มีปัญหาใด ๆ ที่คำนวณได้ง่าย แต่ยากต่อการตรวจสอบหรือไม่?

สมมติว่า P NP ปัญหา NP-สมบูรณ์ "ยากที่จะแก้ปัญหา แต่มีคำตอบที่ง่ายต่อการตรวจสอบ." มันสมเหตุสมผลหรือไม่ที่จะต้องพิจารณาสิ่งที่ตรงกันข้ามนั่นคือปัญหาที่ง่ายต่อการคำนวณคำตอบที่ถูกต้อง แต่ยากที่จะตรวจสอบวิธีการแก้ปัญหาโดยพลการหรือไม่? $\neq$

ฉันคิดว่าปัญหาดังกล่าวจะบอกเป็นนัย:

คำตอบที่ "ถูกต้อง" จำนวนมากชี้แจงสำหรับอินพุตใด ๆ ที่ได้รับเพราะมิฉะนั้นการตรวจสอบสามารถทำได้โดยเพียงแค่คำนวณคำตอบที่ถูกต้องทั้งหมด
บางคำตอบที่ "ถูกต้อง" นั้นง่ายต่อการคำนวณ แต่คนอื่นหาได้ยาก

complexity-theory

— rphv
แหล่งที่มา

ฉันสงสัยมัน. หากคำตอบนั้นง่ายต่อการคำนวณทางเลือกของใบรับรองนั้นง่าย: จัดหาคำตอบที่มีปัญหาและ "ตรวจสอบ" คำตอบโดยการแก้ปัญหาและดูว่าคำตอบที่อ้างนั้นเป็นคำตอบจริงหรือไม่

— Patrick87

@ Patrick87 - ฉันคิดว่าฉันพูดถึงเรื่องนี้ในคำถาม สิ่งที่เกี่ยวกับฟังก์ชั่นหลายมูลค่า

บริษัท ร่วมที่ชุดของค่า

กับอินพุต

? สมมติว่า

และนั่นเป็นเรื่องง่ายที่จะเลือกองค์ประกอบจาก

แต่เมื่อให้

มันยากที่จะตัดสินว่า

f

$f$

I_{f} (x) = {y_{1}, y_{2}, \dots}

$I_f(x) = \{y_1, y_2, \dots \}$

x

$x$

| I_{f} (x) | = 2^{| x |}

$|I_f(x)| = 2^{|x|}$

I_{f} (x)

$I_f(x)$

z

$z$

)

z \in I_{f} (x)

$z \in I_f(x)$

— rphv

@ Patrick87 แก้อาจจะกำหนดและการส่งออกเพียงอย่างใดอย่างหนึ่งของคำตอบที่มีอยู่ทั้งหมด จากนั้นคุณต้องการวิธีที่มีประสิทธิภาพในการตรวจสอบว่ามีวิธีแก้ปัญหาสองวิธีที่เทียบเท่ากันหรือไม่ ความเท่าเทียมกันในเซตนั้นยากกว่าการแก้ปัญหาหรือไม่?

— กราฟิลส์

ฉันพลาดส่วนนั้นจริงๆขอโทษ ยังฉันมีแนวโน้มที่จะสงสัยหลักฐาน ฉันจะคิดถึงมันให้มากขึ้นและกลับมาอีกถ้าฉันมีความคิดที่ตรงประเด็นมากกว่านี้

— Patrick87

ใบรับรองมักจะหมายถึงว่ามีวิธีที่ง่ายที่จะสร้างหลักฐานดังนั้นโดยความหมายถ้าคุณให้การรับรองการตรวจสอบเป็นเรื่องง่าย วิธีแก้ปัญหาที่ไม่มีใบรับรองอาจเป็นเรื่องยาก

— Gilles 'SO- หยุดความชั่วร้าย'

คำตอบ:

หากคุณพอใจกับปัญหาเทียมคุณสามารถสร้างปัญหาได้มากมาย นี่คือบางส่วน:

ป.ร. ให้ไว้เป็นจำนวนเต็มบวกnในเอกตอบสูตร 3CNF พอใจในnตัวแปรบูลีน
การให้หนึ่งสูตร 3CNF ที่น่าพอใจนั้นเป็นเรื่องง่าย แต่การตัดสินใจว่าสูตร 3CNF ที่กำหนดนั้นเป็นที่น่าพอใจหรือไม่คือ 3SAT ซึ่งเป็นปัญหา NP-complete ที่รู้จักกันดี
ไม่มีอินพุต เพียงแค่ตอบเครื่องทัวริงที่หยุด (เมื่อทำงานด้วยเทปเปล่า)
การให้เครื่องจักรทัวริงหนึ่งเครื่องนั้นเป็นเรื่องง่าย แต่เครื่องทัวริงที่ให้ไว้จะหยุดหรือไม่สามารถตัดสินใจได้

เพิ่มเติม : โดยวิธีการที่ฉันไม่คิดว่าสิ่งที่คุณเขียนในวรรคสุดท้ายถือ:

ฉันคิดว่าปัญหาดังกล่าวจะบอกเป็นนัย ๆ ว่าคำตอบ "ถูกต้อง" จำนวนมากสำหรับอินพุตใดก็ตามเนื่องจากการตรวจสอบสามารถทำได้โดยการคำนวณคำตอบที่ถูกต้องทั้งหมด

