วิธีแก้ปัญหาการจัดการที่ Archive Nationale of France โดยใช้ทฤษฎีกราฟ?

สวัสดีตอนเย็น! จริงๆแล้วฉันกำลังฝึกงานที่ Archives Nationales of France และฉันพบสถานการณ์ที่ฉันต้องการแก้ปัญหาโดยใช้กราฟ ...

I. สถานการณ์ที่เต็มไปด้วยฝุ่น

เราต้องการเพิ่มประสิทธิภาพการจัดเรียงหนังสือในห้องสมุดของฉันตามความสูงเพื่อลดต้นทุนการเก็บถาวร ความสูงและความหนาของหนังสือเป็นที่รู้จัก เราได้จัดเรียงหนังสือตามลำดับความสูง (ฉันไม่รู้ว่ามันเป็นสิ่งที่ดีที่สุด แต่ ... นั่นคือวิธีที่เราทำ) เมื่อทราบความหนาของหนังสือแต่ละเล่มเราสามารถกำหนดความหนาที่จำเป็นสำหรับแต่ละชั้นสำหรับการจัดเรียงเรียกว่า (ตัวอย่างเช่นหนังสือที่สูงอาจมีความหนารวม ) $H_1,H_2,\dots,H_n$ $H_i$ $L_i$ $H_i = 23\,\mathrm{cm}$ $L_i = 300\,\mathrm{cm}$

ห้องสมุดสามารถผลิตชั้นวางที่กำหนดเองโดยระบุความยาวและความสูงที่ต้องการ ชั้นวางของความสูงและความยาวค่าใช้จ่าย โดยที่เป็นต้นทุนคงที่และคือต้นทุนของชั้นวางต่อหน่วยความยาว $H_i$ $x_i$ $F_i+C_ix_i$ $F_i$ $C_i$

โปรดทราบว่าการเก็บรักษาของความสูงสามารถใช้ในการเก็บหนังสือของความสูง กับฉัน เราต้องการลดต้นทุน $H_i$ $H_j$ $j\leq i$

ผู้สอนของฉันแนะนำว่าฉันทำแบบจำลองปัญหานี้เป็นปัญหาในการค้นหาเส้นทาง รูปแบบที่อาจเกี่ยวข้องกับการจุดจัดทำดัชนีแบบฟอร์มเพื่อnพี่เลี้ยงของฉันแนะนำให้ผมทำงานออกเงื่อนไขที่มีอยู่แต่ละขอบหมายและวิธีการในการทำงานจากการประเมินค่าที่เกี่ยวข้องกับขอบj) ฉันก็จะตกลงกับโซลูชั่นอื่น ๆ เช่นเดียวกับข้อมูลเชิงลึก $n+1$ $0$ $n$ $v(i,j)$ $(i,j)$

ตัวอย่างเช่นเรามีอนุสัญญา (ช่วงที่มืดมนของประวัติศาสตร์ฝรั่งเศส) เช่นอาเรย์:

\begin{array}{crr} i & 1 & 2 & 3 & 4 \\ H_{i} & 12 c m & 15 c m & 18 c m & 23 c m \\ L_{i} & 100 c m & 300 c m & 200 c m & 300 c m \\ F_{i} & 1000 € & 1200 € & 1100 € & 1600 € \\ C_{i} & 5 € / c m & 6 € / c m & 7 € / c m & 9 € / c m \end{array}

$\begin{array}{|c|rr} i & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline H_i & 12\,\mathrm{cm} & 15\,\mathrm{cm} & 18\,\mathrm{cm} & 23\,\mathrm{cm}\\ L_i & 100\,\mathrm{cm} & 300\,\mathrm{cm} & 200\,\mathrm{cm} & 300\,\mathrm{cm} \\ \hline F_i & 1000€ & 1200€ & 1100€ & 1600€ \\ C_i & 5€/\mathrm{cm} & 6€/\mathrm{cm} & 7€/\mathrm{cm} & 9€/\mathrm{cm}\\ \end{array}$

