DFA สำหรับการยอมรับสตริงไบนารีทั้งหมดของรูปแบบพลังงานของ (ไม่หารด้วย ) คือสำหรับกำหนด

9

เราสามารถสร้างการยอมรับ DFA เลขฐานสองหารด้วยn $n$

ตัวอย่างเช่น DFA ที่ยอมรับเลขฐานสองหารด้วย 2 สามารถเกิดขึ้นได้ดังนี้:

ในทำนองเดียวกัน DFA ที่รับเลขฐานสองหารด้วย 3 สามารถเกิดขึ้นได้ดังนี้:

เราสามารถทำตามขั้นตอนที่กำหนดไว้อย่างดีเพื่อจัดทำ DFA ประเภทนี้ อย่างไรก็ตามสามารถมีขั้นตอนที่กำหนดไว้ได้ดีหรือดีกว่าที่จะบอกว่าตรรกะสำหรับการสร้าง DFAs ยอมรับจำนวนรูปแบบ $n^k$ ?

ยกตัวอย่างเช่นให้เราพิจารณา DFA ยอมรับตัวเลขทั้งหมดของรูปแบบ k ภาษานี้จะเป็นจึงมี regex * เราสามารถสร้าง DFA ได้ดังต่อไปนี้: $2^k$ $\{1,10,100,1000,...\}$ $10^*$

ฉันลองสร้าง DFA เป็นเวลาและสิ่งที่คล้ายกันใช่ไหม แต่ก็ไม่สามารถที่จะทำเช่นนั้น หรือจะเป็นเพียงว่ารูปแบบของเทียบเท่าไบนารีซึ่งทำให้มันเป็นไปได้ที่จะสร้าง DFA และเราไม่สามารถสร้างการยอมรับ DFA เลขฐานสองทุกรูปแบบสำหรับเฉพาะ ? $3^k$ $2^n$ $n^k$ $n$

— มหา
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคุณมีคำตอบที่นี่

3

@ ราฟาเอล, ไม่, นั่นคือสำหรับทวีคูณของ ; นี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับอำนาจของn

n

$n$

n

$n$

— DW

FYI อาจจะมีคนอื่น "ใกล้เคียง" ฟังก์ชั่นที่มีการคำนวณโดย DFAs เช่นหารของอำนาจอื่น ๆ เช่นฟังก์ชั่น Collatz (ซึ่งเกี่ยวข้องกับอำนาจของ 3) สามารถคำนวณได้โดยสถานะ จำกัด transducer ฯลฯ

— vzn

10

นี่เป็นข้อพิสูจน์ที่รวดเร็วและสกปรกเมื่อใช้ Pumping Lemma ภาษาประกอบด้วยในไบนารีนั้นไม่ใช่เรื่องปกติ (หมายเหตุ: มันเป็นเรื่องปกติถ้าแสดงในไตรภาคดังนั้นการแทนจึงมีความสำคัญ) $L$ $3^n$

ผมจะใช้สัญกรณ์จากวิกิพีเดียใหม่บทความสูบน้ำแทรก สมมติว่าความขัดแย้งเป็นปกติ ให้เป็นสตริงใด ๆ ด้วย (ความยาวปั๊ม) โดย Pumping Lemma เขียนด้วยและทุกL ฉันจะเขียน , , และเช่นกันสำหรับค่าตัวเลขของส่วนต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องและสำหรับความยาวของพวกเขาในWตัวเลขเรามีสำหรับบางส่วน $L$ $w \in L$ $|w| \ge p$ $w = x y z$ $|y| \ge 1, |xy| \le p$ $i \ge 0$ $xy^i z \in L$ $x$ $y$ $z$ $|x|, |y|, |z|$ $w$ $w = 3^{k_0}$ $k_0 \in \mathbb{N}$ . ในขณะเดียวกันเรามีตัวเลข x ดังนั้นเราจึงมี $w = z + 2^{|z|} y + 2^{|z|+|y|}x$

z + 2^{| z |} y + 2^{| z | + | y |} x = 3^{k_{0}}

$z + 2^{|z|}y+2^{|z|+|y|} x = 3^{k_0}$

ทีนี้มาปั๊มเพื่อรับ $w$ $i \ge 0$

z + 2^{| z |} y (\sum_{j = 0}^{i - 1} (2^{| y |})^{j}) + 2^{| z | + i | y |} x = 3^{k_{i}},

$z + 2^{|z|} y \left( \sum_{j=0}^{i-1} (2^{|y|})^j \right) + 2^{|z|+i|y|} x = 3^{k_i},$

ที่<\ ทำให้เราได้รับ $k_0 < k_1 < k_2 < \ldots$ $i \ge 1$

z + 2^{| z |} y (2^{i | y |} - 1) / (2^{| y |} - 1) + 2^{| z | + i | y |} x = 3^{k_{i}} .

