การพิสูจน์ P ≠ NP จะยากกว่าการพิสูจน์ P = NP หรือไม่

พิจารณาความเป็นไปได้สองอย่างสำหรับปัญหา P vs. NP: P = NP และ P NP$\neq$

ให้ Q เป็นหนึ่งในปัญหา NP-hard ที่รู้จักกันดี เพื่อพิสูจน์ P = NP เราต้องออกแบบอัลกอริทึมเวลาพหุนามเดียวสำหรับ Q และพิสูจน์ว่า A แก้ปัญหาได้อย่างถูกต้อง Q

เพื่อพิสูจน์ P NP เราต้องแสดงให้เห็นว่า ไม่มีขั้นตอนวิธีเชิงพหุนามแก้ได้ Q. ในคำอื่น ๆ เราต้องแยกแยะอัลกอริธึมเวลาพหุนามทั้งหมด$\neq$

ฉันเคยได้ยินคนพูดว่านี่ทำให้งานยากขึ้นเป็นลำดับที่สอง (สมมติว่ามันเป็นเรื่องจริง)

มีเหตุผลที่คิดว่าการพิสูจน์ P = NP (สมมติว่า P = NP) จะง่ายกว่าการพิสูจน์ P NP (สมมติว่า P NP) หรือไม่$\neq$$\neq$

ดังที่ราฟาเอลอธิบายคำถามนี้ไม่ถูกต้องเนื่องจากอย่างน้อยหนึ่งใน P = NP และ P ≠ NP ควรพิสูจน์ได้เลย แต่คำถามที่คล้ายกันเกิดขึ้นในวิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ในหลายรูปแบบที่เห็นได้ชัดเจนที่สุดซึ่งอยู่ในเขตของขั้นตอนวิธีการประมาณ

เมื่อพิจารณาปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ NP-hard (พูดการเพิ่มประสิทธิภาพสูงสุด) เราสามารถถามได้ว่าเราสามารถประมาณได้ดีเพียงใด การพิสูจน์ขอบเขตบนของการประมาณที่เป็นไปได้นั้นคล้ายกับ P = NP ในขณะที่การพิสูจน์ขอบเขตล่างของการประมาณที่เป็นไปได้นั้นก็คล้ายกับ P ≠ NP อดีตนั้นง่ายกว่าแบบหลังมาก อันที่จริงการพิสูจน์ขอบเขตทั้งหมดที่เราต้องทำคือการหาอัลกอริธึมการประมาณและวิเคราะห์มัน ในทางตรงกันข้ามขอบเขตล่างที่รู้จักทั้งหมดมีเงื่อนไข: ใช้ได้เมื่อ P ≠ NP (แน่นอนถ้า P = NP ดังนั้นปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพ NP-hard ทุกปัญหาจะสามารถแก้ไขได้) เพื่อพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่านี้เราแสดงให้เห็นว่าถ้าเราสามารถประมาณปัญหาได้ดีเกินไปเราจะได้อัลกอริธึมเวลาพหุนามสำหรับปัญหา NP-hard โดยปกติจะทำผ่านเครื่องจักรทางเทคนิคที่ซับซ้อนของทฤษฎีบท PCP ฟิลด์นี้รู้จักกันในชื่อความแข็งของการประมาณสามารถเข้าถึงได้เฉพาะผู้เชี่ยวชาญเท่านั้นและมีความท้าทายทางเทคนิคมากกว่าขั้นตอนวิธีการประมาณส่วนใหญ่ ดังนั้นในกรณีนี้อย่างน้อย P = NP จึงง่ายกว่า P ≠ NP

เรายังไม่ได้ตัดความเป็นไปได้ของการพิสูจน์แบบง่ายที่ P = NP หากใครบางคนในวันพรุ่งนี้เกิดอัลกอริธึมที่แก้ปัญหา NP-complete ในเวลา P โลกก็จะเปลี่ยน