ครั้งที่สอง สมมติฐานของหนอนหนังสือฝึกหัด

ฉันคิดว่าฉันต้องคำนวณอัลกอริธึมระหว่าง Djikstra, Bellman หรือ Bellman-Kalaba ... ฉันพยายามหาว่าอันไหนในส่วนย่อยต่อไปนี้

1.Conditions

เราอยู่ที่นี่พร้อมกับปัญหาการหาตำแหน่งระหว่างจุดยอดและจุดยอด ,ต้องออกจาก (กล่าวคือต้องมีเส้นทาง (หรือเดิน) อยู่ระหว่างถึง $0$ $n$ $n$ $0$ $0$ $n$

2. สิ่งที่ต้องคำนวณ (อัปเดต (25/10/2558))

// ทำงานภายใต้กระบวนการเท่าที่ฉันไม่รู้ว่าจุดยอดไหนและขอบแบบไหน ...

เดาที่ดีที่สุดของฉัน

ฉันคิดว่าเรากำจัดชั้นวางอย่างน้อยหนึ่งประเภททุกครั้งที่เราพบเส้นทางที่สั้นที่สุดจากอาเรย์ แต่นั่นเป็นเพียงข้อสันนิษฐานของฉัน ... ;)

ฉันคิดว่าวิธีที่ดีที่สุดในการทำแบบจำลองวิธีการซื้อชั้นวางและเก็บหนังสือของเราต้องมีลักษณะเป็นกราฟต่อไปนี้(แต่โปรดได้โปรดวิจารณ์วิธีการของฉัน!;)

จุด:

$i\in[1,4]$ เป็นชั้นวางที่เราสามารถใช้เก็บหนังสือของเรา
$0$ คือสถานะที่ไม่มีการจัดเก็บหนังสือ การใช้จุดยอดนี้ทำให้ฉันสามารถใช้สูตรแต่ละค่าใช้จ่าย (ขอบ)

ขอบ:เป็นค่าใช้จ่ายโดยใช้ประเภทของชั้นวาง ตัวอย่างเช่น: fom 0 เป็นค่าใช้จ่ายที่ใช้เฉพาะชั้นวางประเภท 1 เท่านั้นในการจัดเก็บเอกสารต้นฉบับของเรา ... $F_i+C_ix_i,i\in[1,4]$ $F_1+C_1x_1$

แต่จากที่นี่ฉันไม่รู้วิธีสร้างปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดของฉัน

แน่นอนฉันไม่รู้ว่าจะเก็บหนังสือของฉันไว้ที่ไหน

นี่ทำให้ฉันมีความคิดอื่น ...

ความคิดอื่น ...

ที่นี่ฉันกำลังค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดจากจุดยอดที่กำหนดไปยังสถานะ 0 กล่าวคือรู้ว่าเอกสารที่สูงที่สุดคือสูงฉันกำลังค้นหาวิธีที่ถูกที่สุดในการจัดเรียงเอกสารของฉัน $type \ i$

จุด:

$i\in[1,4]$ เป็นชั้นวางที่เราสามารถใช้เก็บหนังสือของเรา
$0$ คือสถานะที่เก็บหนังสือทั้งหมด การใช้จุดยอดนี้ทำให้ฉันสามารถใช้สูตรแต่ละค่าใช้จ่าย (ขอบ)

ขอบ:เป็นค่าใช้จ่ายโดยใช้ประเภทของชั้นวาง ตัวอย่างเช่น:ตั้งแต่ 3 เป็นค่าใช้จ่ายโดยใช้ชั้นวางหลังจากใช้ชั้นวางเพื่อจัดเก็บเอกสารต้นฉบับของเรา ... $F_i+C_ix_i,i\in[1,4]$ $F_1+C_1x_1$ $type \ 1$ $type \ 3$

แต่ฉันไม่รู้ว่าจะใส่ที่ไหน $F_4+C_4x_4$

3. วิธีคำนวณ

ฉันคิดว่าเราต้องเริ่มต้นด้วยชั้นวางที่สูงขึ้นเท่าที่เราจะสามารถเก็บหนังสือเล่มเล็ก ๆ ...