$z + 2^{|z|} y (2^{i |y|} - 1) / (2^{|y|}-1) + 2^{|z|+i|y|} x = 3^{k_i}.$

ให้-1) ถ้าอย่างนั้นเราก็มี $C = z - 2^{|z|} y / (2^{|y|}-1)$

3^{k_{i}} = 2^{| z | + i | y |} y / (2^{| y |} - 1) + 2^{| z | + i | y |} x + C .

$3^{k_i} = 2^{|z|+i |y|} y / (2^{|y|}-1) + 2^{|z|+i|y|} x + C.$

ตอนนี้ให้สังเกตว่า

3^{k_{i}} - 3^{k_{i - 1}} = (2^{| y |} - 1) (3^{k_{i - 1}} - C) .

$3^{k_i} - 3^{k_{i-1}} = (2^{|y|}-1)(3^{k_{i-1}} - C).$

ดังนั้นเราจึงมีโปรดทราบว่า1 ดังนั้นในมือข้างหนึ่งค่าสัมบูรณ์ของด้านขวามือเติบโตอย่างน้อยซึ่งจะไปอินฟินิตี้กับฉันในทางกลับกันเป็นอิสระจากและเป็นค่าคงที่ สิ่งนี้ให้ความขัดแย้ง $C (2^{|y|}-1) = 3^{k_{i-1}} (2^{|y|} - 3^{k_i - k_{i-1}}).$ $|2^{|y|} - 3^{k_i - k_{i-1}}| \ge 1$ $3^{k_{i-1}}$ $i$ $C(2^{|y|}-1)$ $i$

— Denis Pankratov
แหล่งที่มา

คุณช่วยอธิบายเพิ่มเติมหน่อยได้ไหมว่าทำไมจริงหรือ ฉันถามเพราะความไม่เท่าเทียมนี้เพียงอย่างเดียวสามารถใช้เพื่อให้ได้ความขัดแย้ง:คูณทั้งสองด้านด้วยเราได้จึงซึ่งขัดแย้งกัน (ด้วยเหตุผลที่ระบุไว้ในหลักฐานของคุณ)

| 2^{| y |} - 3^{k_{i} - k_{i - 1}} | \geq 1

$|2^{|y|} - 3^{k_i - k_{i-1}}| \ge 1$

| 2^{| y |} - 3^{k_{i} - k_{i - 1}} | \geq 1

$|2^{|y|} - 3^{k_i - k_{i-1}}| \ge 1$

3^{k_{i - 1}}

$3^{k_{i-1}}$

| 3^{k_{i - 1}} 2^{| y |} - 3^{k_{i}} | \geq 3^{k_{i - 1}}

$|3^{k_{i-1}} 2^{|y|} - 3^{k_i}| \ge 3^{k_{i-1}}$

| C (2^{| y |} - 1) | \geq 3^{k_{i - 1}}

$|C (2^{|y|} - 1)| \ge 3^{k_{i-1}}$

— Anton Trunov

1

ตั้งแต่เรามีเท่ากันและนั้นแปลก ความแตกต่างของพวกเขาคือคี่ดังนั้นอย่างน้อย 1 ในค่าสัมบูรณ์

| y | \geq 1

$|y| \ge 1$

2^{| y |}

$2^{|y|}$

3^{k_{i} - k_{i - 1}}

$3^{k_i - k_{i-1}}$

— เดนิส Pankratov

10

วิธีหนึ่งในการเห็นว่าสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้สำหรับ (เช่น) ภาษาของกำลังของในการขยายฐานสองคือการพิจารณาฟังก์ชั่นการสร้าง $L$ $3$

