การคำนวณที่ไม่มีที่สิ้นสุดในเวลา จำกัด

นี่อาจจะเป็นความคิดที่โง่ แต่สมมติว่าเรามีคอมพิวเตอร์ที่โปรแกรมที่จะดำเนินการลำดับอนันต์ของการคำนวณและคิดว่าที่การคำนวณจะใช้เวลาวินาทีให้เสร็จสมบูรณ์ จากนั้นคอมพิวเตอร์เครื่องนี้สามารถทำการคำนวณจำนวนอนันต์ในเวลา จำกัด $i^\text{th}$ $1/2^i$

ทำไมเป็นไปไม่ได้ มีขอบเขตล่างหรือไม่ว่าต้องใช้เวลานานเท่าใดในการคำนวณที่ไม่สำคัญ?

computability computation-models

— dsaxton
แหล่งที่มา

แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณที่ใช้พลังงานอนันต์ จำกัด : ปัญญานิรันดร์ของไดสัน

— ปีเตอร์

คำตอบ:

นี้ "ชนิด" ของเครื่องคอมพิวเตอร์เป็นที่รู้จักกันเป็นเครื่องนักปราชญ์ รูปแบบการคำนวณของมันตกอยู่ในประเภทที่เรียกว่าHypercomputation แบบจำลอง Hypercomputational เป็นนามธรรมทางคณิตศาสตร์และเนื่องจากวิธีการที่พวกเขาถูกกำหนดให้ทำงานพวกเขาไม่สามารถเป็นไปได้ทางร่างกาย

ยกตัวอย่าง Zeno Machine ของคุณ ถ้าเราจินตนาการว่า Zeno Machine นั้นเป็นเครื่องคิดเลขไม่ว่าจะใช้ลูกคิดหรือวงจรรวมไม่สำคัญ สมมติว่าข้อมูลโปรแกรมที่ใช้โดยเครื่องถูกป้อนเข้าด้วยเทปสัญลักษณ์ยาวเหยียด (เช่นเครื่องทัวริง)

แน่นอนเรารู้จากคณิตศาสตร์ว่า:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}... = \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n$

ซึ่งเราบอกว่าจะมีค่าเท่ากับ1ดังนั้นการคำนวณควรเสร็จสมบูรณ์ใน 1 วินาทีเพราะผลรวมจะมาบรรจบกันอย่างแน่นอน $1$

แต่ลู่นี้เป็นของหลักสูตรขึ้นอยู่กับไป (และถึง) อินฟินิตี้ ในความหมายทางกายภาพนี่หมายความว่าเมื่อเวลาที่ใช้ในการคำนวณแต่ละครั้งน้อยลง "หัวอ่าน" ของเครื่องคำนวณจะต้องซิปตามสัญลักษณ์ในเทปเร็วขึ้นและเร็วขึ้น ในบางจุดความเร็วนี้จะเกินความเร็วแสง $n$

ดังนั้นการตอบคำถามที่สองของคุณขอบเขตที่เป็นไปได้น้อยที่สุดที่แน่นอนในการคำนวณอาจเป็นไปตามลำดับของเวลาพลังค์เนื่องจากความเร็วแสงเป็นปัจจัย จำกัด หลักในทางทฤษฎี แต่แบบจำลองการคำนวณทางกายภาพ

— ทฤษฎีทุกอย่าง
แหล่งที่มา

นอกจากนี้ยังมีความต้องการพลังงานสำหรับการดำเนินงานแต่ละพลิกบิต

ครั้งต้องใช้คำสั่งหลายขนาดพลังงานมากขึ้นกว่าที่อยู่ในดวงอาทิตย์ของเรา

2^{256}

$2^{256}$

— คนที่คลั่งไคล้วงล้อ

โปรแกรมนี้: 10: GOTO 10เสร็จสิ้นบนเครื่อง Zeno หรือไม่?

