จะพิสูจน์ P NP ได้อย่างไร

ฉันรู้ว่านี่เป็นคำถามที่โง่มาก (หรือชัดเจนเกินไปที่จะระบุ) อย่างไรก็ตามฉันสับสนในบางจุด

เราสามารถแสดงให้เห็นว่าP NP$=$ถ้าหากว่าเราสามารถออกแบบอัลกอริทึมที่สามารถแก้ปัญหาตัวอย่างในNPในเวลาพหุนามได้

แต่ผมไม่เข้าใจว่าในโลกเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าP NP โปรดยกโทษให้ฉันสำหรับสิ่งต่อไปนี้เนื่องจากอาจไม่เกี่ยวข้องเลย แต่บอกใครซักคนเพื่อพิสูจน์ว่าPไม่เท่ากับNPดูเหมือนฉันชอบบอกใครสักคนเพื่อพิสูจน์ว่าพระเจ้าไม่มีอยู่จริง$\neq$

มีปัญหาหลายอย่างปัญหาเหล่านี้ไม่สามารถแก้ไขได้โดย Finite Automata (NFA) ที่ไม่สามารถกำหนดค่าได้ด้วยจำนวนโพลิโนเมียลของสหรัฐฯโดยไม่คำนึงถึงเทคโนโลยีในปัจจุบัน (ฉันรู้ว่านี่เป็นคำจำกัดความเลอะเทอะ) นอกจากนี้เรามีชุดของอัลกอริทึมที่มีขนาดใหญ่มากซึ่งทำให้เกิดปัญหาที่สำคัญบางอย่าง (เส้นทางที่สั้นที่สุด, ต้นไม้ที่ทอดข้ามขั้นต่ำและแม้แต่จำนวนเต็ม ) ปัญหาพหุนาม$1 + 2 + \dots + n$

คำถามสั้น ๆ ของฉัน: ถ้าฉันเชื่อว่าP NP$=$คุณจะพูดว่า "จากนั้นแสดงอัลกอริทึมของคุณที่แก้ปัญหาNPในเวลาพหุนาม!" สมมติว่าผมเชื่อว่าP NP ถ้าอย่างนั้นคุณจะถามอะไร คุณต้องการให้ฉันแสดงอะไร$\neq$

คำตอบคือ "หลักฐานของคุณ" อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตามหลักฐานชนิดใดที่แสดงว่าอัลกอริทึมไม่สามารถมีอยู่ (ในกรณีนี้อัลกอริทึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหาNP )

มีสามวิธีหลักฉันรู้ว่าสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีP$\,\neq\,$ NP

1. แสดงให้เห็นว่ามีปัญหาบางอย่างที่อยู่ใน  NPแต่ไม่ได้อยู่ใน  P คุณอาจคุ้นเคยกับการพิสูจน์ว่าการเรียงลำดับแบบการเปรียบเทียบต้องการเวลาเพื่อเรียงลำดับรายการ  รายการ หนึ่งสามารถในหลักการผลิตหลักฐานที่คล้ายกันแสดงให้เห็นว่า 3SAT หรืออื่น ๆNPปัญหาที่สมบูรณ์ไม่สามารถแก้ไขได้ในเวลาสำหรับค่าคงที่ใด ๆ  คทฤษฎีความซับซ้อนเชิงเรขาคณิตพยายามที่จะใช้เครื่องมือจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีการเป็นตัวแทนกลุ่มเพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าดังกล่าวโดยพิจารณาจากสัดส่วนที่ปัญหาต่าง ๆ มีอยู่ ความซับซ้อนของวงจรเป็นอีกหนึ่ง$\Omega(n\log n)$$n$$O(n^c)$$c$

2. แสดงว่าPและ  NPมีคุณสมบัติโครงสร้างต่างกัน ตัวอย่างเช่นP  ถูกปิดภายใต้การทำให้สมบูรณ์ หากคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าNPร่วม NP$\,\neq\,$ (เช่นว่าNP  ไม่ได้ปิดภายใต้ complementation) แล้วคือจะต้องเป็นที่P$\,\neq\,$ NP แน่นอนนี่เป็นเพียงการผลักดันปัญหาให้ลึกขึ้นหนึ่งระดับ - คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าNP co-NP$\,\neq\,$ ?

   ความเป็นไปได้อีกอย่างก็คือเรารู้ว่าNP  เป็นระดับของปัญหาที่สามารถกำหนดได้ในสิ่งที่เรียกว่าตรรกะลำดับที่สองที่มีอยู่จริง ถ้าใครสามารถแสดงให้เห็นว่าไม่มีเหตุผลที่สอดคล้องกับ  P (หรือถ้ามีเหตุผล แต่มันแตกต่างกับ ) ดังนั้นPและ  NPจะต้องแตกต่างกัน แนวคิดที่เกี่ยวข้อง (ที่จริงแล้วเทียบเท่า) คือการแสดงให้เห็นว่าP  ไม่ได้มีปัญหาที่สมบูรณ์ภายใต้การลดที่กำหนดโดยตรรกะลำดับแรกเนื่องจากเป็นที่ทราบกันว่าNP  มีปัญหาที่สมบูรณ์ภายใต้การลดลงเหล่านี้$\exists\mathrm{SO}$

