เติมถังขยะด้วยลูกคู่

ถังถูกเรียกว่าเต็มถ้ามันมีอย่างน้อย $k$ ลูก เป้าหมายของเราคือสร้างถังขยะให้ได้มากที่สุด

ในสถานการณ์ที่ง่ายที่สุดเราได้รับบอล $n$ ลูกและอาจจัดการให้พวกเขาโดยพลการ ในกรณีนั้นเห็นได้ชัดว่าสิ่งที่ดีที่สุดที่เราทำได้คือเลือก $\lfloor n/k \rfloor$ bins โดยพลการและวางลูกไว้ $k$ ในแต่ละอัน

ฉันสนใจในสถานการณ์ต่อไปนี้: เราได้รับลูกบอล $n$ คู่ เราต้องใส่สองลูกของแต่ละคู่ในสองถังขยะที่แตกต่างกัน จากนั้นฝ่ายตรงข้ามจะมาและนำลูกบอลหนึ่งลูกออกจากแต่ละคู่ เราจะทำอย่างไรเพื่อให้มีจำนวนสูงสุดของถังขยะเต็มหลังจากการกำจัด?

กลยุทธ์ง่ายๆคือ: เลือก $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ ถังขยะ เติม bin คู่แต่ละคู่ด้วย $2k-1$ ball-pair (แต่ละ bin มี $2k-1$ ball, หนึ่งลูกจากแต่ละคู่) จากนั้นไม่ว่าศัตรูของเราจะลบสิ่งใดเราก็มีถังขยะเต็มคู่อย่างน้อยหนึ่งคู่

เรามีกลยุทธ์ที่ทำให้ได้ถังขยะเต็มจำนวนมากกว่า (มากกว่า $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ ) หรือไม่?

combinatorics balls-and-bins

— Erel Segal-Halevi
แหล่งที่มา

ฉันไม่เชื่อเช่นนั้น

— Zach Saucier

ได้รับ

และได้รับ

ขึ้นอยู่กับ

n

$n$

k

$k$

k

$k$

n

$n$

— Evil

@EvilJS มีการให้

และ

และเป็นอิสระ

n

$n$

k

$k$

— Erel Segal-Halevi

ผู้เล่นวางลูกบอล

คู่ของเขาทั้งหมดแล้วเลือกคู่ต่อสู้

บอลหรือไม่หรือผู้เล่นวางลูกบอลหนึ่งคู่แล้วคู่ปรับเลือกหนึ่งคู่จากคู่นั้นแล้วผู้เล่นวางคู่ต่อไปและหยิบคู่ต่อสู้ หนึ่งและต่อไปจนกว่าจะไม่มีคู่ของลูกบอลที่จะวาง?

n

$n$

n

$n$

— rotia

@rotia ผู้เล่นวางลูกบอล n คู่ของเขาทั้งหมดแล้วคู่ปรับก็หยิบลูก n

— Erel Segal-Halevi

TL; DR - ไม่ไม่มีกลยุทธ์ที่ดีไปกว่ากลยุทธ์ง่าย ๆ นี่คือแนวคิดหลักของการพิสูจน์ เมื่อมีลูกบอลไม่เพียงพอจะมี "เส้นทางของลูกบอล" จากถังขยะ full ไปยังถังขยะที่มีลูกบอลมากที่สุด ฝ่ายตรงข้ามสามารถส่งลูกบอลจากถังขยะเต็มถังไปยังถังขยะเต็มตามเส้นทางนั้นซึ่งสามารถทำได้ซ้ำ ๆ จนกระทั่งจำนวนถังขยะเต็ม -full ลดลง $k$ $k-2$ $k$

การปฏิรูปในทฤษฎีกราฟ

สมมติว่าเราจะได้รับกราฟ จำกัด ง่ายที่มีฟังก์ชั่น 0เราบอกว่ามีลูกในขอบอีให้เป็นชุด (ขอบที่มีเครื่องหมายสิ้นสุด) }ถ้าตามเงื่อนไข $G(V,E)$ $w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)$ $e$ $E_2$ $\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$ $d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ สำหรับทุก ๆ ขอบ , เราบอกว่าคือ -distributing ใด ๆ -distributing ฟังก์ชั่นก่อให้เกิดฟังก์ชั่นที่เราใช้สัญลักษณ์เดียวกัน , $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$ $e=\{v_1,v_2\}$ $d$ $w$ $w$ $d$ $d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ )เราบอกว่าลูกอยู่ในโวลต์รับ , ให้จำนวนของ -full จุดโดยd $d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$ $d(v)$ $v$ $k\in\Bbb Z_{\gt0}$ $F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$ $k$ $d$