— Cano64

ในแง่ที่ง่ายขึ้นคณิตศาสตร์อนุมานว่า "การคำนวณ" สามารถหารได้อย่างไร้ขอบเขตในขอบเขต อย่างไรก็ตามนั่นไม่ใช่กรณีของเครื่องจักรที่มีอยู่จริงเพราะในที่สุดคุณก็มาถึงจุดที่คุณได้ทำงานที่มีขนาดเล็กที่สุดซึ่งเครื่องสามารถทำงานได้ ไม่สามารถทำการแบ่งย่อยการคำนวณต่อไปหลังจากจุดนั้นแม้ว่าคณิตศาสตร์จะอนุญาตให้คุณ กล่าวอีกนัยหนึ่งเครื่องก็โหยหานานก่อนที่คุณจะเข้าใกล้จุดสิ้นสุดของการคำนวณแบบไม่สิ้นสุด ในบางจุดเวลาต่อการคำนวณหยุดลดลงและคุณต้องการเวลาที่ไม่สิ้นสุด

— aroth

@ Cano64 ฉันไม่คิดอย่างนั้น ฉันเชื่อว่าเกณฑ์สำหรับความสามารถในการตัดสินใจในการไฮเปอร์คอมโพสิตนั้นคือเวลารวมของการคำนวณมาบรรจบกันอย่างแน่นอน

— ทฤษฎีทุกอย่าง

เวลาในการคำนวณแบบดั้งเดิมนั้นถูก จำกัด ด้วยความเร็วของแสงและขนาดของอะตอมเท่าที่เราเข้าใจฟิสิกส์ในวันนี้ 15 กันยายน 2558

หน่วยการคำนวณจะต้องสร้างจากสิ่งที่มีขนาดไม่เป็นศูนย์ (อะตอม) และสำหรับการคำนวณในการทำงานไฟฟ้าหรือแสงจะต้องทำการซิปข้ามมันซึ่งจะถูก จำกัด ด้วยระยะเวลาที่ใช้แสงในการซิปข้ามที่ไม่ใช่ ระยะทาง -zero

— เดฟคลาร์ก
แหล่งที่มา

ตัวอย่างหนึ่งที่เป็นรูปธรรมในประวัติศาสตร์ที่ผ่านมาของวิทยาศาสตร์ในการผลักดันขอบเขตคือmagnetoresistance ยักษ์การค้นพบที่ได้รับรางวัลโนเบลที่ได้รับอนุญาตสำหรับความหนาแน่นของข้อมูลบนฮาร์ดไดรฟ์ก่อนหน้านี้คิดว่าเป็นไปไม่ได้ มีอีกมากมายถ้าคุณย้อนกลับไป พยายามอธิบายความเป็นไปได้ของ "สมาร์ทโฟน" ถึงบุคคลจาก 1500 AD (พวกมันอาจจะเผาคุณเป็นแม่มดดังนั้นระวังด้วย) ดังนั้นฉันคิดว่าเราไม่ควรคิดว่าความรู้ทางฟิสิกส์ของเราในปัจจุบันทำให้เกิดความยากลำบากในสิ่งที่เป็นไปได้

— Raphael

-1

$\Sigma_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^n$ $1$

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{4}$

$c_1$ $c_1$

แก้ไข : ตามที่ระบุโดย @aroth การเปรียบเทียบนี้จะถือว่าเราสามารถแบ่งน้ำได้ตลอดไป ไม่มีอะตอมที่เล็กที่สุดที่แยกไม่ออก ซึ่งทำให้เกิดจุดที่น่าสนใจ (ฉันคิดว่า) ซึ่งเราต้องสมมติให้เวลาหารด้วยตัวเองโดยพลการเพื่อให้การคำนวณสิ้นสุดในเวลา จำกัด