ในทางกลับกันเราได้ตัดความเป็นไปได้ของการพิสูจน์อย่างง่าย ๆ ว่า P! = NP เทคนิคการพิสูจน์ทั่วไปของเราสำหรับการแสดงว่าคลาสความซับซ้อนที่แตกต่างกันสองคลาสได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่เพียงพอ สามเทคนิคดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันในชื่อ "arithmetization", "หลักฐานธรรมชาติ" s และหมวดหมู่ของบทพิสูจน์เรียกว่า "relativizing" (คนที่ไม่สนใจว่ามีการใช้ oracles) สามารถพิสูจน์ได้ว่าเทคนิคการพิสูจน์ใด ๆ ที่ตรงกับ 3 ประเภทใด ๆ นั้นไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่า P! = NP

มีหลักฐานที่ชัดเจนว่าการพิสูจน์ P! = NP ต้องใช้การพิสูจน์ชนิดใหม่ (เทคนิคใหม่ที่มีคุณสมบัติแตกต่างกัน) ไม่ใช่แค่การประยุกต์ใช้นวนิยายของเทคนิคการพิสูจน์ที่รู้จักกันดี

ตอนนี้มันอาจกลายเป็นว่า P = NP ในขณะที่ไม่มีวิธีง่าย ๆ ในการตรวจสอบอัลกอริทึมใน P ที่แก้ปัญหา NP-complete และต้องใช้เทคนิคการพิสูจน์แบบใหม่เพื่อพิสูจน์ P = NP (ถ้า P = NP เรารู้อยู่แล้วว่าอัลกอริทึมที่เป็นเทคนิคใน P ที่แก้ปัญหา NP-hard น่าขบขันพวกเขาไม่สามารถใช้งานได้จริงเนื่องจากปัจจัยคงมีขนาดใหญ่)

โดยพื้นฐานแล้วเรารู้มากเกี่ยวกับสิ่งที่เราไม่สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ P! = NP ในขณะที่เรารู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับสิ่งที่เราไม่สามารถใช้เพื่อพิสูจน์ P = NP

โดยพื้นฐานแล้วคุณมีความคิด โดยทั่วไปเราคิดว่า P! = NP แต่ไม่รู้ว่าจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าสิ่งเหล่านี้ไม่เท่ากัน

ในทางกลับกันถ้า P = NP คุณคิดว่าเราจะได้พบอัลกอริทึมในการแก้ปัญหา NP-complete อย่างใดอย่างหนึ่ง

นี่เป็นข้อโต้แย้งที่ถกเถียงกันมาก แต่ในสองประโยคพวกเขาอธิบายถึงวัฒนธรรมในหมู่นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

การพิสูจน์ว่า P! = NP นั้นแน่นอนว่า "ยากขึ้น" หรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับว่าเป็นเรื่องจริง (ยกเว้นผลเมตา - คณิตศาสตร์หรือไม่) และแน่นอนเราไม่ทราบ