ทำ

เราใช้ cm ของกับความในระดับความสูง + cm ของความสูงจนกว่ามันจะมีราคาแพงกว่าการเอาดอง. ดังนั้น $L_n$ $H_{i=n}$ $z$ $H_{i=n-1}$ $H_{i=n-1}$ $i=i-1$

ในขณะที่ฉัน> <0

ในที่สุดฉันไม่รู้วิธีที่จะทำให้ x เปลี่ยนแปลง ...

กล่าวคือวิธีเลือกใส่เอกสารในหรือเช่น $x_i$ $4$ $3$

— Revolucion สำหรับโมนิก้า
แหล่งที่มา

มีหนังสือกี่เล่ม? นั่นคือ อัลกอริทึมเดียวที่ยอมรับได้?

O (n), O (n l o g n)

$O(n), O(nlogn)$

— jjohn

ฉันไม่เห็นสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับกราฟ: เหตุใดจึงต้องบังคับให้คุณทำสิ่งที่เป็นกราฟเมื่อปัญหาในมือเป็นเหมือนการจัดถังขยะ แบบจำลองของคุณไม่คำนึงถึงการใช้งานจริงของการเก็บเข้าลิ้นชัก ตัวอย่างเช่นหน่วยเก็บเข้าลิ้นชักมีชั้นวางของที่มีความยาว: คุณสามารถวางชั้นวางยาวห้าเมตรซ้อนกันได้ แต่ชั้นวาง 99 ซม. ชั้น 172 ซม. ชั้น 128 ซม. ชั้นวาง 83 ซม. และชั้น 18 ซม. (ความยาวรวม 5m) ไร้ประโยชน์อย่างสมบูรณ์ และทำไมบนโลกถึงต้องเสียค่าใช้จ่าย€ 2,500 เพื่อสร้างชั้นวางสูง 23 ซม. หนึ่งเมตร ที่ดูเหมือนจะไม่จริงจากระยะไกล ห้องสมุดนี้เป็นของจริงหรือ

— David Richerby

1. ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมคุณต้องบังคับตัวเองให้เข้าใกล้ปัญหานี้ หากคุณกำลังเผชิญกับสถานการณ์นี้ในทางปฏิบัติมันไม่มีเหตุผลที่จะกำหนดข้อ จำกัด ที่ไม่จำเป็นเช่นนี้ - ทำไมคุณถึงปฏิเสธวิธีแก้ไขปัญหาอื่น ๆ ที่แก้ปัญหาของคุณโดยใช้วิธีการอื่น ฉันแนะนำให้คุณแก้ไขคำถามเพื่อลบข้อกำหนดนั้น 2. คุณยังไม่ได้บอกเราว่ามีหนังสือกี่เล่ม คุณให้เบอร์กับเราได้ไหม มีอะไรพิเศษมากกว่า "a loooot" แม้ว่าจะเป็นเพียงการประมาณลำดับความสำคัญ

— DW

ดูเหมือนว่าคุณใช้ความคิดไปกับปัญหาของคุณแล้ว ดีแล้ว! อย่างไรก็ตามการเก็บประวัติความคิดของคุณไว้ในคำถามเดียวทำให้มันค่อนข้างไม่สะดวก SE ทำงานได้ดีขึ้นมากถ้าคุณโพสต์คำถามที่มุ่งเน้นและพื้นหลังเพียงพอที่จะทำให้คำถามตอบได้

— Raphael

เกี่ยวกับ "ฉันต้องการแสดงเป็นปัญหากราฟ" - นั่นเป็น ... ข้อกำหนดเรื่องโง่ หากปัญหาอยู่ใน P ให้เขียนมันเป็น LP และคำนวณอินสแตนซ์การไหลสูงสุดที่เทียบเท่า voila ถ้ามันอยู่ใน NP แต่คุณไม่รู้ว่ามันอยู่ใน P ให้เขียนมันเป็น IP และแปลงเป็นปัญหากราฟ NP-complete voila

— Raphael

คำตอบ:

ฉันเห็นคุณถามว่า "ฉันต้องการแก้ปัญหานี้ด้วยอัลกอริทึมของ Dijkstra แต่ฉันไม่สามารถตั้งค่ากราฟที่ดีให้ทำงานได้" ดังนั้นฉันจะแสดงกราฟดังกล่าวให้คุณ

