ความซับซ้อนของการค้นหาร่วมกับเส้นทางการบีบอัดโดยไม่ต้องอันดับ

10

วิกิพีเดียกล่าวว่าสหภาพตามลำดับโดยไม่ต้องบีบอัดเส้นทางให้ซับซ้อนเวลาตัดจำหน่ายของ $O(\log n)$ และการรวมกันทั้งสองแบบโดยการจัดอันดับและการบีบอัดเส้นทางทำให้ความซับซ้อนของเวลาตัดจำหน่ายเป็น $O(\alpha(n))$ (ในกรณีที่ $\alpha$ เป็นค่าผกผันของฟังก์ชัน Ackerman) อย่างไรก็ตามไม่ได้กล่าวถึงเวลาในการบีบอัดพา ธ ที่ไม่มีอันดับสหภาพซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันมักจะนำไปใช้

ความซับซ้อนของเวลาที่ถูกตัดจำหน่ายของยูเนี่ยนค้นหาด้วยการเพิ่มประสิทธิภาพการบีบอัดพา ธ แต่ไม่มีสหภาพโดยการเพิ่มประสิทธิภาพอันดับคืออะไร

complexity-theory time-complexity union-find

— Filip Haglund
แหล่งที่มา

5

สังเกตได้ว่า

α (n)

$\alpha(n)$ เป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามของฟังก์ชั่น Ackerman ไม่ใช่

1 / A (n, n))

$1/A(n, n))$ . นี่ "อินเวอร์ส" หมายถึงอินเวอร์สเป็นฟังก์ชันไม่ใช่ส่วนกลับ: เช่นถ้า

f (n) = A (n, n)

$f(n)=A(n,n)$ ,

α (n) = f^{- 1} (n)

$\alpha(n)=f^{-1}(n)$ ไม่ใช่

1 / f (n)

$1/f(n)$ .

— DW

ผมเข้าใจว่านี่เป็นคำถามที่ค่อนข้างเก่า แต่ดูคำตอบและกระดาษที่เกี่ยวข้องของฉัน: epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0097539703439088 ฉันอาจพลาดรายละเอียดหนึ่งหรือสองเมื่อคัดลอกขอบเขต ในกรณีนี้โปรดแนะนำการแก้ไข :-)

— BearAqua

4

Seidel และ Sharir พิสูจน์ในปี 2005 [1] ว่าการใช้การบีบอัดพา ธ กับการเชื่อมโยงโดยพลการบน $m$ การดำเนินงานมีความซับซ้อนประมาณ $O((m+n)\log(n))$ .

ดู [1], ส่วนที่ 3 (การเชื่อมโยงโดยพลการ): อนุญาต $f(m,n)$ แสดงว่ารันไทม์ของ union-find ด้วย $m$ การดำเนินงานและ $n$ องค์ประกอบ พวกเขาพิสูจน์ต่อไปนี้:

อ้างสิทธิ์ 3.1 สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ $k>1$ เรามี $f(m, n)\leq (m+(k−1)n)\lceil \log_k(n) \rceil$ .

ตาม [1] การตั้งค่า $k = \lceil m/n \rceil + 1$ จะช่วยให้

f (m, n) \leq (2 m + n) \log_{⌈ m / n ⌉ + 1} n

$f(m, n)\leq (2m+n) \log_{\lceil m/n\rceil +1}n$ .

ขอบเขตที่คล้ายกันถูกกำหนดโดยใช้วิธีการที่ซับซ้อนมากขึ้นโดย Tarjan และ van Leeuwen ใน [2], ส่วนที่ 3:

เลมม่า 7 จาก [2] สมมติ $m \geq n$ . ในลำดับของการดำเนินการชุดใด ๆ ที่ดำเนินการโดยใช้รูปแบบใด ๆ ของการบดอัดและการเชื่อมโยงไร้เดียงสาจำนวนโหนดทั้งหมดบนเส้นทางการค้นหาจะมากที่สุด $(4m + n) \lceil \log_{\lfloor 1 + m/n \rfloor}n \rceil$ ด้วยการลิงก์แบบแบ่งครึ่งและไร้เดียงสาจำนวนโหนดทั้งหมดบนพา ธ การค้นหาจะมากที่สุด $(8m+2n)\lceil \log_{\lfloor 1 + m/n \rfloor} (n) \rceil$ .