$\sum_{k=0}^{\infty}n_kz^k$ ,

ที่คือจำนวนคำของความยาวในLฟังก์ชั่นนี้เป็นที่รู้จักกันเหตุผลคือเชาวน์มีหลายชื่อสำหรับการใด ๆ ปกติLโดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวเลขสนองการเกิดซ้ำเชิงเส้นสำหรับบางและ{Z} $n_k$ $k$ $L$ $p(x)/q(x)$ $L$ $n_k$ $n_{k+p+1}=a_0n_k+\dots+a_{p}n_{k+p}$ $p\in\mathbb{N}$ $a_1,\dots,a_p\in\mathbb{Z}$

ในทางกลับกันเนื่องจากเป็นจำนวนอตรรกยะในเราจะได้สำหรับทั้งหมดและลำดับไม่ใช่คาบ สิ่งนี้ให้ความขัดแย้งเนื่องจากหลังจากขั้นตอนมากที่สุดค่าของจะต้องทำซ้ำและการเกิดซ้ำนั้นจะนำไปสู่พฤติกรรมเป็นระยะ $\log_2(3)$ $(1,2)$ $n_k\in\{0,1\}$ $k$ $(n_k)_{k\ge 1}$ $2^p$ $n_k,\dots,n_{k+p}$

— Klaus Draeger
แหล่งที่มา

8

คำตอบที่สมบูรณ์สำหรับคำถามของคุณนั้นมาจากผลลัพธ์ของ Cobham [2] ที่ยาก (ยาก)

กำหนดฐานเลข , ชุดของจำนวนธรรมชาติกล่าวจะ -recognizable ถ้าการแสดงในฐานขององค์ประกอบในรูปแบบภาษาประจำตัวอักษร\} ดังนั้นที่คุณสังเกตเห็นชุดของอำนาจของเป็น -recognizable เพราะมันเป็นตัวแทนจากชุดปกติบนตัวอักษร\} ในทำนองเดียวกันชุดของพลังของคือ - รู้จัก - มันสอดคล้องกับชุดปกติ - และชุดของพลังของคือ $b$ $b$ $b$ $\{0, 1, \dotsm, b-1\}$ $2$ $2$ $10^*$ $\{0,1\}$ $4$ $2$ $1(00)^*$ $3$ $3$ -recognizable - มันสอดคล้องกับชุดปกติมากกว่าตัวอักษร\} $10^*$ $\{0,1,2\}$

ชุดของตัวเลขธรรมชาติถูกบอกว่าเป็นระยะในที่สุดถ้ามันเป็นสหภาพที่แน่นอนของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

สองฐานจะกล่าวว่าเป็นmultiplicatively ขึ้นอยู่กับว่ามีดังกล่าวว่าทั้งสองและเป็นอำนาจของ : ยกตัวอย่างเช่นและมี multiplicatively ขึ้นตั้งแต่และ5 $b, c > 1$ $r > 1$ $b$ $c$ $r$ $8$ $32$ $8 = 2^3$ $8 = 2^5$

ทฤษฎีบท [Cobham] ให้และสองฐานอิสระทวีคูณ หากชุดเป็น -recognizable และ -recognizable แล้วมันเป็นระยะในที่สุด $b$ $c$ $b$ $c$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่วยให้เป็นชุดของอำนาจของ3เราได้เห็นว่ามันเป็นรู้จัก ถ้ามันเป็นยัง -recognizable ก็จะเป็นระยะ ๆ ในที่สุดซึ่งไม่แน่นอนกรณีสำหรับS $S$ $3$ $3$ $2$ $S$

ทฤษฎีบทของคอบนำไปสู่การสรุปและการพัฒนาที่น่าแปลกใจมากมาย ผมขอแนะนำให้สำรวจ [1] หากคุณสนใจ

[1] V. Bruyère, G. Hansel, C. Michaux, R. Villemaire, Logic และจำนวนเต็มจำนวนที่สามารถจดจำได้, Journées Montoises (Mons, 1992) วัว. Belg คณิตศาสตร์. Soc ไซมอน Stevin 1 (1994) ไม่มี 2, 191--238 แก้ไขเลขที่ 4, 577 $p$

[2] A. Cobham, ลำดับแท็กเครื่องแบบ, คณิตศาสตร์ ทฤษฎีระบบ 6 (1972), 164--192

— J.-E. หมุด
แหล่งที่มา

คุณช่วยแก้ไขการอ้างอิงได้ไหม ตอนนี้พวกเขาทั้งคู่มีหมายเลข [1] & [1]

— แอนตัน Trunov