ไม่ใช่ตัวหารสามัญน้อยที่สุด

โดยทั่วไปปัญหาคือ: สำหรับชุดของตัวเลขบวกพบจำนวนน้อยที่สุดที่ไม่ได้เป็นตัวหารขององค์ประกอบของคือx$S$$d$$S$$\forall x \in S,\ d \nmid x$

แสดงว่า$n = |S|$และ$C = \max(S)$(S) พิจารณาฟังก์ชัน$F(x) =$จำนวนที่สำคัญอย่างน้อยไม่หารx$x$มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า$F(x) \leq \log x$x และสำหรับชุด$S$ให้$F(S) =$นายกอย่างน้อยที่ไม่ได้แบ่งองค์ประกอบของS$S$เรามีขอบเขตบน

ดังนั้นขั้นตอนวิธีการแรงเดรัจฉานง่ายซึ่งระบุตัวเลขทั้งหมดจาก$1$ไป$n \log C$และการตรวจสอบถ้ามันไม่ได้แบ่งองค์ประกอบของ$S$เป็นพหุนามและมีเวลาซับซ้อน$O(n^2 \log C)$C)

วิธีอื่น ๆ ในการแก้ปัญหาคือการคำนวณปัจจัยทั้งหมดสำหรับองค์ประกอบของทุก$S$และใช้พวกเขาในอัลกอริทึมแรงเดรัจฉานเพื่อตรวจสอบว่า$x$เป็นคำตอบใน$O(1)$เวลา อัลกอริทึมนี้มีความซับซ้อนของเวลา$O(n \cdot \min (\sqrt{C}, n \log C) + n \log C)$และใช้หน่วยความจำ$O(n \log C)$เพราะเราไม่จำเป็นต้องคำนวณและ ปัจจัยที่ร้านมากกว่า$n \log C$C สำหรับ$n$และCขนาดเล็ก$C$มันทำงานได้ดีขึ้น

รายละเอียดอัลกอริทึมประกอบด้วยสองส่วน:

1. สร้างชุด$\hat{S}$ประกอบด้วยปัจจัยทั้งหมดขององค์ประกอบทั้งหมดของ$S$ , คือ

   $$\forall x \in S\ \forall f \le n \cdot \log C, \ (f \mid x \rightarrow f \in \hat{S})$$ สามารถทำได้ในเวลา$O(n \cdot \min (\sqrt{C}, n \log C))$เวลาและหน่วยความจำ$O(n \log C)$(สิ่งนี้มาจากที่ใดสำหรับองค์ประกอบใด ๆ ของ$S$เราสามารถแยกปัจจัยโดยใช้การแยกตัวประกอบของการทดลองกับตัวเลขทั้งหมดจนถึง$\sqrt{C}$หรือจำนวนเฉพาะทั้งหมดถึง$n \log C$แล้วแต่จำนวนใดจะน้อยกว่าดังนั้นองค์ประกอบของSแต่ละตัว$S$สามารถแยกตัวประกอบในเวลา$O(\min (\sqrt{C}, n \log C))$ )

2. พบจำนวนน้อยที่สุด{S} ขั้นตอนนี้ต้องใช้เวลาถ้าตรวจสอบว่าสามารถทำได้ในเวลา$d \notin \hat{S}$$O(|\hat{S}|) = O(n \log C)$$x \in \hat{S}$$O(1)$

ฉันมีสองคำถามที่ฉันสนใจ:

1. มีอัลกอริทึมที่เร็วกว่านี้ในการแก้ปัญหาหรือไม่
2. สำหรับและได้รับเราจะสร้างชุดมีตัวหารไม่ธรรมดาน้อยที่สุดได้อย่างไร$n$$C$$S$

เป็นไปได้ที่จะปรับปรุงอัลกอริทึมที่สองของคุณโดยใช้อัลกอริธึมที่ดีกว่าสำหรับการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม

มีสองอัลกอริทึมสำหรับการแยกตัวประกอบจำนวนเต็มที่เกี่ยวข้องที่นี่:

• GNFSสามารถปัจจัยจำนวนเต็มกับการทำงานเวลา[0.33,1.92])$\le C$$O(L_C[0.33,1.92])$

• ECMสามารถค้นหาปัจจัย (ถ้ามี) ด้วยเวลาทำงาน ; การค้นหาปัจจัยทั้งหมดจะใช้เวลานานเท่า (ซึ่งค่อนข้างเล็กเมื่อเทียบกับเวลาทำงานของ ECM)$\le n \log C$$O(L_{n \log C}[0.5,1.41])$$O(\log C / \log(n \log C))$