มีผู้เชี่ยวชาญบางคนที่เชื่อว่าการพิสูจน์ P NP นั้นยากกว่าการพิสูจน์ P = NP ในแง่ของเวลาที่พวกเขาคิดว่าจะต้องใช้ในการจัดการกับคำถาม P กับ NP แต่นั่นเป็นสัญชาตญาณส่วนใหญ่ตามความรู้สึกว่ามันง่ายต่อการออกแบบอัลกอริธึมสำหรับปัญหามากกว่าการพิสูจน์ว่าไม่มีอัลกอริธึมที่ไม่มีประสิทธิภาพ โดยทั่วไปเราไม่ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าสำหรับปัญหา เราไม่สามารถแยกแยะอัลกอริทึมเชิงเส้นสำหรับ SAT ได้ เราไม่สามารถแยกแยะได้ว่าไม่มีอัลกอริทึมพื้นที่บันทึกสำหรับ SAT เราไม่สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าไม่มีวงจรบูลีนขนาดพหุนามที่มีความลึกคงที่ด้วย∧ , ∨ , ¬และ$\neq$$\land$$\lor$$\lnot$ประตูที่ไม่สามารถแก้ SAT ได้ (ในแง่ของคนธรรมดาเป็นไปได้ว่ามีอัลกอริทึมแบบขนานเวลาคงที่กับจำนวนโพลิโนเมียลของโปรเซสเซอร์ที่แก้ SAT และแต่ละกระบวนการคำนวณเพียงหนึ่งประตูเท่านั้น) ที่ดีที่สุดของขอบเขตที่ต่ำกว่าที่เรามีสำหรับเครื่องจักรทัวริงแก้ SAT ไม่สามารถแม้แต่จะแสดงให้เห็นว่ามีไม่ได้เป็นอัลกอริทึมที่มีเวลาทำงานคูณด้วยพื้นที่ที่จะใช้เป็น n 1.9 ฉันสามารถพูดต่อไปได้บ้างเกี่ยวกับสถานะที่ค่อนข้างน่าอายในการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่า (แต่จำไว้ว่าเรายังมีผลลัพธ์ของสิ่งกีดขวางที่อธิบายว่าทำไมมันจึงยากที่จะพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่า) ผู้เชี่ยวชาญบางคนคิดว่าโปรแกรม GCT ของ Ketan Mulmuley นั้นมีแนวโน้มมากที่สุดที่จะแก้ไข P กับ NP และ Mulmuley เองได้กล่าวซ้ำ ๆ ว่าเขาเชื่อว่าอาจจะใช้เวลากว่าหนึ่งร้อยปีกว่าจะไปถึงที่นั่น$\mod_6$$n^{1.9}$

อย่างไรก็ตามมีงานบางอย่างเมื่อไม่นานมานี้โดย Ryan Williams และคนอื่น ๆ ที่แสดงว่ามีการเชื่อมโยงที่แท้จริงระหว่างการพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าและการค้นหาอัลกอริทึม เช่นเขาแสดงให้เห็นว่าอัลกอริธึมดีกว่าอัลกอริธึมแรงเดรัจฉานเล็กน้อยสำหรับปัญหา SAT ที่ถูก จำกัด เฉพาะซึ่งหมายถึงขอบเขตที่ต่ำกว่าวงจรจากนั้นเขาก็ออกแบบอัลกอริธึมดังกล่าว ดังนั้นฉันคิดว่าผู้คนมองโลกในแง่ร้ายน้อยลงและดูเหมือนจะไม่พัฒนาอัลกอริธึมและพิสูจน์ขอบเขตที่ต่ำกว่าแยกออกจากกันเมื่อคนเคยคิดว่าพวกเขาเป็น

ทีนี้ลองย้อนกลับไปที่คำถามและลองดูมันให้เคร่งศาสนามากขึ้น ในการตอบคำถามเราต้องทำให้เป็นทางการว่าเราหมายถึงอะไรด้วยความยากลำบากในการพิสูจน์ข้อความ สำหรับสิ่งนี้เราสามารถใช้ทฤษฎีการพิสูจน์และความซับซ้อนของการพิสูจน์ซึ่งมีลักษณะที่หลากหลายวิธีในการกำหนดความแข็งของการพิสูจน์ข้อความ ขอผมอธิบายสั้น ๆ เกี่ยวกับความซับซ้อนของการพิสูจน์ว่าเป็นอย่างไร ระบบพิสูจน์เป็นหลักอัลกอริทึมตรวจสอบสำหรับการพิสูจน์ เราให้สตริงและสตริงφและเราถามว่าπเป็นหลักฐานของ$\pi$$\varphi$$\pi$$\varphi$และอัลกอริทึมส่งคืนใช่หรือไม่ใช่ คุณสามารถคิดถึงตัวตรวจสอบหลักฐานในลักษณะนี้ คุณสามารถนึกถึงการพิสูจน์ในระบบคณิตศาสตร์เช่น ZFC กระบวนการตรวจสอบตัวเองสามารถทำได้ในเวลาพหุนามในขนาดของการพิสูจน์เพราะมันเป็นงานวากยสัมพันธ์