3. พิสูจน์ว่าปัญหาบางอย่างไม่ใช่ปัญหาที่สมบูรณ์ ถ้าP NP$\,=\,$ดังนั้นทุกปัญหาที่ไม่น่ารำคาญใน  NPคือNP-สมบูรณ์ภายใต้พหุนามเวลาลดลงหลายครั้งเดียว ("ไม่น่ารำคาญ" ที่นี่หมายถึงไม่ใช่หรือ  ) ดังนั้นถ้าคุณสามารถแสดงให้เห็นว่าปัญหาบางอย่างใน  NP ไม่NPสมบูรณ์แล้วเราต้องมีP NP$\emptyset$$\Sigma^*$ $\,\neq\,$

คำถามสั้น ๆ ของฉัน: ถ้าฉันเชื่อว่าP = NPคุณจะพูดว่า "จากนั้นแสดงอัลกอริทึมของคุณที่แก้ปัญหาNPในเวลาพหุนาม!"

อย่าลืมว่าคุณยังต้องพิสูจน์ว่าอัลกอริทึมของคุณแก้ปัญหาได้และมันทำงานในเวลาพหุนาม

สมมติว่าผมเชื่อว่าP ≠ NP ถ้าอย่างนั้นคุณจะถามอะไร คุณต้องการให้ฉันแสดงอะไร

ก่อนอื่นให้พยายามอธิบาย "ทำไม" P ≠ NPและทำไมเหตุผลนี้สามารถใช้เพื่อพิสูจน์P ≠ NPในกรอบตรรกะที่เหมาะสม จากนั้นร่างหลักฐานและอธิบายว่าจะปกป้องส่วนที่น่าสงสัยที่สุดได้อย่างไร ถัดไปแยกการพิสูจน์นี้เป็นงบที่ง่ายกว่าซึ่งสามารถตรวจสอบได้อย่างอิสระ

