ความแข็งและทิศทางของการลด

ให้เราบอกว่าเรารู้ว่าปัญหา A นั้นยากแล้วเราลด A ถึงปัญหาที่ไม่ทราบ B เพื่อพิสูจน์ B ก็ยากเช่นกัน

ดังตัวอย่าง: เรารู้ว่าการระบายสี 3 สีนั้นยาก จากนั้นเราลด 3 สีเป็น 4 สี การทำให้สีใดสีหนึ่งใน 3 สีเป็นสีเดียวกับที่คุณมี 4 สีทำให้สีสี่สีนั้นยาก

นั่นเป็นวิธีการ แต่นี่เป็นข้อพิสูจน์ได้หรือไม่ว่าสี 4 สีนั้นยาก? คุณสามารถใช้วิธีแก้ปัญหา 4 สีเพื่อแก้ปัญหา 3 สีได้หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นได้อย่างไร ถ้าไม่ทำไมมันเป็นหลักฐานที่ถูกต้อง?

โบนัส q: การลดพหุนามจะต้องสามารถทำได้ทั้งสองวิธีหรือไม่

แก้ไข: ถ้าคุณจะสามารถอธิบายได้ว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้นโดยตัวอย่างคุณจะให้ประโยชน์แก่อินเทอร์เน็ต ฉันไม่สามารถอธิบายสิ่งนี้ได้อย่างเป็นรูปธรรมที่ใดก็ได้

การลดลงของปัญหา $A$ เพื่อปัญหาอื่น $B$ เป็นการเปลี่ยนแปลง $f$ ของอินสแตนซ์ใด ๆ $a$ ของ $A$ เป็นตัวอย่าง $f(a)$ ของ $B$, ดังนั้น

ถ้า $f$ เป็นการเปลี่ยนแปลงที่รักษาความซับซ้อนที่คุณสนใจ (เช่น $f$ เป็นการแปลงพหุนามหากคุณพิจารณา $\mathsf{NP}$- ความแข็ง) จากนั้นการดำรงอยู่ของอัลกอริทึม $\mathcal A_B$ การแก้ $B$ แสดงถึงการมีอยู่ของการแก้อัลกอริทึม $A$: มันก็เพียงพอแล้วที่จะเรียกใช้ $f$จากนั้น $\mathcal A_B$.

ดังนั้นการดำรงอยู่ของการลดลงดังกล่าวจาก $A$ ถึง $B$ หมายความว่า $B$ ไม่ใช่เรื่องง่ายกว่า $A$. ไม่จำเป็นต้องลดวิธีอื่น

ตัวอย่างเช่นสำหรับการระบายสีกราฟ คุณสามารถลด 3 สีเป็น 4 สี แต่ไม่สามารถทำได้ในทันที ถ้าคุณจดกราฟ$G$ และคุณเลือก $f(G)=G$ แล้วคุณจะมีสิ่งนั้น $x∈3\mathsf{COL}$ $⇒$ $f(x)∈4\mathsf{COL}$ แต่คุณไม่มี $f(x)∈4\mathsf{COL}$ $⇒$ $x∈3\mathsf{COL}$แน่นอน. สรุปก็คือความเท่าเทียมกัน$(E)$ ไม่เป็นที่เคารพนับถือดังนั้น $f$คือไม่ได้ลดลง

คุณสามารถสร้างการลดที่ถูกต้อง $f$ จาก $3\mathsf{COL}$ ถึง $4\mathsf{COL}$ แต่มันซับซ้อนกว่าเล็กน้อยสำหรับกราฟใด ๆ $G$, ปล่อย $f(G)$ เป็นกราฟ $G$ ขยายด้วยโหนดอื่น $u$ ที่เชื่อมโยงกับ edge กับโหนดอื่นทุกโหนด

• การเปลี่ยนแปลงคือการรักษาความซับซ้อน (พหุนาม, ที่นี่);
• ถ้า $G$ อยู่ใน $3\mathsf{COL}$ แล้วก็ $f(G)$ อยู่ใน $4\mathsf{COL}$: เพียงใช้สีที่สี่สำหรับ $u$;
• ถ้า $f(G)$ อยู่ใน $4\mathsf{COL}$ จากนั้นคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าโหนดทั้งหมดยกเว้น $u$ มีสีที่ไม่ $u$ดังนั้น $G$ อยู่ใน $3\mathsf{COL}$.

นั่นพิสูจน์ได้ว่า $f$ คือการลดและนั่นก็คือ $4\mathsf{COL}$ ยากกว่า $3\mathsf{COL}$. คุณสามารถพิสูจน์แบบเดียวกับที่$n\mathsf{COL}$ ยากกว่า $m\mathsf{COL}$ สำหรับใด ๆ $n≥m$หลักฐานที่น่าสนใจของความจริงที่ว่า $3\mathsf{COL}$ ยากยิ่งกว่าสิ่งใด $n\mathsf{COL}$.