การเรียกซ้ำ Collatz ทำงานนานเท่าใด

19

ฉันมีรหัส Python ดังต่อไปนี้

def collatz(n):
    if n <= 1:
        return True
    elif (n%2==0):
        return collatz(n/2)
    else:
        return collatz(3*n+1)

เวลาทำงานของอัลกอริทึมนี้คืออะไร

ลอง:

ถ้าหมายถึงเวลาทำงานของฟังก์ชั่น จากนั้นฉันคิดว่าฉันมี $T(n)$ collatz(n)

{\begin{cases} T (n) = 1 for n \leq 1 \\ T (n) = T (n / 2) for n even \\ T (n) = T (3 n + 1) for n odd \end{cases}

$\begin{cases} T(n)=1 \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) \text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$

ฉันคิดว่าจะเป็นหากยังอยู่ แต่จะคำนวณการเกิดซ้ำโดยทั่วไปได้อย่างไร $T(n)$ $\lg n$ $n$

algorithm-analysis runtime-analysis recurrence-relation

— 9bi7
แหล่งที่มา

4

นั่นควรเป็น

และอื่น ๆ +1 มีความสำคัญมิฉะนั้นคุณจะมี

สำหรับ

ทั้งหมดที่ลำดับนั้นสิ้นสุด

T (n) = T (\frac{n}{2}) + 1

$T(n) = T(\frac n2) + 1$

T (n) = 1

$T(n) = 1$

n

$n$

— user253751

2

54 คือเท่ากัน, T (54) = 112! = lg (54)

— Taemyr

มันสันนิษฐานว่าผู้ใช้จะใส่จำนวนเต็มเท่านั้น?

— Dean MacGregor

@DeanMacGregor ใช่ ในความเป็นจริงจำนวนเต็มบวกจะถือว่า

— duskwuff

รายละเอียด bkg มากขึ้นจะเป็นประโยชน์ คุณได้รับรหัสจากที่ใดคุณรู้จักกับมันอย่างไร นี่เป็นปัญหาแบบเปิด semifamous ในทฤษฎีจำนวนที่ยังไม่แก้สำหรับ ~ on ศตวรรษที่หนังสือทั้งเล่มโดย Lagarias ถูกเขียนขึ้น จาก CS pov พิสูจน์ได้ว่าในเวลาใด ๆหรือระดับความซับซ้อนของพื้นที่เทียบเท่ากับหลักฐาน refs อื่น ๆ อีกมากมายที่นี่ ยังเป็นหัวข้อที่ยอดเยี่ยมสำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์แชทสำหรับทุกคนที่สนใจ นอกจากนี้ยังมีcollatzแท็กบนMathOverflowและอื่น ๆ การวิจัยล่าสุดแสดงให้เห็นว่าปัญหามีคุณสมบัติของเศษส่วนที่แท้จริงทำให้มันยาก

— vzn

29

นี่คือการคาดคะเน Collatz - ปัญหายังคงเปิดอยู่
การคาดคะเนเป็นเรื่องเกี่ยวกับการพิสูจน์ว่าลำดับนี้จะหยุดสำหรับการป้อนข้อมูลใด ๆ ตั้งแต่นี้ได้รับการแก้ไขที่เราไม่ทราบวิธีการที่จะแก้ปัญหานี้ความสัมพันธ์รันไทม์เกิดขึ้นอีกยิ่งไปกว่านั้นก็อาจจะไม่หยุดเลย - จนพิสูจน์เวลาการทำงานไม่เป็นที่รู้จักและอาจจะ . $\infty$

— ชั่วร้าย
แหล่งที่มา

ขอบคุณ แต่การสอบถามซ้ำของฉันถูกต้องจริงไหม ถ้าเป็นเช่นนั้นเรายังไม่พบวิธีแก้ปัญหาสำหรับการเรียกซ้ำนั้น

— 9bi7

คุณหมายถึงอะไรโดย "การสอบถามซ้ำเป็นเรื่องจริง" คุณไม่สามารถหาเวลาทำงานได้ แต่สำหรับตัวเลขจำนวนมากสิ่งนี้จะทำให้การกระโดดจำนวนหนึ่งและไปถึง 1

ไม่ได้หมายถึง runtime แต่ฟังก์ชันนั้น

T (n)