ตอนนี้พิจารณาสูตรφφยากที่จะพิสูจน์หมายความว่าอย่างไร ความเป็นไปได้อย่างหนึ่งคือหลักฐานที่สั้นที่สุดของφนั้นใหญ่มาก ถ้ามันมีขนาดใหญ่เกินไปบอกว่าจำนวนบิตที่ต้องใช้เพื่อแทนมันมีขนาดใหญ่กว่า2 65536ดังนั้นเราจึงไม่สามารถระบุหลักฐานได้ ความเป็นไปได้ที่สองคือการพิสูจน์ไม่ใหญ่เกินไป แต่หายาก ให้ฉันอธิบายสิ่งนี้สักหน่อย: ลองคิดถึงขั้นตอนวิธีการค้นหาที่พิสูจน์ได้ กฎส่วนใหญ่กำหนดขึ้นในระบบเช่นLK$\varphi$$\varphi$$\varphi$$2^{65536}$ในแง่ที่ว่าคุณสามารถกำหนดบรรทัดก่อนหน้าจากบรรทัดปัจจุบันในการพิสูจน์และกฎ ข้อยกเว้นที่สำคัญคือกฎการตัด มันเป็นสิ่งสำคัญเพราะแม้ว่าเราไม่ต้องการกฎการตัดเพื่อพิสูจน์ข้อความ แต่ก็สามารถลดขนาดของการพิสูจน์ที่สั้นที่สุดได้อย่างมาก อย่างไรก็ตามกฎการตัดไม่ได้กำหนด: มีสูตรการตัดที่เราต้องเดา คุณสามารถนึกถึงกฎเกณฑ์การตัดเป็นการพิสูจน์บทแทรกและใช้มัน สูตรการตัดเป็นเหมือนบทแทรก แต่เราควรพิสูจน์บทแทรกที่จะช่วยเราได้อย่างไร นั่นคือส่วนที่ยาก บ่อยครั้งที่ผลลัพธ์ได้รับการพิสูจน์ในวิชาคณิตศาสตร์โดยการหาบทแทรกที่ดี นอกจากนี้เมื่อคุณใช้ผลลัพธ์ที่พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้คุณกำลังใช้กฎการตัด องค์ประกอบที่สำคัญอีกประการหนึ่งในการพิสูจน์ข้อความก็คือคำจำกัดความ บ่อยครั้งที่เรากำหนดแนวคิดใหม่แล้วพิสูจน์ข้อความเกี่ยวกับมัน และในที่สุดก็นำไปใช้ในกรณีพิเศษของเรา การใช้คำจำกัดความจะลดขนาดของสูตร (ลองขยายสูตรทางคณิตศาสตร์บางอย่างไปยังภาษาเชิงทฤษฎีเซตที่บริสุทธิ์โดยการขยายคำจำกัดความเพื่อให้ได้แนวคิดว่าคำจำกัดความสำคัญมีความหมายอย่างไร) เราควรใช้คำจำกัดความใหม่อะไรอีก เราไม่รู้ สิ่งนี้ทำให้ฉันมีความหมายที่สามของข้อความที่พิสูจน์ได้ยาก คำสั่งอาจพิสูจน์ได้ยากเพราะคุณต้องการสัจพจน์ที่เข้มแข็ง ใช้เช่น คำสั่งอาจพิสูจน์ได้ยากเพราะคุณต้องการสัจพจน์ที่เข้มแข็ง ใช้เช่น คำสั่งอาจพิสูจน์ได้ยากเพราะคุณต้องการสัจพจน์ที่เข้มแข็ง ใช้เช่นCH ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน ZFC หรือไม่สามารถหักล้างได้ใน ZFC นี่เป็นกรณีที่รุนแรง แต่มันเกิดขึ้นบ่อยครั้งกว่าที่คุณคิด เราจำเป็นต้องมีหลักการสำคัญมากมาย (เพื่อให้สามารถทำงานในจักรวาล Grothendieck ) เพื่อพิสูจน์FLTหรือเราสามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีที่อ่อนแอกว่าเช่นPAหรือไม่? นี่เป็นอีกแนวคิดหนึ่งเกี่ยวกับความยากลำบากในการพิสูจน์ข้อความ

