล่าวเพียงอย่างเดียวในรูปแบบที่อ่อนแอมากซึ่งยังคงอยู่ในขอบเขตของ TM นั้นอาจเป็นการคำนวณควอนตัม นอกเหนือจากตัวอย่างที่อ่อนแอมากซึ่งสัมผัสกับความซับซ้อน (ใช้เวลานานแค่ไหน?) มากกว่าการคำนวณ (เป็นไปได้หรือไม่) ฉันสงสัยว่าทุกคนบนโลกนี้มีเงื่อนงำที่คำนวณได้เกินกว่าที่ TM คาดไว้

นอกจากนี้ปัญหาการหยุดชะงักเป็นผลโดยตรงจากความจริงที่ว่าเครื่องจักรทัวริงสามารถอธิบายได้ด้วยข้อความที่ จำกัด ซึ่งเป็นลำดับของสัญลักษณ์ นี่เป็นเรื่องจริงสำหรับความรู้ทั้งหมดของเรา (เท่าที่เราทราบ) และนั่นคือเหตุผลที่คำพูดและหนังสือมีความสำคัญ นี่เป็นความจริงสำหรับเทคนิคทั้งหมดของเราในการอธิบายหลักฐานและการคำนวณ

ดังนั้นแม้ว่าเราจะต้องหาวิธีที่จะขยายวิธีการคำนวณของเราให้พูดกับเครื่อง T + อาจหมายความว่าเราได้ค้นพบวิธีการแสดงความรู้นอกเหนือจากการเขียนเอกสาร จำกัด ซึ่งในกรณีนี้สิ่งทั้งหมดตกอยู่ในเขตอำนาจของฉัน (ฉันอ้างว่าไร้ความสามารถอย่างแน่นอน) และอาจเป็นของคนอื่น หรือมันจะยังคงแสดงอยู่ในเอกสารที่ จำกัด ซึ่งในกรณีนี้มันจะมีปัญหาการหยุดชะงักของตัวเองสำหรับเครื่อง T + และคุณจะถามคำถามอีกครั้ง

ที่จริงแล้วสถานการณ์ไม่ได้อยู่ในสิ่งที่ตรงกันข้าม เครื่องจักรบางประเภทนั้นอ่อนแอกว่าเครื่องจักรทัวริงเช่น Linear Bounded Automata (LBA) พวกมันค่อนข้างทรงพลัง แต่มันสามารถแสดงให้เห็นได้อย่างที่มันทำกับ TM ซึ่ง LBA ไม่สามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักของ LBA ได้ แต่ TM สามารถแก้ไขได้สำหรับ LBA

ในที่สุดคุณสามารถจินตนาการแบบจำลองการคำนวณที่มีประสิทธิภาพยิ่งขึ้นโดยการแนะนำ oracle ซึ่งเป็นอุปกรณ์ที่สามารถให้คำตอบกับปัญหาที่เฉพาะเจาะจงและสามารถเรียกใช้โดย TM เพื่อหาคำตอบ แต่น่าเสียดายที่ไม่มีอยู่จริงในร่างกาย oracle-Extended TM ดังกล่าวเป็นตัวอย่างของเครื่อง T + ที่ฉันพิจารณาด้านบน บางคนสามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักของ TM (เป็นนามธรรมไม่ใช่ของจริง) แต่ไม่สามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักของตนเองได้แม้จะเป็นนามธรรม

คุณสามารถพิจารณาเครื่องทัวริงที่มี oracle สำหรับปัญหาการหยุดเครื่องจักรทัวริงทั่วไปได้เสมอ นั่นคือเครื่องใหม่ของคุณมีเทปพิเศษซึ่งสามารถเขียนคำอธิบายของเครื่องทัวริงสามัญและอินพุตของเครื่องและถามว่าเครื่องนั้นหยุดทำงานกับอินพุตนั้นหรือไม่ ในขั้นตอนเดียวคุณจะได้รับคำตอบและคุณสามารถใช้มันเพื่อทำการคำนวณต่อไป (ไม่สำคัญว่าอยู่ในขั้นตอนเดียวหรือไม่: มันจะเพียงพอหากรับประกันได้ว่ามีขั้นตอนจำนวน จำกัด )

อย่างไรก็ตามมีสองปัญหาเกี่ยวกับวิธีการนี้

1. เครื่องทัวริงที่ติดตั้ง Oracle นั้นไม่สามารถตัดสินใจปัญหาการหยุดชะงักของตนเองได้: การพิสูจน์ทัวริงของความไม่แน่นอนของปัญหาการหยุดชะงักปกติสามารถปรับเปลี่ยนได้อย่างง่ายดายกับการตั้งค่าใหม่นี้ ในความเป็นจริงมีลำดับชั้นไม่สิ้นสุดเรียกว่า "ทัวริงองศา" สร้างขึ้นโดยการให้ระดับถัดไปของลำดับชั้น oracle สำหรับปัญหาการหยุดชะงักของก่อนหน้านี้

2. ไม่มีใครเคยแนะนำวิธีที่จะสามารถใช้ oracle ได้ มันเป็นอุปกรณ์ทางทฤษฎี แต่ไม่มีใครมีเงื่อนงำใด ๆ ในการสร้างมันขึ้นมา