กราฟิคที่จุดยอดเป็นชุดของหนังสือที่มีชั้นวาง

โอเคเรามีหนังสือที่มีความสูงและความกว้างมีความสูงตามลำดับจากน้อยไปหามากสำหรับหนังสือแต่ละเล่มและเราต้องการจัดกลุ่มไว้ในชั้นวางหนังสือ $H_n,$ $1 \le n \le N$ $W_n,$

ใช้หมายเลขเหล่านี้ซ้ำสำหรับโหนดโซลูชันที่โหนดนั้นหมายถึงสถานะโซลูชัน "หนังสือทั้งหมดที่ถูกวางไว้" ดังนั้นเราจะเริ่มต้นที่โหนดและหาทางไปที่โหนดโดยเส้นทางที่สั้นที่สุดด้วยอัลกอริทึมของ Dijkstra โหนดเหล่านี้คือจุดยอดของกราฟของเรา $n,$ $i \le n$ $0$ $N$

จากนั้นเราดึงจากโหนดไปยังโหนดใด ๆเป็นขอบกำกับซึ่งถือว่าหนังสือตัวกลางเหล่านั้นทั้งหมดจะถูกจัดวางด้วยชั้นหนึ่งเดียวนั่นคือความยาวของขอบนี้คือที่ฉันคิดว่าเมื่อคุณพูดว่าราคาของผลรวมคือตัวห้อยบนนั้นไม่มีความหมายเลย $i$ $j \gt i$

L_{i j} = F_{j} + C_{j} \sum_{n = i + 1}^{j} W_{n},

$L_{ij} = F_j + C_j~\sum_{n=i+1}^j W_n,$

F_{i} + C_{i} x_{i}

$F_i + C_i x_i$

i

$i$

x_{i}

$x_i$

อัลกอริทึมของ Dijkstra จะให้เส้นทางที่สั้นที่สุดไปยังโหนด $N.$

— CR Drost
แหล่งที่มา

@Christ Drost, thaaaaaaaaanks มาก ๆ ! ต้องใช้เวลาในการทำความเข้าใจสิ่งที่คุณกำลังพยายามสร้างโดยไม่มีกราฟ แต่นั่นคือสิ่งที่ฉันกำลังมองหา! ฉันอ่านประวัติที่น่าทึ่งของคุณมันเหมาะกับคำตอบของคุณฮ่า ๆ ๆ )!

— Revolucion สำหรับโมนิก้า

ฉันสงสัยว่า Bellman-Kalaba ไม่เหมาะสมกว่า Djikstra ความต้องการเพียงอย่างเดียวคือไม่มีผลไม้ cicruit (และเราไม่มี)

— Revolucion สำหรับ Monica

และมันคือแอลกอฮอร์มที่กำหนดความยาวของขอบอย่างชัดเจนเช่นกัน "node n หมายถึงวิธีแก้ปัญหาที่ระบุ" หนังสือทั้งหมดที่ฉันถูกระงับ ""เราไม่สามารถย้อนกลับด้วยสิ่งที่คุณให้ไว้

— Revolucion สำหรับโมนิก้า

ฉันไม่แน่ใจว่าคำว่า "ไปข้างหลัง" หมายถึงอะไร แต่ถ้าคุณต้องการที่จะ "ย้อนกลับ" คุณอาจต้องพิจารณากราฟที่ซับซ้อนกว่านี้ซึ่งโหนดเป็นรายการของ "จำนวนหนังสือที่ถูกเก็บโดยชั้นวางนี้" และมากกว่าInt 1สิ่งนี้นำไปสู่กราฟของn^2จุดยอด เมื่อคุณกำลังมองหาเส้นทางระหว่าง A และ B และน้ำหนักขอบทั้งหมดเป็นค่าบวกแล้วไม่มีความแตกต่างระหว่าง Dijkstra และ Bellman-Kalaba ยกเว้น Bellman-Kalaba พยายามอัปเดตขอบที่ไม่จำเป็นต้องอัปเดตอยู่เสมอ Dijkstra เก็บตัวชี้ไปยังจุดสูงสุดที่มันสนใจเท่านั้น