— epa095
แหล่งที่มา

"และเห็นได้ชัดว่าคุณจะมีน้ำมากขึ้นในถังสีน้ำเงินเพื่อเทลง" - ไม่จำเป็นเสมอไป ด้วยอุปกรณ์เทอย่างแม่นยำคุณจะไปถึงจุดที่มีน้ำ 2 โมเลกุลในถังสีฟ้า จากนั้น 1 โมเลกุล จากนั้นคุณก็เทโมเลกุลตัวสุดท้ายหรือไม่ก็ หรือคุณแยกมันออกเป็นอะตอมฐาน แต่ก็ไม่ใช่น้ำอีกต่อไป (หรือเทลงที่ STP) ประเด็นคือคุณจะต้องลงไปที่โมเลกุลสุดท้ายของน้ำก่อนที่คุณจะไปถึงจุดสิ้นสุดของอนุกรมอนันต์ดังนั้นจะไม่มีน้ำอยู่ในถังสีน้ำเงินเสมอไป

— aroth

@aroth: ใช่จริงสำหรับการเปรียบเทียบในการทำงานคุณต้องคิดเกี่ยวกับน้ำเป็นที่พอใจ "ความหนาแน่น" ชนิด "เสมอหาร" จุดของคุณน่าสนใจเพราะมันเป็นสิ่งที่สำคัญ สำหรับการคำนวณให้เสร็จในเวลาที่ จำกัด เวลาก็ต้องมีความหนาแน่น / หารเสมอ หากมีระยะเวลาสั้นที่สุดหน่วยเวลาของอะตอมที่ไม่สามารถหารได้ดังนั้นการคำนวณแบบไม่สิ้นสุดจะใช้เวลาไม่ จำกัด (หรือการคำนวณแต่ละครั้งจะต้องใช้เวลาไม่นานหลังจากจุดหนึ่ง)

— epa095

\sum_{i = 1}^{\infty} 2^{- i}

$\sum_{i=1}^\infty 2^{-i}$

2^{- i}

$2^{-i}$

@ david-richerby: ไม่ได้แก้ไขปัญหาในลักษณะที่แตกต่างกันให้วิธีที่ง่ายกว่าที่จะคิดเกี่ยวกับมันว่ามันคืออะไรเพื่อให้ปรีชา? นอกจากนี้ยังทราบว่าคุณจะยัง restating ปัญหาจากจำนวนเงินของเวลาที่จะผลรวมของตัวเลขที่มีเหตุผล ขั้นตอนสั้น ๆ (สุดยอด) ใช่ แต่ไม่มีการปรับปรุงให้น้อยลง หากคุณรู้เกี่ยวกับการรวมกันของจำนวนตัวเลขที่มีเหตุผลการพักผ่อนนั้นทำให้ง่ายต่อการเข้าใจ แต่สำหรับบางคนฉันมั่นใจว่าจะเข้าใจได้ง่ายขึ้นในแง่ของน้ำ อย่างน้อยก็เป็นครั้งแรกที่ฉันเข้าใจว่าทำไมบางผลรวมอนันต์และไม่ถึง

— epa095

@ epa095 การให้สัญชาติญาณเกี่ยวข้องกับการอธิบายสถานการณ์ที่ไม่คุ้นเคยโดยอ้างอิงถึงสถานการณ์ที่คุ้นเคยและใช้ความคุ้นเคยกับสถานการณ์หนึ่งเพื่อช่วยให้เข้าใจสถานการณ์อื่น คุณไม่ได้ทำอย่างนั้น: คุณกำลังพยายามอธิบายสถานการณ์ที่ไม่คุ้นเคยอย่างหนึ่ง (คำนวณจำนวนรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุดและบรรจบกัน) โดยอีกสถานการณ์หนึ่ง (การเทถังน้ำที่แบ่งไม่ได้อย่างไม่มีที่ติ ผู้ที่รู้เกี่ยวกับการรวมกันของผลรวมไม่จำเป็นต้องมีการเปรียบเทียบ สำหรับคนที่ไม่รู้เกี่ยวกับการรวมกันของผลรวมการเปลี่ยนชื่อ "จำนวนตรรกยะ" เป็น "ปริมาณของน้ำสมมุติ" ไม่ช่วย

— David Richerby