นอกจากนี้โปรดทราบว่า ZFC นั้นอ่อนแอกว่าทฤษฎีไร้เดียงสาในแง่ที่ไม่แข็งแกร่ง ZFC ไม่สามารถแสดงความขัดแย้งของรัสเซลได้ในขณะที่ทฤษฎีเซตไร้เดียงสาสามารถทำได้ ดังนั้นการเปรียบเทียบที่ดีกว่าคือการถามว่าปัญหาการหยุดชะงักนั้นสามารถนำไปคำนวณรูปแบบการคำนวณที่อ่อนแอกว่าเครื่องทัวริงได้หรือไม่ ตัวอย่างเช่นปัญหาการหยุดทำงานของตัว จำกัด ออโตมาตา (DFA) ที่กำหนดขึ้นได้นั้นสามารถตัดสินใจได้เนื่องจาก DFA นั้นรับประกันว่าจะหยุดสำหรับอินพุตทุกตัว

คำเตือน: คำตอบเชิงปรัชญา / ไม่เข้มงวด

สิ่งนี้อาจได้รับ "ปรัชญา" เล็กน้อย แต่ฉันคิดว่ามันเหมาะกับวิญญาณของคำถามของคุณ

เครื่องที่ไม่สามารถทำซ้ำได้

หินมุมของการพิสูจน์ปัญหาการหยุดชะงักคือเครื่องทัวริงทำงานเหมือนฟังก์ชั่น: สำหรับอินพุตเดียวกันมันให้เอาต์พุตเดียวกันเสมอ หากคุณลบคุณสมบัตินี้คุณไม่ต้องจัดการกับปัญหาการหยุด "ทั่วไป" ในแง่ที่ว่าเครื่องสามารถค้นพบคุณสมบัติของตัวเอง แต่คุณยังหลวมคุณสมบัติทางทฤษฎีที่ต้องการของเครื่องจักรเช่น

การลบคุณสมบัติ

มันเหมือนกับการเปลี่ยนจากทฤษฎีเซตไปเป็นทฤษฎีหมวดหมู่: คุณคลาย "ความขัดแย้ง" บางส่วนด้วยการสูญเสียข้อ จำกัด แต่ผลลัพธ์นั้นจัดการได้ยากกว่ามาก

ในกรณีนี้หมายความว่า: คุณจะไม่มีความคิดหากเครื่องแสดงผลลัพธ์ที่ "ถูกต้อง" ทันทีที่คุณสามารถตัดสินใจได้ว่าผลลัพธ์ใดที่ถูกต้องคุณต้องจัดการกับ "ปัญหาการหยุด" บางประเภทด้วยการใช้เครื่องกับตัวเองและสร้างความขัดแย้ง ดังนั้นเครื่องดังกล่าวอาจจะไม่เป็นประโยชน์มาก

ปัญหาการหยุดชะงักไม่ได้ถูกกำหนดขึ้นเพื่อแสดงข้อ จำกัด ของเครื่องจักรทัวริง แต่เป็นการแสดงข้อ จำกัด ของระบบลอจิกทั้งหมดซึ่งสามารถแสดงได้โดยใช้สัญลักษณ์จำนวน จำกัด เมื่อระบบลอจิกมีความสามารถในการแสดงวิธีแก้ไขปัญหาของความซับซ้อนบางอย่างมันจะมีความสามารถในการแสดงปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้ ส่วนขยายของระบบลอจิกเพียงพอที่จะแสดงวิธีแก้ไขปัญหาทั้งหมดที่ไม่สามารถแก้ไขได้ก่อนจะรวมถึงความสามารถในการแสดงปัญหาใหม่ที่ไม่สามารถแก้ไขได้

ด้วยข้อกำหนด "Enhanced Turing Machine" ใด ๆ โดยเฉพาะมันเป็นไปได้ที่จะระบุ "Super-Enhanced Turing Machine" ซึ่งสามารถตรวจสอบโปรแกรมสำหรับ ETM และรายงานว่าจะหยุดทำงานหรือไม่ แต่ SETM จะสามารถวิเคราะห์โปรแกรมสำหรับ ETM - ไม่สามารถวิเคราะห์โปรแกรม SETM ได้ ไม่มีวิธีกำหนดเครื่องที่สามารถวิเคราะห์โปรแกรมสำหรับตัวเองและตัดสินใจว่าจะหยุดทำงานหรือไม่เพราะการเพิ่มคุณสมบัติใหม่จะสร้างข้อกำหนดใหม่สำหรับการวิเคราะห์ด้วยตนเองและไม่มีวิธีที่จะทำให้คุณสมบัติ "ตามทัน" ข้อกำหนด .

เครื่องดังกล่าวได้รับการจินตนาการและจะเรียกว่าซุปเปอร์ทัวริงเครื่อง คลาสที่สำคัญหลายอย่างของเครื่องซูเปอร์ทัวริงคือ

• เครื่องจำนวนจริง (เช่นคอมพิวเตอร์อะนาล็อก)
• เครื่องทัวริงให้เวลาไม่ จำกัด
• เครื่องทัวริง Nondeterministic

ไม่ใช่เครื่องจักรทัวริงซูเปอร์ทุกคนที่สามารถแก้ปัญหาการหยุดชะงักได้ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครื่องจักรทัวริงของ Nondeterminnistic อย่างไรก็ตามเครื่องแนวคิดได้ถูกสร้างขึ้นอย่างน้อยในการทดลองทางความคิด