ส่งไปยังบูลีนสำหรับโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็ม

ฉันต้องการที่จะแสดงข้อ จำกัด ดังต่อไปนี้ในโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็ม:

y = {\begin{cases} 0 & if x = 0 \\ 1 & if x \neq 0. \end{cases}

$y = \begin{cases} 0 &\text{if } x=0\\ 1 &\text{if } x\ne 0. \end{cases}$

ฉันมีตัวแปรจำนวนเต็มและฉันสัญญาว่า100 ฉันจะแสดงข้อ จำกัด ข้างต้นได้อย่างไรในรูปแบบที่เหมาะสมสำหรับใช้กับตัวแก้โปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็ม? $x,y$ $-100 \le x \le 100$

สิ่งนี้น่าจะต้องมีการแนะนำตัวแปรเพิ่มเติมบางอย่าง ฉันต้องเพิ่มตัวแปรและข้อ จำกัด อะไรใหม่ มันสามารถทำได้อย่างหมดจดกับตัวแปรใหม่หนึ่งตัวหรือไม่? สอง?

เท่านี้จะถามวิธีการบังคับใช้ข้อ จำกัด

y \neq 0 if and only if x \neq 0.

$y \ne 0 \text{ if and only if } x \ne 0.$

ในบริบทที่ฉันมีข้อ จำกัด ที่บ่งบอกถึงและ1 $|x| \le 100$ $0 \le y \le 1$

(เป้าหมายของฉันคือแก้ไขข้อผิดพลาดในhttps://cs.stackexchange.com/a/12118/755 )

linear-programming integer-programming

— DW
แหล่งที่มา

คุณลองทำอะไร คุณได้ลองทำตัวอย่างเพื่อดูว่าคุณเห็นลวดลายหรือไม่? ถ้าใช่คุณลองเดาแล้วลองพิสูจน์ดูไหม?

— Brika

หึ! ฉันเห็นสิ่งที่คุณทำที่นั่น @Brika หากคุณกำลังอยากรู้อยากเห็นสิ่งที่ฉันพยายามดูที่นี่เช่นเดียวกับคำอธิบายว่าทำไมว่าผิดจริงนี้ หากคุณต้องการที่จะเห็นความพยายามต่อไปของฉันให้ดูคำตอบของฉัน ขอขอบคุณที่อ่านคำถามเก่า ๆ ของฉันและหากพวกเขาสามารถปรับปรุงให้ดีขึ้นได้ในอนาคตฉันชอบที่จะได้ยินคำแนะนำที่คุณอาจมี!

— DW

นั่นเป็นสิ่งที่ดีมาก ;)

— Brika

คำตอบ:

ผมคิดว่าผมสามารถทำมันด้วยความพิเศษหนึ่งตัวแปรไบนารี $\delta \in \{0,1\}$ :

- 100 y \leq x \leq 100 y

$-100y \le x \le 100 y$

0.001 y - 100.001 δ \leq x \leq - 0.001 y + 100.001 (1 - δ)

$0.001y-100.001\delta \le x \le -0.001y+100.001 (1-\delta)$

ปรับปรุง

นี้จะถือว่า $x$ เป็นตัวแปรอย่างต่อเนื่อง ถ้าเรา จำกัด $x$ จะได้รับมูลค่าจำนวนเต็มแล้วข้อ จำกัด ที่สองได้ง่ายไปที่:

y - 101 δ \leq x \leq - y + 101 (1 - δ)

$y-101\delta \le x \le -y+101 (1-\delta)$

— Erwin Kalvelagen
แหล่งที่มา

ฉันตรวจสอบความถูกต้องนี้โดยการทดสอบอย่างละเอียดด้วยโปรแกรมเล็กน้อย ขอบคุณสำหรับการแก้ปัญหา!

— DW

@ErwinKalvelagen คุณช่วยอธิบายตรรกะของคุณด้วยตัวแปรไบนารีเดลต้าสำหรับกรณีทั่วไปเพิ่มเติมได้เช่นถ้า y = {a: x> 0, b: x <0}

— Nick

@Nick ตัวแปรไบนารีใช้เพื่อสร้างโมเดล 'OR' ดูที่นี่คำตอบสำหรับคำถามของคุณ

— Erwin Kalvelagen

@ErwinKalvelagen คำตอบที่ดีผมพยายามที่จะใช้วิธีการของคุณไปที่คำถามของฉันที่นี่cs.stackexchange.com/questions/64794/...

