ปัญหาการหยุดชะงักสามารถตัดสินใจได้สำหรับสัญลักษณ์ 3 มิติ

ฉันพยายามที่จะคิดออกว่าปัญหาการหยุดพักสามารถตัดสินใจได้สำหรับสัญลักษณ์สามมิติแบบเซลลูลาร์ออโตมาตา

นิยาม Let หมายถึงการกำหนดค่าของระบบในเวลาที่ขั้นตอนที่ฉัน เป็นทางการมากขึ้นf : A ∗ × N → A ∗โดยที่Aคือตัวอักษร$f(w,i)$$i$$f:A^*\times \mathbb{N} \to A^*$$A$

คำนิยาม หุ่นยนต์มือถือได้หยุดในการกำหนดค่าถ้า∀ k ∈ Nเรามีฉ( W , ฉัน) = F ( W , ฉัน+ k )$f(w,i)$$\forall k\in \mathbb{N}$$f(w,i)=f(w,i+k)$

ปัญหาการหยุดสำหรับหุ่นยนต์เซลลูล่าร์ที่กำหนดมีดังต่อไปนี้:

การป้อนข้อมูล:คำ จำกัดคำถาม:จะเป็นหุ่นยนต์หยุดชะงักในบางรัฐs ?$w$
$s$

ประถมศึกษาเซลล์ออโต (มี 2 สัญลักษณ์) ที่กำหนดไว้ที่นี่ ฉันมุ่งเน้นออโตมาตะประเภทเดียวกันยกเว้นว่าฉันสนใจในกรณีของ CA ที่มี 3 สัญลักษณ์แทนเพียง 2 สัญลักษณ์

จากนี้ไปฉันจะแสดงกฎของฉันในรูปแบบของซึ่งหมายความว่า 3 สัญลักษณ์ที่อยู่ใกล้เคียงผลิตอีกสัญลักษณ์หนึ่งที่อยู่ด้านล่าง$***\to*$

ปัญหาการหยุดพักสามารถตัดสินใจได้สำหรับออโตมาตาเซลลูล่าร์แบบ 2 สัญลักษณ์

ฉันจะใช้เพื่อแสดงถึงเซลล์สีขาวและ1เพื่อแสดงถึงเซลล์สีดำ$0$$1$

หากเรามีกฎ , 001 → 1 , 100 → 1เรารู้ว่าหุ่นยนต์จะไม่หยุด เนื่องจากกฎข้อแรกเนื่องจากกริดของเราไม่มีที่สิ้นสุดเราจะมีเซลล์สีขาว 3 เซลล์ที่จะสร้างเซลล์สีดำ ด้วยกฎข้อที่สองและข้อที่ 3 คำว่าจะขยายไปทางด้านข้างและหุ่นยนต์จะไม่หยุด$000 \to 1$$001 \to 1$$100 \to 1$

ในส่วนที่เหลือของกรณีที่เราสามารถปล่อยให้มันพัฒนาขึ้นสำหรับขั้นตอนและดูว่าจะหยุด ถ้ามันหยุดแล้วก็โอเคมันหยุดถ้ามันไม่หยุดมันเป็นการรวมตัวกันซ้ำ ๆ และติดอยู่ในลูปดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่ามันจะไม่หยุด$2^n$

สิ่งที่ฉันคิดออกสำหรับสัญลักษณ์ 3 ตัว

จะเห็นได้ชัดว่ามันจะไม่หยุดถ้าเรามีกฎระเบียบที่หรือ000 → 2 แต่กฎระเบียบด้านของรูปแบบ00 x → Yและx 00 → Yจะยากที่จะวิเคราะห์เพราะสิ่งที่ถ้าเรามีกฎระเบียบที่002 → 1และ001 → 0 ?$000 \to 1$$000 \to 2$$00x \to y$$x00 \to y$$002 \to 1$$001 \to 0$

นี่คือสิ่งที่ฉันมาด้วย:

ลองพิจารณาชุดของกฎดังกล่าวทั้งหมด:

1. และ 002 → $001 \to 0$$002 \to 0$
2. และ 002 → $001 \to 0$$002 \to 1$
3. และ 002 → $001 \to 0$$002 \to 2$
4. และ 002 → $001 \to 1$$002 \to 0$
5. และ 002 → $001 \to 1$$002 \to 1$
6. และ 002 → $001 \to 1$$002 \to 2$
7. และ 002 → $001 \to 2$$002 \to 0$
8. และ 002 → $001 \to 2$$002 \to 1$
9. และ 002 → $001 \to 2$$002 \to 2$

ฉันไม่ได้เขียนกรณีสำหรับกฎของแบบฟอร์มเพราะสิ่งเหล่านั้นสมมาตร$x00 \to y$

ดังนั้นในกรณีแรกเห็นได้ชัดว่าคำที่ป้อนจะไม่ขยายไปถึงด้านข้างเพราะกฎสัญลักษณ์ด้านเหล่านั้นจะสร้างศูนย์