$\neq$$\neq$$\neq$$\neq$

ฉันคิดว่าคำถามสามารถลดลงได้: มันง่ายกว่าที่จะพิสูจน์ว่ามีบางสิ่งอยู่หรือเพื่อพิสูจน์ว่าไม่มีบางสิ่งอยู่

การโต้แย้งเพื่อพิสูจน์ว่ามีบางสิ่งอยู่นั่นคือมันง่ายที่จะสร้างสิ่งต่าง ๆ ที่อาจตอบสนองความต้องการและมันก็ง่ายที่จะตรวจสอบว่าพวกเขาพึงพอใจจริง ๆ หรือไม่

ในบางกรณีสิ่งนี้เป็นจริง: หากคุณต้องการหารากของพหุนามมันง่ายที่จะสร้างตัวเลขและง่ายต่อการตรวจสอบว่าเป็นรากหรือไม่

แน่นอนปัญหาคือคุณต้องโชคดี คุณอาจสามารถลดพื้นที่การค้นหาเช่นโดยพิสูจน์ว่าต้องเป็นทวีคูณของ 5 หรือระหว่าง 1 และ 10 แต่ถ้าคุณไม่ได้ จำกัด ให้มีจำนวน จำกัด (ในกรณีที่คุณไม่ได้ใช้วิธี "เดาและตรวจสอบ") คุณไม่มีวิธีแก้ปัญหา: คุณมีวิธีที่สมมติว่า คุณโชคดีมากอาจสร้างโซลูชัน

แต่ถ้าคุณต้องการมันก็ง่ายพอ ๆ กันที่จะพิสูจน์ว่าไม่มีอะไร! สร้างข้อความที่อาจเป็นคำตอบที่เป็นไปได้และตรวจสอบว่าเป็นจริงหรือไม่

ดังนั้นการมีวิธีการที่อาจให้ทางออกด้วยโชคบริสุทธิ์ไม่ได้หมายความว่าการพิสูจน์ว่ามีบางสิ่งที่ง่ายกว่า

ทีนี้โดยทั่วไปแล้วมันง่ายต่อการพิสูจน์ว่ามีบางสิ่งอยู่ในวิธีอื่นบ้างหรือไม่? มันขึ้นอยู่กับปัญหาที่เกิดขึ้นจริงเพราะมิฉะนั้นการพิสูจน์ว่าสิ่งที่ไม่มีอยู่จะลดลงเพื่อพิสูจน์ว่าไม่มีหลักฐานอยู่จริง และฉันกลัวว่าเราไม่สามารถวัดได้ว่าไม่มีสิ่งใดที่พิสูจน์ได้ว่ามีอยู่จริงและไม่มีอยู่จริงดังนั้นเราจึงสามารถวัดความยากของการพิสูจน์ได้

หากคุณพิสูจน์ว่า P = NP การพิสูจน์ในทางตรงกันข้ามไม่ใช่แค่ยาก แต่เป็นไปไม่ได้

ฉันเชื่อว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ P <> NP เพราะคุณจะต้องตัดทอนอัลกอริธึมทั้งหมดที่สามารถพิสูจน์ P = NP ได้ อาจมีจำนวนอนันต์ของความเป็นไปได้เหล่านี้ ไม่มีวิธีพิสูจน์หักล้างอินฟินิตี้ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ ในทางกลับกันสิ่งที่ต้องทำก็คืออัลกอริธึมเดียวเพื่อพิสูจน์ P = NP หากเป็นเช่นนั้น ดังนั้นทั้ง P = NP ที่ใครบางคนจะพิสูจน์หรือเราจะไม่มีทางรู้