บีเวอร์ไม่ว่างเป็นฟังก์ชั่นที่เติบโตเร็วที่สุดที่มนุษย์รู้จัก

24

ฉันเพิ่งมีคำถามที่น่าสนใจนี้ ฟังก์ชั่นที่เติบโตเร็วที่สุดที่มนุษย์รู้จักกันคืออะไร? มันเป็นช่องคลอดไม่ว่าง ?

เรารู้ว่าฟังก์ชั่นเช่น $x^2$ แต่ฟังก์ชั่นนี้เติบโตช้ากว่า $2^x$ ซึ่งจะเติบโตช้ากว่า $x!$ ซึ่งจะเติบโตช้ากว่า $x^x$ xจากนั้นเราสามารถรวมฟังก์ชั่นเพื่อให้มี $(x^x)!$ ที่เติบโตเร็วกว่า $x^x$ และอื่น ๆ

จากนั้นเราก็มาถึงฟังก์ชั่นวนซ้ำเช่นฟังก์ชันของ Ackermann $A(x,x)$ ที่เติบโตเร็วกว่า $(x^x)!$ . จากนั้นผู้คนถึงกับฟังก์ชั่นBeaver $B(x)$ ทำงานเร็วกว่าฟังก์ชั่นของ Ackermann

ณ จุดนี้ฉันไม่เคยได้ยินเกี่ยวกับฟังก์ชั่นอื่น ๆ ที่เติบโตเร็วกว่าบีเวอร์ที่ยุ่ง มันหมายความว่าไม่มีฟังก์ชั่นอื่น ๆ ที่สามารถเติบโตได้เร็วกว่าบีเวอร์ที่ยุ่งหรือเปล่า? (นอกเหนือจากแฟกทอเรียลของ $B(x)$ และเช่น $A(B(x), B(x))$ ฯลฯ )

computability

— bodacydo
แหล่งที่มา

25

บีเวอร์ไม่ว่าง ^ 2 เติบโตเร็วขึ้น

— artistoex

2

@vzn เหตุใดการเติบโตจึงเหมาะสมสำหรับฟังก์ชันที่คำนวณได้ การเติบโตแบบเชิงซีโมติกเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เกี่ยวข้องกับความสามารถในการคำนวณเลย

— Raphael

8

@vzn สำหรับ BB อัตราการเติบโตแสดงถึงความไม่สามารถคำนวณได้ แต่ความไม่สามารถประมวลผลได้ไม่ได้หมายความถึงอัตราการเติบโตที่สูง

— Sasho Nikolov

6

สวัสดี @vzn ฟังก์ชัน

ดังกล่าวที่

หากเครื่องทัวริงของ

หยุดทำงานและ

เป็นอย่างอื่นไม่สามารถคำนวณได้ แต่จะเติบโตช้ากว่าฟังก์ชัน Ackerman ในทางกลับกันมันเป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ว่าสำหรับบางคนคงคง

สำหรับทุก

, บีบี

Ackerman

)

หากไม่ใช่กรณีนี้คุณสามารถแก้ไขปัญหาการหยุดทำงานได้โดยการรันเครื่องทัวริง

มีความยาวคำอธิบาย

f

$f$

f (n) = 1

$f(n) = 1$

n

$n$

f (n) = 0

$f(n) = 0$

c

$c$

n > c

$n > c$

(n) >

$(n) >$

(n)

$(n)$

T

$T$

สำหรับขั้นตอนAckerman

และดูว่าหยุดก่อนหรือไม่

n

$n$

(n)

$(n)$

— แอรอน

4

@vzn บางทีคุณอาจจะมีความคิดของผู้อื่น "เติบโตได้เร็วขึ้น" .. สิ่งที่ฉัน (และผมเชื่อว่าคนอื่น ๆ ) หมายถึงเป็นส่วนคำสั่งที่ได้รับจาก

)

f = ω (g)

$f = \omega(g)$

— Sasho Nikolov

49

ฟังก์ชั่นช่องคลอดไม่ว่างเติบโตเร็วกว่าฟังก์ชันคำนวณ อย่างไรก็ตามมันสามารถคำนวณได้โดยเครื่องจักรทัวริงซึ่งได้รับอนุญาตให้เข้าถึง oracle เพื่อแก้ปัญหาการหยุดชะงัก จากนั้นคุณสามารถกำหนดฟังก์ชั่นบีเวอร์ "อันดับสอง" ที่เติบโตเร็วกว่าฟังก์ชั่นใด ๆ ที่สามารถคำนวณได้แม้กับเครื่องทัวริงที่มีออราเคิลสำหรับปัญหาการหยุดชะงัก คุณสามารถทำสิ่งนี้ได้ตลอดไปโดยสร้างลำดับขั้นของฟังก์ชั่นช่องคลอดที่ยุ่ง ๆ

ดูบทความที่ดีเยี่ยมของ Scott Aaronson ในหัวข้อนี้ใครจะบอกชื่อหมายเลขที่ใหญ่กว่า .

— แอรอน
แหล่งที่มา

คุณมีทรัพยากร / เหตุผลว่าทำไม oracle TM สำหรับ HALT_TM สามารถแก้ปัญหาช่องคลอดที่ยุ่งได้หรือไม่?

— Ryan

1

Ryan: การแก้ปัญหาหยุดชะงักคือ (คำนวณ) เทียบเท่ากับการรู้ Busy Beaver 1) program[length=n]หยุดหรือไม่ จำลองเป็นBusyBeaver(n)ขั้นตอน 2) คืออะไรBusyBeaver(n)? สำหรับทุกโปรแกรมที่มีความยาว <n ให้ทิ้งไปถ้ามันหยุดและทำคะแนนสูงสุดในแต่ละรายการ

— ninjagecko

@ninjagecko คุณหมายถึงว่าไม่ได้หยุดพัก

— PyRulez

35

$f,g\colon \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ $g$ $f$

lim_{n \to \infty} \frac{g (n)}{f (n)} = \infty .