$T(n)$

— Evil

โดยผมที่ถูกต้องหมายสำหรับตัวอย่างเช่นในการผสานการเรียงลำดับเราจะได้รับ

)

เนื่องจากโค้ดนั้นวนซ้ำเราสามารถเขียนการเกิดซ้ำได้ใช่ไหม

T (n) = 2 T (n / 2) + O (n)

$T(n)=2T(n/2)+O(n)$

— 9bi7

7

"เนื่องจากสิ่งนี้ยังไม่ได้รับการแก้ไขไม่มีขอบเขตบน" - เราต้องระวังภาษาที่นี่ เราไม่ทราบวิธีแก้ปัญหาของการเกิดซ้ำในตอนท้ายของเรื่องนี้

— Raphael

7

ใช่. แต่ "เราไม่รู้" ไม่เหมือนกับ "ไม่มีขอบเขตบน" โดยพื้นฐานแล้วฉันกำลังแยกขนไปทางคณิตศาสตร์ "มี" (

) และคนปกติ "มี" ("ฉันมี") ผมคิดว่านี่เป็นความแตกต่างที่สำคัญที่จะทำใน TCSแม้ว่า

\exists

$\exists$

— Raphael

15

คุณแปลรหัสที่ถูกต้อง มีหลายวิธีในการแก้ปัญหาซ้ำ

แต่ก็เป็นที่รู้จักในปัจจุบันถ้าcollatzหยุดแม้สำหรับทุกn; อ้างว่ามันไม่เป็นที่รู้จักกันCollatz คาดเดา ดังนั้นจึงไม่มีวิธีการที่รู้จักกันดีในการทำซ้ำนี้

ฉันคิดว่าจะเป็นถ้ายังอยู่ $T(n)$ $\lg n$ $n$

งั้นเหรอ ฉันเดาว่าคุณกำลังคิดถึงซึ่งการอ้างสิทธิ์ของคุณถูกต้อง สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าการกลับเป็นซ้ำนี้ไม่ใช่หนึ่งที่เราสามารถแก้ไขได้ถึงโดยการตรวจสอบไม่กี่จุดแทน (ดูที่นี่ด้วย ) $n=2^k$ $\Theta$

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

13

ฟังก์ชั่นความซับซ้อนของเวลาคือ

{\begin{cases} T (n) = O (1) for n \leq 1 \\ T (n) = T (n / 2) + O (1) for n even \\ T (n) = T (3 n + 1) + O (1) for n odd \end{cases}

$\begin{cases} T(n)= O(1) \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) + O(1) \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) + O(1)\text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$

ซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้ดังต่อไปนี้หากคุณสนใจในความซับซ้อนของเวลาแบบอะซิมโทติค

{\begin{cases} T (n) = 1 for n \leq 1 \\ T (n) = T (n / 2) + 1 for n even \\ T (n) = T (3 n + 1) + 1 for n odd \end{cases}

$\begin{cases} T(n)= 1 \text{ for } n\le 1\\ T(n)=T(n/2) + 1 \text{ for } n\text{ even}\\ T(n)=T(3n+1) + 1\text{ for } n\text{ odd}\\ \end{cases}$

มันไม่ได้เป็นที่รู้จักกันแม้กระทั่งว่าที่เกิด TM (ดูลังเลปัญหา ) สำหรับทุกnดังนั้นโดยธรรมชาติเราไม่สามารถวัดเวลาที่จะหยุดถ้าเราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าหยุดเพื่อทุกหรือไม่ นอกจากนี้ยังอ้าง/math/2694/what-is-the-importance-of-the-collatz-conjecture $\langle M,1^n\rangle \in Halt$ $n$ $n$

การคาดคะเน Collatzเป็นการคาดคะเนที่มีชื่อเสียงมากซึ่ง Collatz เสนอในปี 1937 นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคนใช้เวลาหลายชั่วโมงในการพยายามแก้ปัญหาการคาดเดานี้ แต่เพื่อประโยชน์น้อยมาก แม้แต่พอลแอร์ดิชยังกล่าวถึงการคาดการณ์ของโคลลาตซ์ว่า "คณิตศาสตร์ยังไม่พร้อมสำหรับปัญหาดังกล่าว"

