อัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาแบบกำหนดแน่นอนเพื่อตรวจสอบว่าหนึ่งอาเรย์เป็นเวอร์ชันที่เรียงลำดับของอีกอันหรือไม่

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้:

อินพุต:สองอาร์เรย์และของความยาวโดยที่อยู่ในลำดับที่เรียง $A$ $B$ $n$ $B$

ค้นหา:ไม่และมีรายการเดียวกัน (กับหลายหลากของพวกเขา)? $A$ $B$

อัลกอริทึมที่กำหนดได้เร็วที่สุดสำหรับปัญหานี้คืออะไร
สามารถแก้ไขได้เร็วกว่าการเรียงลำดับหรือไม่ สามารถแก้ปัญหานี้ในเวลาเชิงเส้นที่กำหนดได้หรือไม่?

algorithms reference-request sorting

— Albert Hendriks
แหล่งที่มา

FWIW แนวทางความน่าจะเป็นคือการแฮชด้วยฟังก์ชันแฮชคำสั่งที่เป็นอิสระ Carter และ Wegman เขียนหนึ่งในเอกสารต้นฉบับเกี่ยวกับเรื่องนี้ ( sciencedirect.com/science/article/pii/0022000081900337 ) แต่ฉันไม่เห็นอะไรเลยในการอ้างอิงของกระดาษนั้น

— KWillets

ข้อความที่คุณอ้างถึงนั้นเกี่ยวกับโมเดลเครื่องจักรทัวริงซึ่งเป็นเพียงความสนใจเชิงทฤษฎีเท่านั้น อัลกอริทึมมักจะวิเคราะห์เกี่ยวกับรูปแบบ RAM

— Yuval Filmus

อ้านั่นคือโมเดลที่ฉันกำลังมองหา ฉันปรับคำถาม

— Albert Hendriks

ทำไมคุณไม่รวมรายการในอาร์เรย์แล้วเปรียบเทียบผลรวม เกี่ยวกับชื่อของคุณมันเป็นเส้นตรงและตอบคำถาม 'เป็นหนึ่งในรุ่นเรียงลำดับของอื่น ๆ ? ' ฉันรู้ว่ามันไม่ใช่รุ่นเครื่องจักรทัวริง แต่เป็นวิธีแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ

— atayenel

@AlbertHendriks คุณ (ส่วนใหญ่) ไม่สามารถเรียงลำดับอาร์เรย์ใน

O (n \log n)

$O(n\log n)$ บนเครื่องทัวริง ขอบเขตที่ต่ำกว่าของ SAT (เช่นcs.cmu.edu/~ryanw/automated-lbs.pdf ) เป็นจริงสำหรับเครื่อง RAM ขออภัยที่ทำให้เข้าใจผิดก่อนหน้านี้

— Yuval Filmus

คำตอบ:

คุณไม่ได้ระบุรูปแบบการคำนวณของคุณดังนั้นฉันจะถือว่ารูปแบบการเปรียบเทียบ

พิจารณากรณีพิเศษซึ่งในอาร์เรย์จะนำมาจากรายการ ในคำที่ TH องค์ประกอบทั้งหรือผม $B$

{1, 2} \times {3, 4} \times \dots \times {2 n - 1, 2 n} .

$\{1,2\} \times \{3,4\} \times \cdots \times \{2n-1,2n\}.$

i

$i$

2 i - 1

$2i-1$

2 i

$2i$

ฉันเรียกร้องว่าถ้าขั้นตอนวิธีการสรุปว่าและมีองค์ประกอบเดียวกันว่าอัลกอริทึมที่มีการเปรียบเทียบองค์ประกอบในแต่ละคู่ใน อันที่จริงสมมติว่าอัลกอริทึมสรุปว่าและมีองค์ประกอบเดียวกัน แต่ไม่เคยเปรียบเทียบองค์ประกอบแรกของคู่ใน ถ้าเราสลับองค์ประกอบแรกอัลกอริทึมจะดำเนินการในลักษณะเดียวกันแม้ว่าคำตอบจะแตกต่างกัน นี้แสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมต้องเปรียบเทียบองค์ประกอบแรก (และองค์ประกอบอื่น ๆ ) กับคู่ใน $A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$ $B$ $A$ $A$

ซึ่งหมายความว่าถ้าและมีองค์ประกอบเดียวกันแล้วหลังจากการตรวจสอบขั้นตอนวิธีการนี้รู้ว่าเรียงลำดับของ ดังนั้นมันจะต้องมีอย่างน้อยใบที่แตกต่างกันและดังนั้นจึงต้องใช้เวลา ) $A$ $B$ $A$ $n!$ $\Omega(n\log n)$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าสิ่งนี้จะบอกเป็นนัยว่า