ในกรณีที่ 5, 6, 8, 9 เป็นที่ชัดเจนว่าหุ่นยนต์จะไม่หยุดเพราะคำป้อนจะขยายตัว

ราย 2,3,4,7 คดีน่าสนใจกว่านี้ ขั้นแรกให้สังเกตว่ากรณีที่ 2 คล้ายกับกรณีที่ 7 และกรณีที่ 3 คล้ายกับกรณีที่ 4 ดังนั้นให้ลองพิจารณากรณีที่ 2 และ 3 เพื่อความกระชับ

ฉันจะพิจารณากรณีที่ 3 ก่อนเพราะง่ายกว่า

$001 \to 0$$002 \to 2$$2$$2$$2$

นี่คือชุดค่าผสมทั้งหมดที่เราต้องพิจารณา:

010 011 012
 0   0   0
 0   0   1
 0   0   2
 0   1   0
 0   1   1
........... etc

คำอธิบายว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเรามีสามตัวแรกจากตารางด้านบน

$w$$1$$010 \to 0$$011 \to 0$$012 \to 0$$2$$002 \to 2$$|w|/2$

กรณีทั่วไป 3

$3^n$$2$

ที่ฉันติดอยู่

ทีนี้ลองพิจารณากรณีที่ 2

$001 \to 0$$002 \to 1$

และนี่คือที่ที่ฉันติดอยู่และไม่รู้จะทำอย่างไร

$1$$2$$2's$$1$$01x \to y$

นี่คือตาราง:

010 011 012
 0   0   0
 0   0   1
 0   0   2
 0   1   0
 0   1   1
 0   1   2
 0   2   0
 0   2   1
 0   2   2
 1   0   0
 1   0   1
 1   0   2
 1   1   0
 1   1   1
 1   1   2
 1   2   0
 1   2   1
 1   2   2
 2   0   0
 2   0   1
 2   0   2
 2   1   0
 2   1   1
 2   1   2
 2   2   0
 2   2   1
 2   2   2

$2$$3^n$$2$

$2$

พวกคุณช่วยบอกวิธีแก้ปัญหานี้ได้มั้ย ฉันไม่สามารถห่อหัวของฉันรอบนี้

หรือถ้าออโตเมติกเซล 3 สัญลักษณ์นี้ดูเหมือนสิ่งที่ปัญหาการแฮงค์ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่สามารถตัดสินใจได้ฉันจะลดบางสิ่งนั้นให้เป็นออโตเมติกเซลลูลาร์แบบ 3 สัญลักษณ์ได้อย่างไร

ฉันได้พบบทความนี้: http://www.dna.caltech.edu/~woods/download/NearyWoodsMCU07.pdf และจะแสดงวิธีการพิสูจน์ว่าปัญหาการหยุดชะงักไม่สามารถอธิบายได้สำหรับออโตมาร์ 15 เซลล์สัญลักษณ์

ลองดูคำแนะนำทั่วไปของเครื่องทัวริง:

$q,x\to p,y,L$

$q,x\to p,y,R$

$x$$q$$x$$y$$p$

$A$$R$$Q$$\Sigma=A\bigcup Q\bigcup \{q'|\forall q \exists r\in R, r=p,x\to q,y,L\}$$q$$p,x\to q,y,L$$q'$

$s=...xabqzyk...$$q\in Q$$q$$z$

มาดูกันว่าเราสามารถจำลองการทำงานของ TM ได้อย่างไร ลองพิจารณาอันที่สองก่อน:

$q,z\to p,y,R$

$s=...xabqzyk...$$...xabypyk...$

$qz\alpha\to p, \forall \alpha \in \Sigma$

$\alpha qz\to y, \forall \alpha \in \Sigma$

กรณีแรกนั้นซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อยเรามี:

$q,z\to p,y,L$

$s=...xabqzyk...$$...xapbyyk...$$abq\to p$$abq$

ขั้นแรก:

$qz\alpha\to y, \forall \alpha \in \Sigma$

$\alpha qz\to p', \forall \alpha \in \Sigma$

ขั้นตอนที่สอง:

$\alpha \beta p'\to p, \forall \alpha, \beta \in \Sigma$

$\alpha p' \beta\to \beta, \forall \alpha, \beta \in \Sigma$

สำหรับกฎ CA อื่น ๆ ทั้งหมดซึ่งไม่มีกฎใน TM เราจะเขียนสิ่งต่อไปนี้:

$\alpha \beta \gamma \to \beta, \forall \alpha,\beta,\gamma \in \Sigma$

$U_{6,4}$

$q'$$p,x\to q,y,L$$u_1, u_3, u_4, u_5, u_6$

ตอนนี้มีช่องว่างระหว่าง 2 ถึง 15 สัญลักษณ์ (พิเศษ) ที่เราไม่รู้