ทำไมมันเป็นไปไม่ได้ที่จะประกาศหลักการอุปนัยสำหรับเลขคริสตจักร

ลองนึกภาพเรากำหนดจำนวนธรรมชาติในแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ขึ้นอยู่กับเลขคริสตจักร พวกมันอาจถูกกำหนดด้วยวิธีต่อไปนี้:

SimpleNat = (R : Set) → R → (R → R) → R

zero : SimpleNat
zero = λ R z _ → z

suc : SimpleNat → SimpleNat
suc sn = λ R z s → s (sn R z s)

SimpleNatRec : (R : Set) → R → (R → R) → SimpleNat → R
SimpleNatRec R z s sn = sn R z s

อย่างไรก็ตามดูเหมือนว่าเราไม่สามารถกำหนดตัวเลขศาสนจักรด้วยหลักการอุปนัยประเภทต่อไปนี้:

NatInd : (C : Nat -> Set) -> (C zero) -> ((n : Nat) -> C n -> C (suc n)) -> (n : Nat) -> (C n)

ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? ฉันจะพิสูจน์สิ่งนี้ได้อย่างไร ดูเหมือนว่าปัญหาคือการกำหนดประเภทของแน็ตซึ่งกลายเป็นแบบเรียกซ้ำ เป็นไปได้ไหมที่จะแก้ไขแคลคูลัสแลมบ์ดาให้อนุญาตสิ่งนี้?

คำถามที่คุณถามนั้นน่าสนใจและเป็นที่รู้จัก คุณกำลังใช้การเข้ารหัสแบบ impredicative ของตัวเลขธรรมชาติ ให้ฉันอธิบายพื้นหลังเล็กน้อย

กำหนดประเภทคอนสตรัคเราอาจจะสนใจใน "น้อยที่สุด" ประเภทความพึงพอใจ≅ T ( ) ในแง่ของหมวดหมู่ทฤษฎีTคือ functor และAคือT -algebra เริ่มต้น ตัวอย่างเช่นถ้าT ( X ) = 1 + Xดังนั้นAสอดคล้องกับจำนวนธรรมชาติ ถ้าT ( X ) = 1 $T : \mathsf{Type} \to \mathsf{Type}$$A$$A \cong T(A)$$T$$A$$T$$T(X) = 1 + X$$A$จากนั้น Aเป็นชนิดของต้นไม้ไบนารีที่ จำกัด$T(X) = 1 + X \times X$$A$

ความคิดที่มีประวัติศาสตร์อันยาวนานเป็นที่เริ่มต้นพีชคณิตเป็นชนิดที่ : = Π X : T Y พีอี ( T ( X ) → X ) → X (คุณกำลังใช้สัญกรณ์ Agda สำหรับผลิตภัณฑ์ที่ขึ้นต่อกัน แต่ฉันใช้สัญกรณ์คณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมมากขึ้น) ทำไมจึงเป็นเช่นนี้ ทีนี้Aเข้ารหัสหลักการการเรียกซ้ำสำหรับT -algebra เริ่มต้น: ให้T -algebra Yกับมอร์ฟิซึ่มส์โครงสร้างf : T ( $T$

$$A \mathrel{{:}{=}} \prod_{X : \mathsf{Type}} (T(X) \to X) \to X.$$ $A$$T$$T$$Y$เราได้พีชคณิตโฮโมมอร์ฟิซึม ϕ : A → Yโดย ϕ ( a ) = $f : T(Y) \to Y$$\phi : A \to Y$ ดังนั้นเราเห็นว่า Aนั้นเริ่มต้นอย่างไม่แน่นอน สำหรับการเริ่มต้นเราจะต้องรู้ว่า ϕมีความเป็นเอกลักษณ์เช่นกัน สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงหากไม่มีการตั้งสมมติฐานเพิ่มเติม แต่รายละเอียดเป็นเทคนิคและน่ารังเกียจและจำเป็นต้องอ่านเนื้อหาพื้นหลัง ตัวอย่างเช่นหากเราสามารถแสดงทฤษฎีบทพารามิเตอร์ที่น่าพอใจเราก็ชนะ แต่ก็มีวิธีการอื่น (เช่นการนวดนิยามของ Aและสมมติว่า K -axiom และฟังก์ชันส่วนขยาย) $$\phi(a) = a \, Y \, f.$$ $A$$\phi$$A$$K$

$T(X) = 1 + X$

$$\mathsf{Nat} = \prod_{X : \mathsf{Type}} ((1 + X) \to X) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} (X \times (X \to X)) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} X \to (X \to X) \to X.$$

คำตอบสำหรับคำถามของคุณคือ: มีรูปแบบของทฤษฎีประเภทที่SimpleNatมีองค์ประกอบที่แปลกใหม่ที่ไม่ตรงกับตัวเลขและยิ่งไปกว่านั้นองค์ประกอบเหล่านี้ทำลายหลักการอุปนัย ประเภทของSimpleNatแบบจำลองเหล่านี้ใหญ่เกินไปและเป็นเพียงพีชคณิตเริ่มต้นที่อ่อนแอเท่านั้น