หากปัญหามีทางออกเดียวการตรวจสอบคำตอบนั้นไม่ยากกว่าการคำนวณโซลูชันที่ถูกต้อง อย่างไรก็ตามหากปัญหามีวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายและวิธีแก้ปัญหาที่ยากคุณจะไม่สามารถคำนวณโซลูชันทั้งหมดได้อย่างมีประสิทธิภาพ นี่คือปัญหาหนึ่งดังกล่าว (ซึ่งประดิษฐ์ขึ้นมา):

ได้รับเครื่องทัวริงM , หนึ่งคำตอบของงบต่อไปนี้ที่เป็นจริง:“ Mหยุดในเทปการป้อนข้อมูลที่ว่างเปล่า”,“ เอ็มไม่ได้หยุดในเทปการป้อนข้อมูลที่ว่างเปล่า” และ“ Mเป็นเครื่องทัวริง”.
ให้แก้ปัญหาหนึ่งเป็นเรื่องง่าย : คุณสามารถเลือก“ Mเป็นเครื่องทัวริง” ได้เสมออย่างไรก็ตามไม่ว่าคำตอบที่ได้รับนั้นถูกต้องหรือไม่ก็ไม่สามารถตัดสินใจได้ โปรดทราบว่าในปัญหานี้มีเพียงสองวิธีเท่านั้นสำหรับแต่ละอินสแตนซ์

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

มีวิธีที่สมเหตุสมผลในการกำหนดอย่างเป็นทางการว่าอะไรคือปัญหาที่เกิดขึ้น "ประดิษฐ์"? (โดย“ สมเหตุสมผล” ฉันหมายถึงสิ่งที่เราสามารถยอมรับได้อย่างกว้างขวางเช่นบอกว่าคำจำกัดความของ“ คำนวณ” จับสัญชาตญาณของเราในสิ่งที่ควรหมายถึง)

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'

@Gilles: ไม่ฉันไม่คิดอย่างนั้น ฉันเรียกว่าปัญหาเหล่านี้“ ประดิษฐ์” เพราะไม่น่าเป็นไปได้มากที่ใครบางคนจะพบปัญหาเหล่านี้ก่อนแล้วจึงพบว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะให้คำตอบเดียวและยากที่จะตัดสินความถูกต้องของผู้สมัครที่ได้รับคำตอบ แต่“ การประดิษฐ์” นี้ไม่ได้เป็นความคิดที่เข้มงวด

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi Ito - ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ชัดเจน ฉันได้แก้ไขย่อหน้าสุดท้ายเพื่อสะท้อนความเข้าใจของคุณ

— rphv

แม้ว่าคำตอบของ Tsuyoshi Ito จะครอบคลุมคำตอบ "หลัก" แต่ก็มีโน้ตย่อยสองตัวที่ฉันต้องการเพิ่ม

แม้ว่าการแก้ปัญหาจะยากในการตรวจสอบการตรวจสอบการแก้ปัญหายังคงเป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบด้วยสตริงหลักฐานสั้น ๆ นั่นคือโดยการขยายโซลูชันเล็กน้อยด้วยข้อมูลเพิ่มเติมมันจะตรวจสอบได้ง่าย การตรวจสอบอยู่เสมอใน NP วิธีหนึ่งในการดูสิ่งนี้คือเอเจนต์ที่ประมวลผลโซลูชันสามารถบันทึกบิตสุ่มทั้งหมดที่ใช้แล้วตัวตรวจสอบสามารถใช้สตริงสุ่มเดียวกันนั้นเพื่อดำเนินการคำนวณแบบเดียวกัน (ผู้ตรวจสอบจะต้องใช้บิตสุ่มมิฉะนั้นพวกเขามักจะออกคำตอบเดียวกันและผู้ตรวจสอบสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายโดยการคำนวณคำตอบด้วยวิธีเดียวกัน)
สำหรับคอมพิวเตอร์ควอนตัมนี่เป็นคำถามที่เปิดกว้างมาก สำหรับคอมพิวเตอร์แบบคลาสสิคตัวตรวจสอบสามารถทำสิ่งต่าง ๆ เช่นการเลียนแบบผู้ตรวจสอบและตรวจสอบว่าพวกเขาได้รับคำตอบเดียวกัน เป็นไปได้ทั้งหมดว่าสำหรับปัญหาที่ยุ่งยากบางอย่างมีอัลกอริทึมควอนตัมที่สร้างการกระจายที่สม่ำเสมอในโซลูชันทั้งหมด (จำนวนมากแทน) ซึ่งยากต่อการตรวจสอบ คุณไม่สามารถเรียกใช้งานสุภาษิตซ้ำได้เนื่องจากคุณจะได้รับคำตอบที่แตกต่างกันในแต่ละครั้ง

ตัวอย่างของปัญหาที่คล้ายกันปัญหาของ Deutsch-Jozsa ได้รับความทุกข์ทรมานจากเรื่องนี้เล็กน้อย หาก oracle ไม่ใช่ฟังก์ชันที่สมดุลแล้วคอมพิวเตอร์ควอนตัมสามารถระบุได้อย่างรวดเร็วว่าเป็นกรณีนี้ แต่ไม่มีข้อพิสูจน์สั้น ๆ ที่จะอนุญาตให้คอมพิวเตอร์แบบดั้งเดิมตรวจสอบสิ่งนี้ (นี่เป็นเพียงปัญหา "ที่คล้ายกัน" เพราะยังสามารถตรวจสอบได้โดยคอมพิวเตอร์ควอนตัมเครื่องอื่นและการตรวจสอบก็อยู่ใน BPP แบบคลาสสิกแม้ว่าจะไม่ได้อยู่ใน P)

— Alex Meiburg
แหล่งที่มา