การต่อกันของสองภาษาปกติไม่ชัดเจนเมื่อใด

ได้รับภาษาและB , ขอบอกว่าการเรียงต่อกันของพวกเขาBเป็นที่ชัดเจนถ้าสำหรับทุกคำW ∈ Bมีอีกหนึ่งการสลายตัวW = ขกับ∈และข∈ Bและคลุมเครืออย่างอื่น (ฉันไม่รู้ว่ามีคำศัพท์ที่สร้างขึ้นสำหรับสถานที่ให้บริการนี้หรือไม่ - ยากที่จะค้นหา!) เป็นตัวอย่างที่น่าสนใจการต่อเชื่อม{ ε , a }กับตัวเองนั้นคลุมเครือ ( w = a$A$$B$$AB$$w \in AB$$w = ab$$a \in A$$b \in B$$\{\varepsilon, \mathrm{a}\}$ ) แต่การต่อกันของ { a }กับตัวเองนั้นไม่คลุมเครือ$w = \mathrm{a} = \varepsilon \mathrm{a} = \mathrm{a} \varepsilon$$\{\mathrm{a}\}$

มีอัลกอริทึมสำหรับการตัดสินใจว่าการต่อเชื่อมภาษาสองภาษาปกติไม่คลุมเครือหรือไม่?

คำแนะนำ: ให้ DFA สำหรับและBสร้าง NFA ซึ่งยอมรับคำในA B ที่มีการแยกย่อยอย่างน้อยสองแบบ NFA ติดตามสำเนาที่สองของ NFA มาตรฐานB (ที่เกิดขึ้นจากการเข้าร่วม DFAs สำหรับและBกับεเปลี่ยน) เพื่อให้มั่นใจว่าสวิทช์จากเพื่อBที่เกิดขึ้นในสองจุดที่แตกต่างกัน$A$$B$$AB$$AB$$A$$B$$\epsilon$$A$$B$

อัปเดต (ขอบคุณ Yuval Filmus)

ให้สองภาษาและYของA ∗ , ให้ X - 1$X$$Y$$A^*$ ผมอ้างว่าXYเป็นที่ชัดเจนและถ้าหากภาษาX-1X∩YY-1∩+เป็นที่ว่างเปล่า

Proof. Suppose that $XY$ is ambiguous. Then there exists a word $u$ which has two decompositions over $XY$, say $u = x_1y_2 = x_2y_1$, where $x_1, x_2 \in X$ and $y_1, y_2 \in Y$. Without loss of generality, we may assume that $x_1$ is a prefix of $x_2$, that is, $x_2 = x_1z$$z \in A^+$$u = x_1y_2 = x_1zy_1$$y_2 = zy_1$$z \in X^{-1}X \cap YY^{-1}$

$X^{-1}X \cap YY^{-1}$ contains some nonempty word $z$. Then there exist $x_1, x_2 \in X$ and $y_1, y_2 \in Y$ such that $x_2 = x_1z$ and $y_2 = zy_1$. It follows that $x_2y_1 = x_1zy_1 = x_1y_2$ and hence the product $XY$ is ambiguous.

If $X$ and $Y$ are regular, then both $X^{-1}X$ and $YY^{-1}$ are regular and thus $X^{-1}X \cap YY^{-1}$ is also regular (see Yuval's answer for an automaton accepting this language).