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{g(n)}{f(n)} = \infty.$

f

$f$

g

$g$

f

$f$

g (n) = n f (n) .

$g(n) = nf(n).$

f_{n}

$f_n$

g

$g$

g (n) = n max_{m \leq n} f_{m} (n) .

$g(n) = n \max_{m \leq n} f_m(n).$ คำถามธรรมชาติที่ถามคือมี "ระดับ" ของฟังก์ชันที่เติบโตเร็วที่สุดหรือไม่ นี้เป็นชุดเดียวกับที่สั่งซื้อของฟังก์ชันซึ่งก็คือ "cofinal" คือว่าให้ฟังก์ชั่นใด ๆมีฟังก์ชั่นเติบโตเร็วg _(แทนที่จะเป็นชุดที่ได้รับคำสั่งอย่างดีเราสามารถพูดถึงห่วงโซ่อย่างเท่าเทียมกันนั่นคือฟังก์ชั่นใด ๆ ในชุดจะต้องเทียบเคียงกันได้) การดำรงอยู่ของเครื่องชั่งเป็นอิสระจาก ZFC: สมมติว่า CH มีระดับ ในขณะที่อยู่ในรูปแบบของโคเฮนที่ปลอมแปลง CH (เพิ่ม reals) ไม่มีสเกลอยู่

g_{α}

$g_\alpha$

f

$f$

g_{α}

$g_\alpha$

ω_{1}

$\omega_1$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

5

คำตอบอื่น ๆ ตอบคำถามโดยตรง สำหรับพื้นหลังที่ลึกล้ำมากขึ้นกระดาษนี้โดย Lafitte ในตัวแบบพิจารณาบริบทที่ใหญ่ขึ้นของฟังก์ชั่นที่คล้ายกับช่องคลอดที่ยุ่ง นอกจากนี้ยังมีผลลัพธ์และทฤษฎีบางอย่างที่เหมาะสมกับแนวคิดในกรอบทั่วไปที่กว้างขึ้น มันแสดงให้เห็นว่า "ฟังก์ชั่นที่คล้ายกับช่องคลอดที่ไม่ว่าง" นั้นมีการเชื่อมต่ออย่างใกล้ชิดกับปรากฏการณ์ที่ไม่สมบูรณ์ของ Chaitin (ทฤษฎีบท 2.1) นอกจากนี้ยังแสดงให้เห็นว่ามีทฤษฎีที่ไม่ "มีประสิทธิภาพ" มากพอที่จะ "เข้าใจ" ฟังก์ชั่นที่คล้ายกับบีเวอร์ที่ยุ่งเช่นพวกเขาไม่สามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีเหล่านั้นเนื่องจากความไม่สมบูรณ์ที่เกี่ยวข้องกับ Godel มันแสดงให้เห็นความคิดในการสมมติว่าผลลัพธ์แบบบีเวอร์ยุ่งเหยิงเช่นสัจพจน์และความก้าวหน้าเชิงตรรกะของทฤษฎีที่ให้ผลลัพธ์คล้ายกับความคิดที่สร้างสรรค์โดยทัวริง

[1] บีเว่อร์ไม่ว่างก็หายไปจากGrégory Lafitte นามธรรม:

เราแสดงผลลัพธ์ที่ไม่สมบูรณ์à la Chaitin โดยใช้ฟังก์ชั่นช่องคลอดที่ยุ่ง จากนั้นด้วยความช่วยเหลือของลำดับลอจิคัลเราจะแสดงให้เห็นถึงวิธีการรับทฤษฎีที่สามารถสร้างค่าของฟังก์ชันบีเวอร์ที่ยุ่งและพิสูจน์ได้เพื่อใช้เป็นโครงสร้างในการพิสูจน์คุณค่าของฟังก์ชั่นเหล่านี้

— vzn
แหล่งที่มา

คำตอบอื่นนั้นแตกต่างอย่างสิ้นเชิง อืมการพูดของ "การเน้นภาษา" จะเป็นตัวอย่างของผู้ดำเนินรายการที่พูดว่า"ไม่มีนรก" ? อย่างไรก็ตามตัวย่อสามารถถูกมองว่าเป็นของกำนัลสำหรับผู้ที่ต้องการได้รับ +2 สำหรับการแก้ไข =)

— vzn

1

คุณบอกตัวเองว่าสิ่งนี้ไม่ได้ตอบโดยตรงดังนั้นทำไมคุณถึงไม่โพสต์เป็นความคิดเห็น?

— Raphael

0

ทฤษฎีลำดับชั้นของเวลาและพื้นที่ของ Hartmanis-Stearns พิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชั่น "เติบโตเร็วที่สุด" ในแง่ของเวลาหรือพื้นที่เนื่องจากสเกลไม่ได้ จำกัด ขอบเขต แต่จะให้การสั่งซื้อเพื่อให้สามารถเปรียบเทียบฟังก์ชั่นคำนวณ / เรียกซ้ำได้ดี แต่ฟังก์ชั่นคณิตศาสตร์ "ที่เติบโตอย่างรวดเร็ว" จำนวนมากดูเหมือนจะไม่ได้รับการประเมินในแง่ของความซับซ้อนของเวลา / พื้นที่จนถึงแม้ว่ามันจะค่อนข้างชัดเจนหรือแม้กระทั่งจ้องมอง "ช่องว่าง" ทางทฤษฎีเพื่อเติม การทำเช่นนั้นอาจนำไปสู่ "ทฤษฎีบทสะพาน" ที่สำคัญ

— vzn
แหล่งที่มา