— CR Drost

ฉันคิดว่าฉันมีวิธีแก้ไขปัญหาของคุณ หวังว่าฉันไม่ได้เข้าใจผิดบางอย่างในคำนิยามของปัญหาของคุณ นี่มันไป:

ฉันจะอธิบายวิธีการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก มันเป็น อัลกอริทึมซึ่งหมายความว่าเนื่องจากจำนวนหนังสือมีขนาดใหญ่มากจึงไม่ช่วยคุณได้มากนัก (คุณต้องแก้ไขมันนิดหน่อย!) ในการทำงานบางอย่างคุณสามารถเปลี่ยนวิธีการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกเป็นตัวอย่างของการค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดบนกราฟ Directed Acyclic Graph (ซึ่งตัวเองเป็นอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก: P) $O(n^{2})$

สมมติว่ามีหนังสือเล่มที่มีความสูงต่างกันทั้งหมด $n$

สมมติว่าค่าใช้จ่ายที่ดีที่สุดนั้นสามารถทำได้โดยการกำหนดหนังสือให้กับชั้นวางของความสูงโดยที่{i} $i$ $h_{1},h_{2},...,h_{i}$ $h_{1}<h_{2}<...<h_{i}$

ลองพิสูจน์สองสิ่งต่อไปนี้:

A. $C_{a}>C_{a-1}$

สมมติว่าตรงกันข้าม ให้เป็นชุดหนังสือที่กำหนดให้กับชั้น จากนั้น $B_{a-1}$ $a-1$ $cost = other,stuff + C_{a-1}*thickness(B_{a-1})$

ตั้งแต่เราสันนิษฐาน ขอโอนหนังสือทุกเล่มของการเก็บรักษาเพื่อ(ซึ่งเป็นไปได้ตั้งแต่{a} $C_{a}<C_{a-1}$ $a-1$ $a$ $h_{a-1}<h_{a}$

ดังนั้นตอนนี้ซึ่งต่ำกว่าก่อนหน้านี้ ดังนั้นเราจึงมีความขัดแย้งเนื่องจากความดีที่เราคาดไว้ $cost =other,stuff + C_{a}*thickness(B_{a})$

ดังนั้นสำหรับชั้นวางทั้งหมดที่สร้างขึ้น $C_{a}>C_{a-1}$

บี Let BE หนังสือที่ถูกกำหนดให้เก็บรักษา ลองพิสูจน์ $j$ $a$ $height(j)>h_{a-1}$

เรื่องนี้ค่อนข้างง่าย หากเล็กกว่าเราสามารถนำหนังสือเล่มนี้ไปวางในชั้นเพื่อค่าใช้จ่ายที่ดีขึ้น (เนื่องจาก A) $height(j)$ $h_{a-1}$ $a-1$

จากสองสิ่งที่เราพิสูจน์แล้ว B เป็นสิ่งสำคัญ

ให้ = ค่าใช้จ่ายที่เหมาะสมสำหรับการเก็บเข้าลิ้นชักหนังสือเพื่อให้มีการเก็บรักษาของ(ก) คุณต้องหาวิธีที่จะกำหนดโดยค่า $dp[a]$ $1...a$ $height(a)$ $dp[a]$ $dp[1],dp[2],....dp[a-1]$

ฉันจะหยุดที่นี่ หากคุณคุ้นเคยกับการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกโดยใช้ข้อเท็จจริง B คุณจะเกิดขึ้นได้ง่าย ๆ มิฉะนั้นถาม :) ดังที่ฉันได้กล่าวมาสิ่งนี้สามารถกลายเป็นปัญหา DAG ได้ เมื่อทราบถึงความสัมพันธ์ข้างต้นมันง่ายที่จะรู้ว่าขอบหมายถึงอะไรและกำหนดค่าใช้จ่าย $(a,b)$