บทที่ 9 จาก [2] สมมติ $m < n$ . ในลำดับของการดำเนินการชุดใด ๆ ที่ดำเนินการโดยใช้การบีบอัดและการลิงก์ไร้เดียงสาจำนวนโหนดทั้งหมดในพา ธ การค้นหาจะมากที่สุด $n + 2m \lceil \log n\rceil + m$ .

[1]: R. Seidel และ M. Sharir การวิเคราะห์เส้นทางจากบนลงล่าง Siam J. Computing, 2005, Vol. 34, ลำดับที่ 3, หน้า 515-525

[2]: R. Tarjan และ J. van Leeuwen การวิเคราะห์ที่แย่ที่สุดของชุดอัลกอริทึม Union J. ACM, Vol. 31, ฉบับที่ 2, เมษายน 1984, หน้า 245-281

— BearAqua
แหล่งที่มา

2

ฉันไม่รู้ว่าเวลาทำงานที่ถูกตัดจำหน่ายคืออะไร แต่ฉันสามารถอ้างเหตุผลหนึ่งที่เป็นไปได้ว่าทำไมในบางสถานการณ์ที่คุณอาจต้องการใช้ทั้งสองแทนที่จะเป็นแค่การบีบอัดเส้นทาง: เวลาทำงานที่เลวร้ายที่สุดต่อการปฏิบัติการคือ $\Theta(n)$ ถ้าคุณใช้เพียงแค่การบีบอัดพา ธ ซึ่งมีขนาดใหญ่กว่าถ้าคุณใช้ทั้งยูเนี่ยนด้วยการบีบอัดอันดับและพา ธ

พิจารณาลำดับของ $n$ การดำเนินงานของยูเนี่ยนได้รับการคัดเลือกอย่างมีจุดประสงค์เพื่อให้ต้นไม้แห่งความลึก $n-1$ (เป็นเพียงเส้นทางต่อเนื่องของโหนดโดยที่แต่ละโหนดเป็นลูกของโหนดก่อนหน้า) จากนั้นดำเนินการค้นหาเดียวบนโหนดที่ลึกที่สุด $\Theta(n)$ เวลา. ดังนั้นเวลาทำงานที่เลวร้ายที่สุดต่อการดำเนินการคือ $\Theta(n)$ .

ในทางตรงกันข้ามกับการเพิ่มประสิทธิภาพแบบสหภาพโดยอันดับเวลาที่เลวร้ายที่สุดในการดำเนินการต่อการดำเนินการคือ $O(\log n)$ : ไม่มีการดำเนินการเดียวสามารถใช้เวลานานกว่า $O(\log n)$ . สำหรับแอปพลิเคชันจำนวนมากสิ่งนี้จะไม่สำคัญ: เฉพาะเวลาทำงานทั้งหมดของการดำเนินการทั้งหมด (เช่นเวลาทำงานที่ถูกตัดจำหน่าย) จะมีความสำคัญไม่ใช่เวลาที่เลวร้ายที่สุดสำหรับการดำเนินการเดียว อย่างไรก็ตามในบางกรณีเวลากรณีที่เลวร้ายที่สุดต่อการดำเนินการอาจมีความสำคัญ: ตัวอย่างเช่นการลดเวลากรณีที่เลวร้ายที่สุดต่อการดำเนินการเป็น $O(\log n)$ อาจมีประโยชน์ในแอปพลิเคชันแบบโต้ตอบที่คุณต้องการตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีการดำเนินการเดียวที่อาจทำให้เกิดการล่าช้านาน (เช่นคุณต้องการรับประกันว่าไม่มีการดำเนินการเดียวสามารถทำให้แอปพลิเคชันหยุดเป็นเวลานาน) หรือตามเวลาจริง แอปพลิเคชันที่คุณต้องการให้แน่ใจว่าคุณจะได้รับการรับรองตามเวลาจริง

— DW
แหล่งที่มา