นี่\}$L_n[\alpha,c] = \exp\{c (\log n)^\alpha (\log \log n)^{1-\alpha}\}$

นั่นเป็นนิพจน์ที่ดูน่ากลัวสำหรับเวลาทำงาน แต่ความจริงที่สำคัญคือมันเร็วกว่าวิธีที่คุณพูดถึง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็น asymptotically มีขนาดเล็กกว่าคือ GNFS เร็วกว่าพยายามปัจจัยเป็นไปได้ทั้งหมด{C} นอกจากนี้ยังเป็น asymptotically มีขนาดเล็กกว่าคือ ECM จะเร็วกว่าพยายามปัจจัยเป็นไปได้ทั้งหมดC$L_C[0.33,1.92]$$\sqrt{C}$$\le \sqrt{C}$$L_{n \log C}[0.5,1.41]$$n \log C$$\le n \log C$

ดังนั้นเวลาทำงานทั้งหมดของวิธีนี้คือและนี่คือ asymptotically ดีกว่าของคุณ วิธีแรกและ asymptotically ดีกว่าวิธีที่สองของคุณ ฉันไม่รู้ว่าเป็นไปได้ไหมที่จะทำสิ่งที่ดีกว่านี้$\tilde{O}(n \min(L_C[0.33,1.92], L_{n \log C}[0.5,1.41]))$

non-divisor ที่น้อยที่สุดอาจมีขนาดใหญ่เท่ากับ N log C แต่ถ้าจำนวน N กระจายแบบสุ่มแล้ว non-divisor ทั่วไปที่น้อยที่สุดน่าจะเล็กกว่ามากอาจน้อยกว่า N มากฉันจะสร้างตารางที่ ช่วงเวลาเป็นตัวหารของตัวเลข

สำหรับแต่ละหมายเลขเฉพาะ p เรามีดัชนีซึ่งหมายความว่าตัวเลขทั้งหมดจนถึงดัชนีนั้นได้รับการตรวจสอบการหารด้วย p และเรามีรายการตัวเลขทั้งหมดที่หารด้วย$k_p$

จากนั้นสำหรับ d = 2, 3, 4, ... เราพยายามหาตัวเลขหารด้วย d หรือแสดงว่าไม่มี เราใช้ค่าตัวประกอบเฉพาะ p ที่ใหญ่ที่สุดของ d จากนั้นเราตรวจสอบตัวเลขทั้งหมดที่หารด้วย p ไม่ว่าพวกมันหารด้วย d หรือไม่ หากไม่พบเราจะตรวจสอบตัวเลขเพิ่มเติมด้วยดัชนี>สำหรับการหารด้วย p อัปเดตและรายการตัวเลขที่หารด้วย p และตรวจสอบว่าแต่ละตัวเลขหารด้วย d หรือไม่$k_p$$k_p$

ในการตรวจสอบว่ามีตัวเลขหารด้วย p หรือไม่เราจะตรวจสอบหมายเลข p โดยเฉลี่ย ในภายหลังหากเราตรวจสอบว่ามีตัวเลขหารด้วย 2p มีโอกาส 50% ที่เราต้องตรวจสอบเพียงหมายเลขเดียว (ตัวเลขที่หารด้วย p) และมีโอกาส 50% สำหรับการตรวจสอบโดยเฉลี่ยอีก 2p การหาจำนวนที่หารด้วย 3p นั้นค่อนข้างเร็วและต่อไปและเราไม่เคยตรวจสอบตัวเลข N มากกว่าสำหรับการหารด้วย p เพราะมีเพียงตัวเลข N เท่านั้น

ฉันหวังว่าสิ่งนี้จะได้ผลโดยใช้การตรวจสอบการแบ่งแยกเกี่ยวกับ$N^2 / log N$

PS ผลลัพธ์จะมีขนาดใหญ่เท่าใดสำหรับตัวเลขสุ่ม

สมมติว่าฉันมีตัวเลขสุ่ม N ตัว ความน่าจะเป็นที่ตัวเลข N ตัวใดตัวหนึ่งหารด้วย d ได้คือ 1 - (1 - 1 / d) ^ N ฉันถือว่าความน่าจะเป็นที่ตัวเลขแต่ละตัว 1 ≤ d ≤ k เป็นปัจจัยหนึ่งของตัวเลขสุ่มที่คำนวณโดยการคูณความน่าจะเป็นเหล่านี้ (โอเคนั่นเป็นบิตที่ค่อนข้างหลบเพราะความน่าจะเป็นเหล่านี้ไม่ค่อยอิสระ