— Nick

@GonzaloSolera ที่จริงฉันผิด: ฉันถือว่า

เป็นตัวแปรต่อเนื่อง แน่นอนเมื่อ

เป็นจำนวนเต็มเราสามารถย้าย 0.001 ได้สูงสุด 1 ตามที่คุณแนะนำ

x

$x$

x

$x$

— Erwin Kalvelagen

ต่อไปนี้ไม่สวย แต่อย่างใด แต่ใช้งานได้ ให้ , ในกรณีเฉพาะในคำถาม จากนั้นเรามีข้อ จำกัด ดังต่อไปนี้ $0 \leq x \leq N$ $N=100$

$0 \leq z_1, z_2, z \leq 1$
$x - N(1-z_1) \leq 0$
$-x -Nz_1 \leq -1$
$-x -N(1-z_2) \leq 0$
$x -Nz_2 \leq -1$
$z_1 + z_2 - 1 \leq z$
$z \leq z_1$
$z \leq z_2$

สัญชาตญาณมีดังนี้ 0นี้มีการเข้ารหัสในข้อ จำกัด ที่ 2 และ 3 ในทำนองเดียวกันข้อ จำกัด ที่ 4 และ 5 เข้ารหัส $z_1 = 1 \iff x \leq 0$ 0ล่าสุดสามข้อ จำกัด ด่วน 2 $z_2 = 1 \iff x \geq 0$ $z = z_1 \land z_2$

— Pramod
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่าจะมีข้อบกพร่อง ผมถือว่าคุณตั้งใจ

อย่างไรก็ตามมันยังคงผิดสำหรับ

: เราต้องการบังคับ

(

) ในกรณีนี้ แต่ไม่มีทางเลือกสำหรับ

ที่ตรงกับสมการทั้งหมดเนื่องจากสมการ

ต้องการ

(เช่น

) ดังนั้น ILP นี้จึงให้ผลลัพธ์ที่ผิดเมื่อ

z = 1 - y

$z=1-y$

x = 100

$x=100$

y = 1

$y=1$

z = 0

$z=0$

z_{1}, z_{2}

$z_1,z_2$

x - N z_{2} \leq - 1

$x-Nz_2 \le -1$

x < N

$x<N$

x \leq 99

$x \le 99$

: เราต้องการ

แต่เราได้

นอกจากนี้ยังมีช่วงที่ต้องการสำหรับ

ที่ระบุไว้ในคำถามคือ

ไม่

x = 99

$x=99$

y = 1

$y=1$

y = 0

$y=0$

x

$x$

- N \leq x \leq N

$-N \le x \le N$

0 \leq x \leq N

$0 \le x \le N$

— DW

นี่คือโซลูชันที่ใช้ตัวแปรชั่วคราวสองตัว ให้เป็นจำนวนเต็มศูนย์หรือหนึ่งในตัวแปรที่มีความตั้งใจหมายความว่าถ้า , ถ้าและ )สิ่งเหล่านี้สามารถบังคับใช้กับข้อ จำกัด ต่อไปนี้: $t,u$ $t=1$ $x \ge 0$ $u=1$ $x \le 0$ $y=\neg(t \land u)$

\begin{aligned} 0 & \leq t, u, y \leq 1 \\ 1 + x & \leq 101 t \leq 101 + x \\ 1 - x & \leq 101 u \leq 101 - x \\ t + u - 1 & \leq 1 - y \\ 1 - y & \leq t \\ 1 - y & \leq u \end{aligned}

$\begin{align*} 0 &\le t,u,y \le 1\\ 1+x &\le 101t \le 101 + x\\ 1-x &\le 101u \le 101-x\\ t+u-1 &\le 1-y\\ 1-y &\le t\\ 1-y &\le u \end{align*}$

— DW
แหล่งที่มา

คำตอบนี้ไม่ถูกต้องน่าเสียดาย มันจะ จำกัด

โดยส่วนแรกของข้อ จำกัด ที่ไม่น่ารำคาญแรกเมื่อคำถามถามให้

100

ข้อผิดพลาดของpostpostไม่สนุกใช่ไหม (เช่นเดียวกันสำหรับ

)

x \leq 99

$x \leq 99$

x \leq 100

$x \leq 100$

x \geq - 99

$x \geq -99$

— TLW

@TLW ขอบคุณสำหรับการจับ! ฉันได้แก้ไขคำตอบของฉันเพื่อแก้ไขข้อผิดพลาด ฉันทดสอบอย่างละเอียดด้วยโปรแกรมเล็ก ๆ และฉันคิดว่ามันควรจะถูกต้องแล้ว

— DW