โดยทั่วไป แต่เห็นได้ชัดว่ารูปแบบการเปรียบเทียบนั้นแตกต่างจากแบบนั้น

P = Ω (n \log n)

$P = \Omega(n\log n)$

— Albert Hendriks

@AlbertHendriks เป็นรุ่นเดียวกับที่ใช้เพื่อแสดง n lg n ขอบเขตล่างสำหรับการเรียงลำดับ หมายความว่าการดำเนินการเดียวที่คุณสามารถทำได้คือการเปรียบเทียบจากนั้นคุณจะไม่สามารถทำได้ดีกว่า ฉันคิดว่านี่ตอบคำถามของคุณ

— Kaveh

[Cntd] เราไม่มีขอบเขตที่แข็งแกร่งแม้แต่การเรียงลำดับ! และถ้าคุณสามารถเรียงลำดับได้เร็วกว่า n lg n คุณสามารถใช้เพื่อแก้ไขปัญหาได้เร็วกว่า n lg n

— Kaveh

@AlbertHendriks คุณรู้เกี่ยวกับอัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาสำหรับการเรียงลำดับจำนวนเต็มหรือไม่? ค้นหาใน CLRS กรณีของคุณอาจเป็นหนึ่งในกรณีที่เราสามารถจัดเรียงในเวลาเชิงเส้น

— Kaveh

จำนวนเต็มสามารถเรียงลำดับใน

(ดูnada.kth.se/~snilsson/fast-sorting ) หรือในเวลาที่คาดหวัง

O (n \log \log n)

$O(n\log\log n)$

(ดูieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=1181890) หรือแม้กระทั่งในเวลาเชิงเส้นถ้าขนาดของคำมีขนาดใหญ่พอ (ดู LNCS 8503, p. 26ff)

O (n \sqrt{\log \log n})

$O(n\sqrt{\log\log n})$

— Yuval Filmus

คำตอบนี้พิจารณารูปแบบการคำนวณที่แตกต่าง: รุ่น RAM ราคาต่อหน่วย ในรูปแบบนี้คำพูดของเครื่องมีขนาดและการดำเนินงานที่พวกเขาใช้เวลาเวลา นอกจากนี้เรายังถือว่าสำหรับความเรียบง่ายเหมาะกับว่าแต่ละองค์ประกอบอาร์เรย์ในคำหนึ่งเครื่อง (และเพื่อให้เป็นที่มากที่สุดในขนาด) $O(\log n)$ $O(1)$ $n^{O(1)}$

เราจะสร้างเส้นเวลาสุ่มอัลกอริทึมที่มีข้อผิดพลาดด้านเดียว (อัลกอริทึมอาจประกาศสองอาร์เรย์จะมีองค์ประกอบเดียวกันแม้ว่านี้ไม่ได้เป็นกรณี) สำหรับปัญหาที่ยากลำบากมากขึ้นในการระบุว่าสองอาร์เรย์และมีองค์ประกอบเดียวกัน (เราไม่จำเป็นต้องใด ๆ ของพวกเขาที่จะเรียง.) ขั้นตอนวิธีการของเราจะทำให้ข้อผิดพลาดกับความน่าจะเป็นที่มากที่สุด n $a_1,\ldots,a_n$ $b_1,\ldots,b_n$ $1/n$

ความคิดคือตัวตนต่อไปนี้ถือ IFF อาร์เรย์มีองค์ประกอบเหมือนกัน: การคำนวณชื่อพหุนามเหล่านี้จะใช้เวลานานเกินไป แต่เราเลือกสุ่มนายกรัฐมนตรีและสุ่มและทดสอบว่า

\prod_{i = 1}^{n} (x - a_{i}) = \prod_{i = 1}^{n} (x - b_{i}) .

$\prod_{i=1}^n (x-a_i) = \prod_{i=1}^n (x-b_i).$

p

$p$

x_{0}

$x_0$

\prod_{i = 1}^{n} (x_{0} - a_{i}) \equiv \prod_{i = 1}^{n} (x_{0} - b_{i}) (\mod p) .

$\prod_{i=1}^n (x_0-a_i) \equiv \prod_{i=1}^n (x_0-b_i) \pmod{p}.$ หากอาร์เรย์มีค่าเท่ากันการทดสอบจะผ่านไปเสมอดังนั้นเราควรให้ความสนใจกับกรณีที่อาร์เรย์ต่างกัน โดยเฉพาะสัมประสิทธิ์ไม่ใช่ศูนย์ เนื่องจากมีขนาดเป็นสัมประสิทธิ์นี้มีขนาดเป็นและมีค่ามากที่สุดไพรม์ ปัจจัยที่มีขนาด(n) ซึ่งหมายความว่าถ้าเราเลือกชุดอย่างน้อยช่วงที่มีขนาดอย่างน้อย (พูด) แล้วสำหรับนายกสุ่มของชุดนี้จะถือมีโอกาสอย่างน้อยที่