สุดท้าย แต่ไม่ท้ายสุดอย่างที่ฉันได้กล่าวไว้ข้างต้นเนื่องจากหนังสือมีขนาดใหญ่คุณไม่สามารถใช้อัลกอริทึมสำหรับหนังสือแต่ละเล่มได้ ฉันคิดว่าการแทนความสูงของมันด้วยผลรวมของความหนาของมันนั้นควรจะเป็นการหลอกลวง (ฉันคิดว่ามันเป็นเช่นนั้นจากคำสั่งของคุณ)

(ฉันเดาว่าจำนวนความสูงที่แตกต่างกันนั้นน้อยกว่าจำนวนหนังสือมากนัก)

— jjohn
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือที่มั่นคงนี้! ครั้งแรกฉันมีคำถามสำหรับส่วน A: ทำไมเราถึงมีความขัดแย้งเนื่องจากปัญหาในแง่ดี? ฉันเข้าใจว่ามันมีเหตุผลว่าค่าใช้จ่ายที่ต่ำกว่าเมื่อเก็บหนังสือที่มีความสูงต่ำกว่าในชั้นวางที่สูงกว่านั้นขัดแย้งกัน แต่ฉันจะทำอะไรในแง่ดีที่สุด (นั่นอาจเป็นเพราะฉันทำเฉพาะการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกภาคการศึกษาถัดไป ... ?)

— Revolucion สำหรับ Monica

ประการที่สองฉันคิดว่ามีการพิมพ์ผิดเมื่อคุณพูดถึงข้อสรุปส่วน A. มันตรงกันข้ามใช่ไหม

C_{a} < C_{a - 1}

$C_a<C_{a-1}$

— Revolucion สำหรับโมนิก้า

@ Marine1 ใช่ คุณพูดถูก มันพิมพ์ผิด! จะแก้ไขทันที ตอนนี้สำหรับคำถามอื่น ๆ สมมติว่าคุณมีอัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุด (เช่นอัลกอริธึมที่ให้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด) ถ้ามีการเก็บรักษาในนั้นเช่นว่าแล้วเราสามารถโอนหนังสือทุกเล่มจากชั้นวางหิ้งและไม่ได้สร้างการเก็บรักษา จากนั้นคุณจะจบลงด้วยค่าใช้จ่ายที่น้อยลง (เนื่องจาก a. ค่าความหนาจะน้อยลงและคุณไม่จำเป็นต้องใช้ ) แต่ในสมมติฐานของเราเรามีอัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุดแล้วดังนั้นจึงไม่สามารถเก็บได้ ฉันหวังว่านี่จะทำให้คุณค่อนข้างชัดเจน!

a

$a$

C_{a} > C_{a + 1}

$C_{a}>C_{a+1}$

a

$a$

a + 1

$a+1$

a

$a$

F a

$Fa$

— jjohn

บางครั้งเพียง "ขยายภาพ" ใน "ปัญหาที่ใกล้ที่สุด" ในวรรณคดีสามารถช่วยให้เข้าใจทฤษฎีและพื้นหลังของปัญหาสร้างสิ่งที่เป็นนามธรรมและกำจัดรายละเอียดปลอม ปัญหาที่ใกล้ที่สุดในวรรณคดีของคุณน่าจะเป็นสิ่งที่เรียกว่า "ปัญหาการบรรจุถังขยะขนาดตัวแปร" ตัวอย่างเอกสารรวมอยู่ด้านล่าง ปัญหานี้ได้รับการศึกษาอย่างมากในเชิงทฤษฎีและมีซอฟแวร์นอกชั้นวางอยู่ปรากฏในการปรับกล่องบรรจุให้เหมาะสมเช่นภาชนะขนส่งรถบรรทุก นอกจากนี้ยังมีรุ่นที่หนึ่งสามารถปรับขนาดภาชนะ มีวิธีอัลกอริทึมมากมาย เช่นจากกระดาษ1 ^{เซนต์} :

ปัญหาที่กล่าวถึงในบทความนี้คือการบรรจุหีบห่อสินค้าทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากลงในถังขยะทรงสี่เหลี่ยมสามมิติจำนวนขั้นต่ำ

— vzn
แหล่งที่มา