$G(V,E)$ $w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$ $\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

ลองนึกภาพจุดสุดยอดแต่ละอันคือ bin สำหรับแต่ละขอบ ,ลูกคู่จะใส่ลงในและแต่ละแห่งซึ่งได้รับลูก กลุ่มคนเหล่านี้ลูกคู่ปฏิปักษ์อาจใช้เวลาห่างลูกจากและลูกจากv_2ผลลัพธ์สุดท้ายนั้นเหมือนกับถ้าให้ถังขยะที่ว่างทั้งหมดเริ่มแรกสำหรับแต่ละขอบ , ลูกบอลจะถูกใส่เข้าไปและจากนั้นและลูกจะกระจายไปยังและ $e=\{v_1,v_2\}$ $w(e)$ $v_1$ $v_2$ $w(e)$ $w(e)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $d(e,v_1)$ $v_2$ $e=\{v_1, v_2\}$ $w(e)$ $d(e,v_1)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $v_2$ ตามลำดับโดยฝ่ายตรงข้าม ดังนั้นErel-Apass ทฤษฎีบทกล่าวว่าในการสั่งซื้อเพื่อให้แน่ใจว่าถังขยะ k เต็มรูปแบบหลังจากการกำจัดศัตรูสมาร์ทอย่างน้อยคู่ของลูกที่มีความจำเป็น $t$ $(2k-1)t$ กล่าวอีกนัยหนึ่งกลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุดที่จะมีจำนวนถังขยะเต็มจำนวนมากที่สุดคือ "กลยุทธ์ง่าย ๆ " ซึ่งเติมถังคู่ที่แตกต่างกันซ้ำ ๆ ด้วยบอลคู่จนกว่าเราจะมีลูกบอลไม่พอที่จะทำซ้ำ $2k-1$

พิสูจน์ทฤษฎีบท

เพื่อความขัดแย้งให้และเป็นตัวอย่างที่มีจำนวนจุดยอดน้อยที่สุดในบรรดาตัวอย่างทั้งหมด นั่นคือมี -distributingเช่นที่มีน้อยในทุกของ -distributing ฟังก์ชั่นDนอกจากนี้ $G(V,E)$ $w$ $w$ $m$ $F_k(m)$ $F_k(d)$ $w$ $d$

\sum_{e \in E} w (e) < (2 k - 1) F_{k} (m)

$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$

ให้\} ให้\} ดังนั้นF_k $V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$ $V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$ $F_k(m)=\#V_\ell$

การเรียกร้องที่หนึ่ง: V_s $V_s\neq\emptyset$ หลักฐานการเคลมหนึ่ง สมมติว่ามิฉะนั้นว่างเปล่า ให้เราใช้เป็นฟังก์ชันตั้งแต่ถึงเช่นนั้นสำหรับใด ๆ
$V_s$

\sum_{v \in V} m (v) = (k - 1) # V + \sum_{v \in V} (m (v) - (k - 1)) \geq (k - 1) # V + # V_{ℓ} > (k - 1) # V

$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$

w

$w$

V

$V$

Z_{\geq 0}

$\Bbb Z_{\ge 0}$

w (v) = \sum_{v \in e} w (e)

$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$

v \in V

$v\in V$

\begin{aligned} \sum_{v \in V} w (v) & = \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} 2 w (e) = 2 \sum_{e \in E} w (e) \\ = 2 \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} m (v) \\ > 2 (k - 1) # V \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$ ดังนั้นต้องมียอดดังกล่าวว่า2k-1

b

$b$

w (b) \geq 2 k - 1

$w(b)\ge 2k-1$

พิจารณาการตั้งค่าที่เหนี่ยวนำและ , โดยที่ ,เป็นกราฟที่เหนี่ยวนำและที่ใด{E'} สำหรับ -distributing functionเราสามารถขยายมันไปยัง -distributing functionโดยที่เหมือนกับบนในขณะที่สำหรับทุกขอบที่อยู่ติดกับขโปรดทราบว่าตั้งแต่ $G'(V', E')$ $w'$ $V'=V\setminus\{b\}$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $d_{d'}(e, b)=w(e)$ $e$ $b$ $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$ . จากนั้น ดังนั้นและเป็น counterexample จำนวนของจุดที่มีขนาดเล็กกว่าจำนวนของจุดในส่วนGที่ไม่สามารถเป็นจริงโดยสมมติฐานของเราเกี่ยวกับและWดังนั้นจึงมีการพิสูจน์ว่าเคลม

