วิธีการตรวจสอบอย่างมีประสิทธิภาพว่าบันไดที่กำหนดนั้นถูกต้องหรือไม่?

ที่สควอชคลับในพื้นที่ของฉันมีบันไดซึ่งทำงานดังต่อไปนี้

1. ในตอนต้นของฤดูกาลเราสร้างตารางที่มีชื่อของสมาชิกแต่ละคนของสโมสรในบรรทัดแยกต่างหาก
2. จากนั้นเราเขียนจำนวนเกมที่ชนะและจำนวนเกมที่เล่นถัดจากแต่ละชื่อ (ในรูปแบบ: ผู้เล่นชนะ / เกม)

ดังนั้นในตอนต้นของฤดูกาลตารางจะมีลักษณะดังนี้:

Carol 0/0
Billy 0/0
Alice 0/0
Daffyd 0/0

ผู้เล่นสองคนอาจเล่นคู่กับผู้เล่นคนหนึ่งชนะ หากผู้เล่นที่ใกล้ที่สุดด้านล่างของตารางชนะตำแหน่งของผู้เล่นจะเปลี่ยน จากนั้นเราทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 อัปเดตจำนวนชัยชนะและเกมถัดจากผู้เล่นแต่ละคน ตัวอย่างเช่นถ้าอลิซชนะบิลลี่เราก็มี

Carol 0/0
Alice 1/1
Billy 0/1
Daffyd 0/0

การแข่งขันเหล่านี้ยังคงดำเนินต่อไปตลอดทั้งฤดูกาล

น่าเสียดายที่การอัปเดตเกิดขึ้นในลักษณะที่ค่อนข้างจับจดดังนั้นจึงเกิดข้อผิดพลาดขึ้น ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของตารางที่ไม่ถูกต้องกล่าวคือตารางที่ไม่สามารถสร้างได้โดยทำตามขั้นตอนด้านบนอย่างถูกต้องสำหรับบางคำสั่งเริ่มต้น (เราลืมคำสั่งที่เราใช้เมื่อต้นฤดูกาล) และลำดับการแข่งขันและผลลัพธ์:

Alice 0/1
Billy 1/1
Carol 0/1
Daffyd 0/0

Alice 2/3
Billy 0/1
Carol 0/0
Daffyd 0/0

Alice 1/1
Billy 0/2
Carol 2/2
Daffyd 0/1

ให้ตารางเราจะตรวจสอบได้อย่างมีประสิทธิภาพว่ามันถูกต้องอย่างไร เราสามารถเริ่มต้นด้วยการสังเกตสิ่งต่อไปนี้:

1. ลำดับของชื่อไม่สำคัญเนื่องจากเราลืมคำสั่งเริ่มต้นดั้งเดิม

2. จำนวนชนะทั้งหมดควรเป็นครึ่งหนึ่งของจำนวนเกมที่เล่นทั้งหมด (นี่แสดงให้เห็นว่าตัวอย่างแรกข้างต้นไม่ถูกต้อง)

3. สมมติว่าตารางถูกต้อง แล้วมีmultigraph - กราฟยอมรับขอบหลาย แต่ไม่มีลูป - กับแต่ละจุดสุดยอดที่สอดคล้องกับผู้เล่นและขอบแต่ละการแข่งขันเล่น จากนั้นจำนวนรวมของเกมที่เล่นโดยผู้เล่นแต่ละคนจะสอดคล้องกับระดับของจุดสุดยอดของผู้เล่นในรูปแบบมัลติ ดังนั้นหากไม่มีมัลติริจิคที่มีองศาของจุดยอดที่เหมาะสมตารางจะต้องไม่ถูกต้อง ตัวอย่างเช่นไม่มีมัลติริบก์ที่มีจุดสุดยอดหนึ่งองศาหนึ่งและหนึ่งในสามองศาดังนั้นตัวอย่างที่สองนั้นไม่ถูกต้อง [เราสามารถตรวจสอบการมีอยู่ของงานประดิษฐ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ]

ดังนั้นเราจึงมีการตรวจสอบสองครั้งที่เราสามารถนำไปใช้กับการเริ่มต้นด้วย แต่สิ่งนี้ยังอนุญาตตารางที่ไม่ถูกต้องเช่นตัวอย่างที่สาม หากต้องการดูว่าตารางนี้ไม่ถูกต้องเราสามารถทำงานย้อนกลับหมดวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตารางที่อาจเกิดขึ้น

ฉันสงสัยว่าทุกคนสามารถนึกถึงเวลาพหุนาม (ในจำนวนผู้เล่นและจำนวนของเกม) อัลกอริทึมในการแก้ปัญหาการตัดสินใจนี้หรือไม่?

นี่ไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์ ฉันให้คำอธิบายปัญหาที่ง่ายขึ้นและมีข้อสังเกต

เราเริ่มต้นด้วยกราฟที่จุดที่ถูกกำกับด้วย ]$[n]$

เรามีการดำเนินงานที่เพิ่มขอบกำกับจากเพื่อยูกราฟและหากลิตรขอีลิตร( วี) < ลิตรขอีลิตร( U )สวิทช์ป้ายชื่อของพวกเขา$v$$u$$label(v)<label(u)$

ให้กราฟหลายกำกับกับnยอดและeขอบตรวจสอบว่าสามารถรับได้โดยใช้การดำเนินการข้างต้น$G$$n$$e$

มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าปัญหาอยู่ใน : ใบรับรองเป็น (ขนาดพหุนาม) ลำดับของการดำเนินงานที่เกิดในG$\mathsf{NP}$$G$

การสังเกต

ดูเหมือนว่าเราสามารถสรุปได้โดยไม่สูญเสียความเอนเอียงไปที่ขอบทั้งหมดไปยังจุดสุดยอดสุดท้ายจะถูกเพิ่มที่ส่วนท้ายของลำดับและขอบทั้งหมดจากมันจะถูกเพิ่มเข้ามาเมื่อเริ่มลำดับ สิ่งนี้สามารถทำให้เป็นจุดทั่วไปได้ สมมติว่าเรามีลบทุกจุดที่มีป้ายขนาดใหญ่กว่า ) เพิ่มขอบทั้งหมดถึงvที่ส่วนท้ายของลำดับและเพิ่มขอบทั้งหมดจากvที่จุดเริ่มต้นของลำดับ$label(v)$$v$$v$

ฉันคิดว่ามันควรจะเป็นไปได้ที่จะรวมการสังเกตนี้กับHavel-Hakimiเพื่อเป็นอัลกอริธึมเวลาพหุนาม

ฉันยังไม่ได้แก้ปัญหา แต่มีผลลัพธ์บางส่วนงบที่ได้รับด้านล่าง ฉันจะเขียนบทพิสูจน์หากใครสนใจ

เรื่อง สมมติว่าบันได (1) มีผู้เล่นมากกว่าหนึ่งคน (2) มีจำนวนชนะและแพ้เท่ากัน และ (3) เป็นเช่นที่ผู้เล่นแต่ละคนชนะอย่างน้อยหนึ่งเกมและแพ้อย่างน้อยหนึ่งเกม จากนั้นบันไดก็ใช้ได้

$W_i$$i$$L_i$$i$$R_i$

$L_i=0$