ด้วยสมมติฐานดังกล่าวด้วย N = 1,000 มีโอกาส 50% ที่หนึ่งในตัวเลข 1..244 ไม่ได้หารตัวเลขใด ๆ และหนึ่งในพันล้านที่ทุก ๆ ตัวเลขที่มากถึง 507 จะหารตัวเลขหนึ่งตัว ด้วย N = 10,000 มีโอกาส 50% ที่หนึ่งในตัวเลข 1..1726 ไม่ได้หารตัวเลขใด ๆ และหนึ่งในพันล้านที่ทุก ๆ ตัวเลขที่มากถึง 2979 หารตัวเลขหนึ่งตัว

ฉันจะเสนอว่าสำหรับอินพุตแบบสุ่มของ N ขนาดของผลลัพธ์นั้นใหญ่กว่า N / ln N เล็กน้อย อาจจะเป็นอะไรที่เหมือน N / ln N * (ln ln N) ^ 2 นี่คือเหตุผล:

น่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งของตัวเลขสุ่ม N คือหารด้วยสุ่ม d เป็น N ถ้า d มีค่าประมาณ N ดังนั้นจะมีค่าประมาณ 1 - exp (-1) ≈ 0.6321 สำหรับตัวหารเดียว โอกาสที่แต่ละหมายเลขหลายตัว d d N เป็นตัวหารอย่างน้อยหนึ่งหมายเลข N นั้นค่อนข้างผอมดังนั้นค่า d สูงสุดจะเล็กกว่า N อย่างมาก$1 - (1 - 1/d)^N$$1 - (1 - 1/d)^N$

หาก d << N แล้วD)$1 - (1 - 1/d)^N ≈ 1 - exp (-N / d)$

หาก d ≈ N / LN N แล้วกด N$1 - exp (-N / d) ≈ 1 - exp (- ln N) = 1 - 1/N$

เราจะเพิ่มความน่าจะเป็นเหล่านี้สำหรับค่า N / ln N แต่สำหรับ d ส่วนใหญ่ผลลัพธ์จะใหญ่ขึ้นอย่างมีนัยสำคัญดังนั้นค่า d ที่ใหญ่ที่สุดจะมีขนาดใหญ่กว่า N / ln N อย่างใดอย่างหนึ่ง แต่เล็กกว่า N อย่างมาก

PS การหาจำนวนหารด้วย d:

เราเลือกไพร์มแฟคเตอร์ p ที่ใหญ่ที่สุดจากนั้นเราตรวจสอบตัวเลขที่รู้กันแล้วว่าหารด้วย p พูด d = kp จากนั้นโดยเฉลี่ยเราจะตรวจสอบตัวเลข k ที่หารด้วย p ในขณะที่ตรวจสอบ d นี้โดยเฉพาะและเราตรวจสอบค่า N ทั้งหมดสำหรับการหารด้วย p โดยรวมแล้วสำหรับทั้งหมด d หารด้วย p ที่จริงแล้วเราน่าจะตรวจสอบน้อยกว่าค่า N สำหรับช่วงเวลาส่วนใหญ่ p เพราะหลังจากการตรวจสอบค่า N ทั้งหมดอัลกอริทึมที่น่าจะสิ้นสุด ดังนั้นหากผลลัพธ์คือ R ดังนั้นฉันคาดว่าค่า N น้อยกว่าจะถูกหารด้วยนายกแต่ละตัวน้อยกว่า R สมมติว่า R ≤ N นั่นคือประมาณ N ^ 2 / log N การตรวจสอบ

PS ใช้การทดสอบบางอย่าง

ฉันใช้อัลกอริธึมนี้สองสามครั้งโดยมีตัวเลขสุ่ม = N = 1,000,000> 0 ตัวหารที่ไม่ธรรมดาที่พบน้อยที่สุดคือระหว่าง 68,000 ถึง 128,000 โดยที่ส่วนใหญ่วิ่งระหว่าง 100,000 ถึง 120,000 จำนวนแผนกอยู่ระหว่าง 520 ล้านถึง 1,800 ล้านซึ่งน้อยกว่า (N / ln N) ^ 2; กรณีส่วนใหญ่ใช้ระหว่าง 1,000 ถึง 1,500 ล้านดิวิชั่น