• ตัวอย่างเช่นกรอบการทำงานเชิงตรรกะที่จัดทำโดย ZFC นั้นดี (แม้จะดีเกินไปในบางแง่มุม) ในการพิสูจน์การมีอยู่ของแบบจำลอง (จากชุดสัจพจน์ที่กำหนดอย่างชัดเจนซึ่งมักเป็นที่พอใจคุณสมบัติทางโลหะเพิ่มเติม) ดังนั้นถ้าคุณรู้เหตุผลสำหรับP ≠ NPที่เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของแบบจำลองที่มีคุณสมบัติแปลก ๆ บางอย่างให้อธิบายเหตุผลนี้ก่อนแล้วจึงแสดงว่าแบบจำลองที่สอดคล้องกันสามารถสร้างขึ้นภายใน ZFC ได้อย่างไร
• เป็นตัวอย่างที่ไม่ฉันเชื่อว่าเหตุผลหนึ่งที่ "ทำไม" P ≠ NPคือคณิตศาสตร์สามารถประมาณเกือบทุกอย่างที่เกิดขึ้นในโลกทางกายภาพรวมถึงการสุ่ม อย่างไรก็ตามมันเป็นความจริงที่ทราบกันดีว่าระบบที่เป็นทางการนั้นมีข้อ จำกัด ในความสามารถในการพิสูจน์สตริงจำนวน "วัตถุ" หรือ "สิ่งประดิษฐ์" ที่เป็นแบบสุ่มดังนั้นจึงไม่น่าเป็นไปได้ว่าเหตุผลนี้สามารถใช้เป็นหลักฐานได้ ในระบบที่เป็นทางการใด ๆ ที่กำหนดอย่างชัดเจน บางทีถ้าคุณออกแบบระบบพิสูจน์ความน่าจะเป็น (ควอนตัม) คุณสามารถตรวจสอบหลักฐานที่แน่นอนในระบบได้ถึงความน่าจะเป็นที่แน่นอนขึ้นอยู่กับทรัพยากรทางกายภาพที่มีอยู่ของคุณ ...
• ตามตัวอย่างที่ไม่น่าจะเป็นไปได้กฎของคนกลางที่ถูกกีดกันนั้นสะท้อนมุมมองที่คงที่ของจักรวาล (คณิตศาสตร์) และด้วยเหตุนี้จึงไม่น่าเป็นไปได้อย่างยิ่งที่จะอยู่ในเอกภพพลวัต ตอนนี้NP = coNP (หรือการล่มสลายของลำดับชั้นพหุนาม) โดยทั่วไปจะเป็นรุ่นโดยประมาณของกฎของการยกเว้นตรงกลางที่เกี่ยวข้องกับความซับซ้อนของเวลา แต่ความซับซ้อนของเวลาอยู่ใกล้กับจักรวาลพลศาสตร์เกินกว่าที่จะเป็นไปได้ มีกรอบตรรกะเช่นตรรกะเชิงเส้นราร์ดซึ่งมีความสามารถในด้านการจับภาพแบบไดนามิกของจักรวาลดังนั้น ... หมายเหตุ แต่ที่เว่อร์อยู่ในสถานการณ์ที่คล้ายกันและระบุความล้มเหลวที่จำเป็นของโปรแกรมฮิลแบร์ตกับความจริงที่อยู่ในการสถาปนาของเขาแล้วIntuitionism และเจ้าระเบียบ ในปี 1912 (อธิบายว่าทำไมมันจึงเป็นการให้เหตุผลแบบวงกลม) แต่ก็ยังไม่สามารถแม้แต่จะร่างหลักฐานพิสูจน์ความไม่สมบูรณ์ของGödelจากปี 1930
• ในฐานะที่เป็นตัวอย่างโดยประมาณลองจับภาพบางส่วนของหลักฐานที่มีอยู่สำหรับP ≠ NPคือชี้แจงขอบเขตล่างสำหรับ polytope พนักงานขายที่เดินทางและ intractablilty มติตามขั้นตอนการ satisfiability เนื่องจากหลักการนกพิราบอาศัยที่อ่อนแอ. "ทำไม" ในกรณีนี้คือปัญหาของคลาส NP ที่สมบูรณ์ไม่สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยอัลกอริทึมที่อาศัยหลักการ (สำหรับคลาสของปัญหาที่สมบูรณ์ของปัญหาที่พิจารณาแล้ว) เช่นการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นสำหรับ TSP หรือการแก้ปัญหา วิธีการพิสูจน์สำหรับ SAT กระดาษที่แตกต่างกันให้เหตุผลที่แตกต่างกันอย่างอิสระว่าทำไมสิ่งนี้สามารถใช้เพื่อพิสูจน์อะไรบางอย่างกระดาษสุดท้ายใน TSP เช่นอ้างว่า "การเชื่อมต่อที่ใกล้ชิดระหว่างการเขียนโปรแกรมการปฏิวัติ semidefinite ของ LPs และโปรโตคอลการสื่อสารควอนตัมทางเดียว" เป็นเหตุผลในขณะที่กระดาษสุดท้าย อ้างเหตุผลสองประการที่เป็นอิสระกล่าวคือขอบเขตที่ต่ำกว่า "สำหรับคลาสของสูตรที่แสดงถึงหลักการของนกพิราบและสำหรับสูตรที่สร้างแบบสุ่ม"
  คุณสามารถสังเกตเห็นว่ามีความพยายามที่จะเสริมสร้างผลลัพธ์ในช่วงเวลา ผลลัพธ์เริ่มต้นสำหรับ TSP เกี่ยวข้องกับสูตรการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบสมมาตรเท่านั้นในขณะที่ผลลัพธ์ล่าสุดไม่มีข้อ จำกัด ดังกล่าวและยังนำไปใช้กับการตัดสูงสุดและปัญหาชุดที่เสถียรสูงสุดนอกเหนือจาก TSP ผลลัพธ์เบื้องต้นสำหรับการแก้ปัญหานั้นพิจารณาเพียงแค่ขั้นตอนการแก้ปัญหาพื้นฐาน Davis-Putnam และตัวอย่างเคาน์เตอร์เทียมระดับเดียวในขณะที่ผลลัพธ์ล่าสุดครอบคลุมวิธีการแก้ปัญหาที่ใช้คลาสความละเอียดสูงและให้คลาสหลายตัวอย่างที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติ
  สำหรับ TSP ฉันไม่มีความคิดว่าผลลัพธ์ควรมีความเข้มแข็งมากขึ้นได้อย่างไรนอกจากอาจใช้กับปัญหาเพิ่มเติมนอกเหนือจาก TSP การตัดสูงสุดและการตั้งค่าที่เสถียรสูงสุด สำหรับความละเอียดฉันจะมีความคิดมากมายว่าจะเสริมความแข็งแกร่งของผลลัพธ์ต่อไปอย่างไร แต่บทความที่ฉันเชื่อมโยงมาจากปี 2002 สตีเฟ่นคุกและ Phuong เหงียนตีพิมพ์เอกสารทางตรรกะพื้นฐานของการพิสูจน์ความซับซ้อนในปี 2010 คาดเดาว่ามันจะครอบคลุมความคิดของฉันมากมาย เป็นที่น่าสนใจที่จะทราบว่าความแตกต่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่เกิดขึ้นกับพวกเราส่วนใหญ่จริง ๆ แล้วผลลัพธ์เหล่านี้ได้รับการเสริมความแข็งแกร่งเมื่อเวลาผ่านไปแม้เราจะสนใจP ≠ NPคำถาม. แม้ว่ามันจะได้รับการพิสูจน์แล้วในขณะเดียวกันว่าอัลกอริธึมที่อาศัยระบบลอจิคัลที่ไม่มีกฎการตัดไม่สามารถแก้ปัญหาความพึงพอใจได้อย่างมีประสิทธิภาพเราก็ยังเชื่อว่าไม่มีความคืบหน้าในP ≠ NPเป็นหลัก ยังเปิดกว้างเช่นเคย