\prod_{i = 1}^{n} (x - a_{i}) - \prod_{i = 1}^{n} (x - b_{i})

$\prod_{i=1}^n (x-a_i) - \prod_{i=1}^n (x-b_i)$

a_{i}, b_{i}

$a_i,b_i$

n^{O (1)}

$n^{O(1)}$

2^{n} n^{O (n)} = n^{O (n)}

$2^n n^{O(n)} = n^{O(n)}$

O (n)

$O(n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

n^{2}

$n^2$

p

$p$

n^{2}

$n^2$

p

$p$

1 - 1 / n

$1-1/n$

\prod_{i = 1}^{n} (x - a_{i}) - \prod_{i = 1}^{n} (x - b_{i}) ≢ 0 (\mod p) .

$\prod_{i=1}^n (x-a_i) - \prod_{i=1}^n (x-b_i) \not\equiv 0 \pmod{p}.$ การสุ่มโมดูโลจะเป็นพยานในเรื่องนี้ด้วยความน่าจะเป็น (เนื่องจากพหุนามของดีกรีที่ส่วนใหญ่มีรากมากที่สุด )

x_{0}

$x_0$

p

$p$

1 - n / p \geq 1 - 1 / n

$1-n/p \geq 1-1/n$

n

$n$

n

$n$

โดยสรุปหากเราเลือกขนาดสุ่มโดยประมาณในกลุ่มของช่วงเวลาที่แตกต่างกันอย่างน้อยและสุ่ม moduloดังนั้นเมื่ออาร์เรย์ไม่มีองค์ประกอบเดียวกันการทดสอบของเราจะล้มเหลว กับความน่าจะเป็นn) การรันการทดสอบต้องใช้เวลาเนื่องจากพอดีกับจำนวนคำของเครื่องจักร $p$ $n^2$ $n^2$ $x_0$ $p$ $1-O(1/n)$ $O(n)$ $p$

ใช้การทดสอบเวลา primality พหุนามและเนื่องจากความหนาแน่นของจำนวนเฉพาะที่มีขนาดประมาณเป็นเราสามารถเลือกนายกสุ่มในเวลา(1)} การเลือกสุ่มโมดูโลสามารถดำเนินการในรูปแบบต่างๆและทำง่ายขึ้นเนื่องจากในกรณีที่เราไม่จำเป็นต้องมีการสุ่มชุดสมบูรณ์x_0 $n^2$ $\Omega(1/\log n)$ $p$ $(\log n)^{O(1)}$ $x_0$ $p$ $x_0$

โดยสรุปอัลกอริทึมของเราทำงานในเวลาเสมอเอาท์พุท YES ถ้าอาร์เรย์มีองค์ประกอบเดียวกันและเอาต์พุต NO ที่มีความน่าจะเป็นถ้าอาร์เรย์ไม่มีองค์ประกอบเดียวกัน เราสามารถปรับปรุงความน่าจะเป็นข้อผิดพลาดสำหรับการใด ๆ คงC $O(n)$ $1-O(1/n)$ $1-O(1/n^C)$ $C$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

ในขณะที่อัลกอริทึมนี้ถูกสุ่มมันอธิบายวิธีการใช้ความคิดในบางคำตอบอื่น ๆ เพื่อให้พวกเขาใช้งานได้จริง มันยังมีข้อได้เปรียบเหนือวิธีการ hashtable: มันอยู่ในสถานที่

— Yuval Filmus

ฉันคิดว่า OP ไม่ชอบอัลกอริธึมที่น่าจะเป็นเพราะเขาไม่ชอบอัลกอริธึมเชิงเส้นเวลาที่คาดหวังโดยใช้ตารางแฮช

— Kaveh

Kaveh คุณพูดถูก แต่แน่นอนว่าโซลูชันนี้น่าสนใจและควรเก็บไว้มันแก้ปัญหากรณีอัลกอริธึมที่น่าจะเป็น นอกจากนี้ฉันคิดว่ามันใช้โมเดลที่ฉันกำลังมองหา

— Albert Hendriks

ฉันแค่สงสัยว่าสัญกรณ์ O (1 / n) นั้นถูกต้องหรือไม่ แน่นอนฉันรู้ว่าคุณหมายถึงอะไร แต่ฉันคิดว่าตามคำจำกัดความของบิ๊กโอนี่เท่ากับ O (1)

— Albert Hendriks

ไม่ใช่เลย. มันเป็นปริมาณล้อมรอบด้วยสำหรับขนาดใหญ่พอที่nนั่นคือการรับประกันที่ดีกว่า(1)

C / n

$C/n$

n

$n$

O (1)

