ความซับซ้อนในการค้นหาลูกที่เพิ่มจำนวนคะแนนให้อยู่ในนั้น

$x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}^2$ $r$ $r$ $\sum_{i=1}^n \mathbb{1}_{\|x - x_i\| \leq r}$

ขั้นตอนวิธีการบังคับเดรัจฉานจะไปกว่าทุกจุดและนับจำนวนจุดที่อยู่ในระยะทางที่มีขนาดเล็กกว่าRที่จะให้ความซับซ้อนของ2) $r$ $\mathcal{O}(n^2)$

มีแนวทางที่ดีกว่านี้ไหม?

algorithms complexity-theory computational-geometry

— มานูเอล
แหล่งที่มา

คุณดูที่ควอดทรีและต้นไม้กั้นพื้นที่ไบนารีหรือไม่? ฉันคาดหวังว่าพวกเขาอาจให้อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในทางปฏิบัติแม้ว่าฉันจะไม่ทราบว่าเวลาที่ใช้ในการแสดงผลเชิงเส้นตรงที่เลวร้ายที่สุดคืออะไร

— DW

(ศูนย์กลางของballชื่อเรื่องต้องมาจากชุด?) แนวคิดหนึ่งอาจประเมินได้ว่ารัศมีมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับระยะทางเฉลี่ยไปยังเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดหรือตามลำดับเส้นผ่านศูนย์กลาง (และพิจารณาแนวทางสำหรับสุดขั้วเหล่านี้ (เครื่องบินกวาดสำหรับขนาดเล็ก

) และพื้นที่กว้างในระหว่าง)

r

$r$

— greybeard

จุดศูนย์กลางของลูกบอลควรเป็น

แต่ถ้ามีอัลกอริทึมที่ดีกว่าโดยไม่มีเงื่อนไขฉันก็สนใจเช่นกัน

x_{i}

$x_i$

— มานูเอล

ดูเหมือนว่าอัลกอริทึมที่เร็วกว่า

สำหรับปัญหาการนับช่วงลูกไม่เป็นที่รู้จัก อย่างไรก็ตามหากคุณยอมรับคำตอบที่ไม่แน่นอนคุณสามารถประมาณดิสก์ด้วยกลุ่มของสี่เหลี่ยมที่มีทิศทางต่างกัน สำหรับการวางแนวแต่ละครั้งคุณจะต้องสร้างทรีช่วง ( en.wikipedia.org/wiki/Range_tree ) ซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถนับคะแนนทั้งหมดในตารางในเวลา

เวลา ( k - จำนวนคะแนนที่ได้)

O (n)

$O(n)$

O (l o g^{2} (n) + k)

$O(log^2(n) + k)$

— HEKTO

@ HEKTO คุณกำลังแนะนำการสร้างโครงสร้างต้นทุน

เพื่อสอบถามว่าจุดหนึ่งอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ต้นทุน

หรือไม่? จากนั้นข้ามจุดทั้งหมดเพื่อนับจำนวนจุดอื่น ๆ ที่อยู่ในลูกบอลโดยประมาณ? สิ่งนี้สามารถใช้งานได้ แต่จากนั้นหน่วยความจำที่จำเป็นสำหรับโครงสร้างข้อมูลดังกล่าวคืออะไร มันจะต่ำกว่า

ไหม

O (n \log (n))

$\mathcal{O}(n\log(n))$

O (l o g^{2} (n) + k)

$\mathcal O (log^2(n) + k)$

O (n^{2}))

$\mathcal O (n^2))$

— มานูเอล

คำตอบ:

ดูเหมือนว่าsublinearอัลกอริทึมสำหรับการนับช่วงบอลปัญหาไม่เป็นที่รู้จักสำหรับตอนนี้

อย่างไรก็ตามหากคุณยอมรับคำตอบที่ไม่แน่นอนคุณสามารถประมาณดิสก์ด้วยกลุ่มของสี่เหลี่ยมที่มีทิศทางต่างกัน สำหรับการวางแนวแต่ละครั้งคุณจะต้องสร้างทรีช่วงซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถนับคะแนนทั้งหมดในช่องสี่เหลี่ยมในเวลา (k - คะแนนที่ได้รับจำนวนหนึ่ง) $O(log^2(n)+k)$

ทรีช่วงแต่ละช่วงจะต้องใช้หน่วยความจำการประมาณที่ดีกว่าที่คุณต้องการให้ทิศทางมากขึ้นคุณควรใช้ ตัวอย่างเช่นการวางแนวสองแนวจะให้แปดเหลี่ยมซึ่งใกล้เคียงกับดิสก์ที่มีข้อผิดพลาดของพื้นที่น้อยกว่า 6% $O(n \cdot log(n))$

— HEKTO
แหล่งที่มา

คำตอบนั้นไม่ง่ายนักมีการศึกษาขั้นสูงของคำถามนี้ในทฤษฎีความซับซ้อน ดูเหมือนว่าจะได้รับการศึกษาเช่นปัญหาต่อไปนี้ซึ่งมุ่งเน้นไปที่การสอบถาม "การนับช่วงทรงกลม" อย่างรวดเร็ว ใช่ขอบเขตทางทฤษฎีที่ได้รับการปรับปรุงนั้นเป็นไปได้ แต่สิ่งเหล่านี้ดูเหมือนจะเป็นอัลกอริธึมที่เป็นนามธรรมซึ่งไม่ได้มีใครใช้เลย หากคุณต้องการการนำไปใช้งานจริงนั่นเป็นคำถามที่แตกต่าง

"การแลกเปลี่ยนเวลาอวกาศเพื่อการนับช่วงทรงกลมโดยประมาณ" / Arya, Malamatos, Mount

— vzn
แหล่งที่มา