ปัญหาที่ undecidable และการปฏิเสธนั้นไม่สามารถตัดสินใจได้

ปัญหาที่ไม่สามารถระบุได้ "ที่มีชื่อเสียง" จำนวนมากนั้นอย่างไรก็ตาม semidecidable เป็นอย่างน้อย ตัวอย่างข้างต้นทั้งหมดอาจเป็นปัญหาการหยุดชะงักและส่วนประกอบที่สมบูรณ์

อย่างไรก็ตามทุกคนสามารถให้ฉันตัวอย่างที่ทั้งปัญหาและส่วนเติมเต็มของมันจะไม่สามารถตัดสินใจได้และไม่ semidecidable? ฉันคิดเกี่ยวกับภาษา diagonalization Ld แต่ดูเหมือนว่าฉันจะไม่สามารถอธิบายได้

ในกรณีนี้หมายความว่า Turing Machine M สามารถ "สูญเสีย" สตริงบางตัวที่ควรจดจำแทนเนื่องจากเป็นส่วนหนึ่งของภาษาที่เราพยายามจะเยื้อง

พิจารณาภาษาต่อไปนี้:

$$L_2 = \{(M_1,x_1,M_2,x_2) : \text{$M_1$ halts on input $x_1$ and $M_2$ doesn't halt on input $x_2$}\}.$$

M 2 x 2 L 2 L 2 M $L_2$นั้นไม่สามารถตัดสินใจได้และไม่สามารถได้และมันก็เหมือนกันกับส่วนประกอบทั้งหมด ทำไม? สัญชาตญาณคือ "ไม่หยุดที่อินพุต " ไม่ใช่แบบกึ่งตัดสินใจได้ดังนั้นจึงไม่สามารถเลือกแบบกึ่งได้ และเมื่อคุณดูที่ส่วนประกอบของสิ่งเดียวกันที่เกิดขึ้นสำหรับM_1สิ่งนี้สามารถทำเป็นระเบียบได้อย่างระมัดระวังมากขึ้นโดยใช้การลด$M_2$$x_2$$L_2$$L_2$$M_1$

โดยทั่วไปหากเป็นภาษาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้และไม่สามารถตัดสินใจได้แบบกึ่ง$L$

$$L' = \{(x,y) : x \in L, y \notin L\}$$

ตรงตามความต้องการของคุณ:เป็นที่ตัดสินไม่ได้และไม่ได้กึ่ง decidable และเดียวกันเป็นจริงของการเติมเต็มของL'L $L'$$L'$

โปรดทราบว่าปัญหาส่วนใหญ่ที่ท่วมท้นนั้นเป็นไปตามเกณฑ์ที่คุณกำลังมองหา: ปัญหาและส่วนประกอบนั้นไม่สามารถแยกย่อยได้ นี่เป็นเพราะมีปัญหาแบบกึ่งจำนวนมากที่นับได้ แต่มีปัญหามากมายนับไม่ได้

สำหรับตัวอย่างให้จะลังเลปัญหาสำหรับเครื่องทัวริงและให้เป็นชั้นเรียนของเครื่องทัวริงกับ Oracle สำหรับนั้น  HขอH 2จะลังเลปัญหาสำหรับ  M ฉันอ้างว่าทั้งH 2และ  ¯ H 2นั้นไม่สามารถตัดสินได้M$H$$\cal{M}$$H$$H_2$$\cal{M}$$H_2$$\overline{H_2}$

$H_2$$\cal{M}$$H$$H_2$$T$$H$$T$$\cal{M}$$H_2$$H_2$

$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H_2$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$\cal{M}$$H_2$$\cal{M}$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H$

นี่คือตัวอย่างธรรมชาติ:

• $\Pi_2^0$

• $\Pi_2^0$

• $\Sigma_3^0$

$\Pi_2^0$$\Sigma_3^0$