— Shreesh
แหล่งที่มา

1

"สูญเปล่า" เป็นการตัดสินส่วนตัว ดูการวิเคราะห์ของผู้เชี่ยวชาญโดย Lagarias ด้วยเหตุผลว่าทำไมการทำงาน / ผลลัพธ์บางส่วนในการคาดคะเนอาจถือได้ว่าไม่ใช่ "สูญเปล่า" ยังอ้างโดย Erdos อาจอายุไม่กี่ทศวรรษและคณิตศาสตร์มีความก้าวหน้าอย่างมีนัยสำคัญตั้งแต่นั้นมาและยังคง ... และน่าจะไม่ใช่เทคนิคทางคณิตศาสตร์ใหม่ทั้งหมดได้พยายามกับปัญหา

— vzn

นั่นคือลิ้นในความคิดเห็นที่แก้ม (เพื่อความยุติธรรมฉันใส่ไว้ในวงเล็บใช่มั้ย) จนกระทั่งปัญหาได้รับการแก้ไขความพยายามทั้งหมดดูเหมือนจะสิ้นเปลือง แต่เมื่อแก้ไขแล้วคุณจะเห็นว่าแม้แต่ความล้มเหลวก็นำไปสู่การแก้ไขปัญหา และฉันไม่เห็นด้วยกับคุณว่าคณิตศาสตร์ก้าวหน้าไปมาก เทคโนโลยีมีความก้าวหน้าอย่างมาก แต่ฟิสิกส์คณิตศาสตร์และแม้แต่วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ก็มีความก้าวหน้าอย่างช้าๆและนั่นเป็นวิธีที่ควรจะเป็น (ฉันสามารถพูดแบบนี้ได้เพราะฉันได้เรียนรู้เชือกของฉันเมื่อ 30 ปีที่แล้วยังไม่รู้สึกล้าสมัย)

— Shreesh

3 x + 1

$3x+1$

Lagarias เขียน / เรียบเรียง / แก้ไขทั้งเล่มเกี่ยวกับเรื่องและฟังว่า "ขอโทษ"เกี่ยวกับการศึกษาปัญหา? ฮ่า ๆ! ค่อนข้างไปในทางตรงกันข้าม แต่เห็นด้วย / ยอมรับว่าเขามีตำแหน่งการป้องกันเพราะนักคณิตศาสตร์อื่น ๆ จำนวนมากไม่พิจารณาปัญหาที่สำคัญหรือคุ้มค่าการโจมตีที่สำคัญ / ความพยายาม (และโน้ต gauss รู้สึกเหมือนกันเกี่ยวกับ Fermats Last Thm!) แต่มีอีกกรณีหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์ชั้นนำใช้เรื่องนี้อย่างจริงจังเช่นเทาหนึ่งข้อ

— vzn

2

$n$ $odd$ $n$ $3n+1$

$T(n) = 2T(n/2) +n$ $T(0)$ $T(1)$

$3n+1$

— Sorrop
แหล่งที่มา

0

คุณมี T (n) = T (n / 2) + 1 ถ้า n เป็นเลขคู่ แต่แล้ว n / 2 ก็ไม่น่าเป็นไปได้ดังนั้นคุณติดอยู่ที่นั่น

สิ่งที่เกิดขึ้นก็คือกฎเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่คุณเรียนรู้จะต้องเจอกับปัญหาจริงและพวกเขาก็ไม่ทำงาน พวกเขาชนกำแพงอิฐหน้าแรกและมันเจ็บ ทำตามใจตัวเองและทำตามคำสั่งซ้ำสำหรับ T (7) ด้วยตนเองแล้วคุณบอกว่าคุณยังเชื่อว่าสิ่งนี้เกี่ยวข้องกับ lg n หรือไม่

หากคุณคิดว่าสิ่งนี้ไม่เกี่ยวข้องกับคำถามเดิมเพราะ 7 ไม่เท่ากับ: เมื่อใดก็ตามที่ n เป็นเลขคี่ T (n) = T (3n + 1) และ 3n + 1 เป็นเลขคู่ดังนั้นถ้า T (n) เป็นบันทึก n ถ้า n เป็นเลขคู่จะเป็น log (3n + 1) + 1 เมื่อ n> 1 เป็นเลขคี่

— gnasher729
แหล่งที่มา