$O(1)$

— Yuval Filmus

-3

ฉันจะเสนออัลกอริทึมอื่น (หรืออย่างน้อยรูปแบบของอัลกอริทึมดังกล่าว)

โครงร่างสมมติว่าค่า (สมมติว่า " จำนวนเต็ม ") อยู่ในช่วง (แคบ?) ระหว่าง $[min,max]$

ในเวลาสแกนทั้งสองอาร์เรย์เราสามารถค้นหาและค่าสำหรับทั้งสองและหลายหลากหากมีความแตกต่างเหล่านี้อาร์เรย์จะไม่เรียงสับเปลี่ยนกัน $O(n)$ minmax
ลบminออกจากค่าทั้งหมดจากทั้งสองอาร์เรย์ (นี่คือความจริงที่ว่าหนึ่งอาร์เรย์ที่มีอยู่แล้วในการเรียงลำดับจะไม่ได้นำมาพิจารณาซึ่งน่าจะเป็นสิ่งที่ดีขึ้น)
สมมติว่าค่าในอาร์เรย์เป็นตัวแทนของมวลชนและเราใช้การเร่งความเร็ว / ความเร็วกับขนาด (ซึ่งสามารถปรับปรุงให้มีขนาดบางกรณี) $1$ $c > 1$
ย้ายฝูงจนกว่าจะถึงค่าสูงสุดของที่max-minนี้มีความซับซ้อนของn) สิ่งนี้ยอมให้ค้นหาทั้งค่าเดียวกันและพหุคูณของพวกมันหากสิ่งเหล่านี้แตกต่างกันอาร์เรย์จะไม่เรียงสับเปลี่ยนกัน อื่นตัดสินใจว่าอาร์เรย์เป็นพีชคณิตของกันและกัน $O((max-min)n)$

โปรดสังเกตว่ารูปแบบของอัลกอริทึมข้างต้นนั้นสามารถทำได้อย่างรวดเร็วในหลาย ๆ สถานการณ์

ชุดรูปแบบอัลกอริทึมข้างต้นเป็นรูปแบบของอัลกอริทึมการเรียงลำดับเวลาเชิงเส้นโดยใช้ " มวลที่กำลังเคลื่อนที่ " สัญชาตญาณทางกายภาพที่อยู่เบื้องหลังอัลกอริทึมการเรียงลำดับ "การเคลื่อนย้ายมวลชน " คือ:

สมมติว่ามูลค่าของแต่ละรายการแสดงถึงขนาดของมวลและจินตนาการว่าการจัดเรียงรายการทั้งหมดในบรรทัดและใช้แรงเร่งความเร็วเดียวกัน

จากนั้นแต่ละรายการจะเลื่อนขึ้นไปเป็นระยะทางที่เกี่ยวข้องกับมวลของมันยิ่งไกลน้อยลงและกลับกันมากขึ้น จากนั้นเพื่อดึงรายการที่เรียงลำดับเพียงรวบรวมรายการในลำดับย้อนกลับตามระยะทางที่เดินทาง

อัลกอรึทึมนี้เป็นแบบเส้นตรงเวลาและแบบกำหนดค่าได้แต่มีข้อแม้ว่าจำนวนของแรงเร่งเริ่มต้นและระยะทางในการเดินทาง (หรือเวลาที่ต้องรอ) สัมพันธ์กับการกระจายของค่า (เช่น " มวลชน "ปัจจัยด้านบน) เราสามารถลองแยกพื้นที่สำหรับรายการที่จะเดินทางเข้าไปในกริดและได้รับปัจจัยคงที่ในความเร็วอัลกอริทึม (และใช้รูทีนการเรียงลำดับแบบเร็วเพื่อเรียงลำดับรายการต่าง ๆ ในเซลล์เดียวกัน) $max-min$

ในแง่นี้อัลกอริธึมด้านบนนั้นคล้ายกับอัลกอริธึมการเรียงตามตัวเลข (เช่นradix-sort , count-sort )

หนึ่งอาจคิดว่าอัลกอริทึมนี้อาจไม่ได้มีความหมายมากนัก แต่มันก็แสดงให้เห็นอย่างน้อยหนึ่งอย่าง นั่นคือ " พื้นฐาน " ที่ระดับกายภาพการเรียงลำดับหมายเลขโดยพลการเป็นการดำเนินการเชิงเส้นเวลาในจำนวนรายการ

— Nikos M.
แหล่งที่มา

ในแง่ของการรวบรวมสิ่งของตามลำดับระยะทางที่เดินทางย้อนกลับนั่นแปลว่าเป็นการเปรียบเทียบที่ระดับการนำไปปฏิบัติและ ณ จุดนั้นคุณไม่จำเป็นต้องเรียงลำดับ "ระยะทาง" หรือไม่?

— JustAnotherSoul