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) - w (b) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) - (2 k - 1) \\ = (2 k - 1) (min_{w -distributing d} F_{k} (d) - 1) \\ \leq (2 k - 1) (min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) - 1) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

สำหรับจุดยอดใด ๆให้นิยามเข้าถึงได้จากจุดยอดหากมีเส้นทาง ,เช่นนั้น 0 ให้\} $v$ $v$ $d$ $u$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$

การเรียกร้องที่สอง: $V_r = V$
หลักฐานของการเรียกร้องที่สอง: สมมติว่าV สำหรับจุดสุดยอดและเนื่องจากเราไม่สามารถไปถึงจากหากเป็นขอบแล้วพิจารณา การตั้งค่าที่เหนี่ยวนำและโดยที่ ,คือกราฟที่เหนี่ยวนำและโดยที่'} สำหรับการใด ๆ -distributing ฟังก์ชั่น , $V_r\neq V$ $v\in V_r$ $u\notin V_r$ $u$ $v$ $\{v, u\}$ $w(\{v, u\}, v) = 0.$ $G'(V', E')$ $w'$ $v'=V_r$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ โดยที่เหมือนกับบนและเหมือนกับบนขอบอื่น ๆ โปรดทราบว่าตั้งแต่จุดทั้งหมดที่มีไม่น้อยกว่าลูกภายในอยู่ในV_r จากนั้น ดังนั้นและ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $m$ $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ $k$ $V_\ell\subset V_r$

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) \\ = (2 k - 1) min_{w -distributing d} F_{k} (d) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$ . ที่ไม่สามารถจะเป็นจริงโดยสมมติฐานของเราเกี่ยวกับและWดังนั้นการเรียกร้องสองได้รับการพิสูจน์

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ทฤษฎีบท

เนื่องจากและมีพา ธ ,พร้อม ,และ 0 ขอให้เราสร้าง -distributing ฟังก์ชั่นใหม่จากเพื่อให้ $V_r=V$ $V_s\neq\emptyset$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $m(u)\gt k$ $m(v)\leq k-2$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $w$ $r(m)$ $m$

r (m) (e, u) = {\begin{cases} m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) - 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) for some 0 \leq i \leq m \\ m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) + 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) for some 0 \leq i \leq m \\ m (e, u) & otherwise \end{cases}

$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$

$m$ และตกลงในจุดทั้งหมดยกเว้นและ ,และ(U) เราสามารถใช้วิธีการนี้ในจะได้รับ(เมตร) การทำซ้ำนี้เวลาสำหรับบางขนาดใหญ่พอที่เราจะได้รับ -distributing ฟังก์ชั่นมี 0 อย่างไรก็ตามเราสันนิษฐานว่าเป็นค่าต่ำสุดในหมู่ของ -distributing function $r(m)$ $v$ $u$ $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ $r(m)(u)\lt m(u)$ $r(m)$ $r^2(m)$ $i$ $i$ $w$ $r^i(m)$ $F_k(r^i(m))=0$ $F_k(m)>0$ $F(d)$ $w$ $d$ . ความขัดแย้งนี้แสดงให้เห็นว่าเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบท Erel-Apass

— จอห์นลิตร
แหล่งที่มา

ฉันอ่านหลักฐานมันดูดี ในความเป็นจริงถ้าฉันเข้าใจอย่างถูกต้องมันเป็นเรื่องทั่วไปมากขึ้นเพราะมันช่วยให้กราฟโดยพลการ - คำถามของฉันเป็นกรณีพิเศษที่ G เป็นกราฟสมบูรณ์ ถูกต้องหรือไม่ คำถามอื่น: หลักฐานที่ใช้ความจริงที่ว่า m เป็นเช่นนั้นว่า Fk (m) น้อยที่สุด? ฉันเห็นว่ามันใช้เฉพาะในย่อหน้าสุดท้าย - การอ้างสิทธิ์ก่อนหน้านี้ในการพิสูจน์ถูกต้องโดยปราศจากข้อเท็จจริงนี้หรือไม่?

— Erel Segal-Halevi

ใช่ทฤษฎีบทนั้นถูกต้องสำหรับกราฟใด ๆ เพราะมันบอกว่า "สำหรับกราฟที่เรียบง่าย (จำกัด ใด ๆ ) G (V, E)" จำนวนของเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการอ้างสิทธิ์แต่ละครั้ง หากคุณค้นหา "counterexample" คุณจะพบว่ามีการใช้ minimality น้อยที่สุด

F_{k} (m)

$F_k(m)$

— John L.