ทฤษฎีประเภทสัญชาตญาณ "น้อยที่สุด"?

ฉันประหลาดใจที่ผู้คนเพิ่มประเภทใหม่ ๆ ในทฤษฎีประเภท แต่ไม่มีใครพูดถึงทฤษฎีขั้นต่ำสุด (หรือฉันไม่สามารถหามันได้) ฉันคิดว่านักคณิตศาสตร์ชอบสิ่งที่น้อยที่สุดใช่ไหม?

ถ้าฉันเข้าใจอย่างถูกต้องในทฤษฎีประเภทที่มีการคาดคะเนProp, λ-abstraction และΠ-types เพียงพอ โดยการพูดอย่างพอเพียงฉันหมายความว่ามันสามารถใช้เป็นตรรกะปรีชาญาณ ประเภทอื่น ๆ สามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้:

$$\bot \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. \alpha \\ \neg A \stackrel{def}{=} A \to \bot \\ A \land B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to B \to C) \to C \\ A \lor B \stackrel{def}{=} \Pi C: Prop. (A \to C) \to (B \to C) \to C \\ \exists_{x: S}(P(x)) \stackrel{def}{=} \Pi \alpha: Prop. (\Pi x: S. P x \to \alpha) \to \alpha \\ $$

คำถามแรกของฉันคือการทำพวกเขา ( λ, Π) จริงๆพอเพียง? คำถามที่สองของฉันคือสิ่งที่เราต้องการอย่างน้อยถ้าเราไม่มีการPropคาดเดาเช่น MLTT? ใน MLTT, Church / Scott / การเข้ารหัสใด ๆ ไม่ทำงาน

แก้ไข: ที่เกี่ยวข้อง

การทำอย่างละเอียดในการชี้แจง Gallais' ทฤษฎีประเภทที่มีการ impredicative Prop และประเภทขึ้นอยู่กับสามารถมองเห็นเป็นระบบย่อยของแคลคูลัสของการก่อสร้างบางส่วนมักจะใกล้เคียงกับประเภททฤษฎีคริสตจักร ความสัมพันธ์ระหว่างประเภททฤษฎีคริสตจักรและ CoC ที่ไม่ได้เป็นที่เรียบง่าย แต่ได้รับการสำรวจสะดุดตาด้วย Geuvers บทความดี

สำหรับจุดประสงค์ส่วนใหญ่ระบบสามารถถูกมองว่าเทียบเท่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่สนใจตรรกะคลาสสิกสิ่งเดียวที่คุณต้องการคือสัจพจน์ของอนันต์ : มันไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน CoC ที่ประเภทใดมีองค์ประกอบมากกว่า 1 อย่าง! แต่มีเพียงความจริงแสดงว่าบางชนิดเป็นอนันต์กล่าวว่าชนิดจำนวนธรรมชาติกับหลักการเหนี่ยวนำและความจริงคุณจะได้รับสวยไกลส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์ในระดับปริญญาตรีสามารถกรงเล็บในระบบนี้ (เรียงลำดับของมันยาก เพื่อทำบางสิ่งโดยไม่มีคนอยู่ตรงกลาง)$0\neq 1$

หากปราศจาก Prop ที่ไม่จำเป็นคุณต้องทำงานเพิ่มอีกนิด ตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นที่ระบบ extensional (ระบบที่มี Extensionality ทำงานในความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกัน) จะได้รับโดยมีเพียงและΠ -types, B o o ลิตรที่ว่างเปล่าและหน่วยประเภท⊥และ⊤และ W-ประเภท ในการตั้งค่าแบบมิติที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้: คุณต้องการตัวเหนี่ยวนำเพิ่มเติมอีกมากมาย โปรดทราบว่าจะสร้างประโยชน์ W-ประเภทที่คุณจะต้องสามารถที่จะสร้างประเภทโดยการกำจัดมากกว่าB o o ลิตรเพื่อต้องการ:$\Sigma$$\Pi$$\mathrm{Bool}$$\bot$$\top$$\mathrm{Bool}$

$$\mathrm{if}\ b\ \mathrm{then}\ \top\ \mathrm{else}\ \bot$$

ในการทำเมตาคณิตศาสตร์คุณอาจต้องมีอย่างน้อยหนึ่งจักรวาล (พูดเพื่อสร้างแบบจำลองของ Heyting Arithmetic)

ทั้งหมดนี้ดูเหมือนจะมากและมันก็เป็นเรื่องน่าดึงดูดที่จะมองหาระบบที่เรียบง่ายซึ่งไม่มีความหยั่งรู้ในเรื่อง CoC แต่ก็ยังค่อนข้างง่ายที่จะเขียนลงในกฎบางข้อ หนึ่งในความพยายามล่าสุดที่จะทำเช่นนั้นเป็นระบบ$\Pi\Sigma$การอธิบายโดย Altenkirch et al, มันไม่ได้เป็นที่น่าพอใจอย่างสิ้นเชิงเนื่องจากการตรวจสอบเชิงบวกที่จำเป็นสำหรับความสอดคล้องนั้นไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของระบบ "ตามที่เป็นอยู่" ทฤษฎีเมตาดาต้ายังคงต้องได้รับการถ่ายทอดออกมาเช่นกัน

ภาพรวมที่มีประโยชน์คือบทความZF แฮ็คหรือไม่ โดย Freek Wiedijk ซึ่งจริงๆแล้วเป็นการเปรียบเทียบตัวเลขที่ยากในทุกระบบเหล่านี้ (จำนวนกฎและสัจพจน์)

ปัญหาเกี่ยวกับการเข้ารหัสของคริสตจักรคือคุณไม่สามารถได้รับหลักการอุปนัยสำหรับประเภทของคุณซึ่งหมายความว่าพวกเขาไร้ประโยชน์มากเมื่อมันมาถึงการพิสูจน์งบเกี่ยวกับพวกเขา

ในแง่ของการย่อเล็กสุดของระบบหนึ่งพา ธ ที่กล่าวถึงในข้อคิดเห็นคือการใช้คอนเทนเนอร์และ (W / M) -type อย่างไรก็ตามมันค่อนข้าง extensionalดังนั้นจึงไม่สะดวกในการทำงานกับระบบเช่น Coq หรือ Agda

$\Pi$$\Sigma$$\mu$$\nu$

$\mu$$\nu$