กราฟที่เหลือในการไหลสูงสุด

14

ฉันกำลังอ่านเกี่ยวกับปัญหาการไหลสูงสุดที่นี่ ฉันไม่สามารถเข้าใจสัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังกราฟส่วนที่เหลือ เหตุใดเราจึงพิจารณาด้านหลังขณะคำนวณการไหล

ทุกคนสามารถช่วยฉันเข้าใจแนวคิดของกราฟที่เหลือได้หรือไม่

อัลกอริทึมเปลี่ยนไปอย่างไรในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง

— CSDs
แหล่งที่มา

28

สัญชาตญาณการกระทำกราฟที่เหลือในปัญหาการไหลสูงสุดจะถูกนำเสนอได้ดีมากในการบรรยายนี้ คำอธิบายจะเป็นดังนี้

สมมติว่าเรากำลังพยายามที่จะแก้ปัญหาการไหลสูงสุดสำหรับเครือข่ายต่อไปนี้ (ซึ่งแต่ละป้ายหมายถึงทั้งการไหลผลักดันให้ผ่านขอบและจุขอบนี้): $G$ $f_e/c_e$ $f_e$ $e$ $c_e$

แนวทางโลภที่เป็นไปได้วิธีหนึ่งคือ:

เลือกพลaugmentingเส้นทางที่จะไปจากจุดสุดยอดแหล่งที่มาการจมจุดสุดยอดดังกล่าวว่า $P$ $s$ $t$ ); นั่นคือขอบทั้งหมดในมีความจุที่พร้อมใช้งาน $\forall e \: (e \in P \rightarrow f_e \lt c_e$ $P$
ผลักดันการไหลเป็นไปได้สูงสุดผ่านเส้นทางนี้ ค่าของถูกกำหนดโดยคอขวดของ ; นั่นคือขอบที่มีความจุต่ำสุดที่มีอยู่ อย่างเป็นทางการ ) $\Delta$ $\Delta$ $P$ $\Delta=\min_{e \in P} (c_e-f_e)$
ไปที่ขั้นตอนที่ 1 จนกว่าจะไม่มีเส้นทางเพิ่ม

นั่นคือค้นหาพา ธ ที่มีความจุที่ใช้ได้ส่งโฟลว์ไปตามเส้นทางนั้นและทำซ้ำ

ในการดำเนินการฮิวริสติกที่เป็นไปได้จะพบเส้นทางการเติมสามเส้นทางคือ , และตามลำดับนี้ เส้นทางเหล่านี้มีการไหล 2, 2 และ 1 หน่วยตามลำดับสำหรับการไหลรวม 5: $G$ $P_1$ $P_2$ $P_3$

การเลือกเส้นทางในคำสั่งนี้จะนำไปสู่ทางออกที่ดีที่สุด แต่สิ่งที่เกิดขึ้นถ้าเราเลือกครั้งแรก (กล่าวคือก่อนที่และ )? $P_3$ $P_1$ $P_2$

$w$ $v$

การเข้ารหัสการดำเนินงานได้รับอนุญาตให้ยกเลิกเหล่านี้เป็นเป้าหมายหลักของกราฟที่เหลือ

$R$ $G$ $G$ $e=(u,v) \in G$

$e'=(u,v)$ $c_e-f_e$ $c_e-f_e \gt 0$
$e''=(v,u)$ $f_e$ $f_e \gt 0$

ตัวอย่างเช่นพิจารณากราฟที่เหลือที่ได้รับหลังจากการวนซ้ำครั้งแรกของฮิวริสติกแบบโลภเมื่อฮิวริสติกเลือกก่อน (นั่นคือเมื่อได้รับโฟลว์การบล็อก): $R$ $P_3$

โปรดทราบว่าการดำเนินการเลิกทำที่ผลัก 2 หน่วยการไหลจากถึงถูกเข้ารหัสเป็นเส้นทางไปข้างหน้า (การเพิ่ม) เส้นทางจากถึงใน : $w$ $v$ $s$ $t$ $R$

โดยทั่วไป:

เมื่อเลือกเส้นทางการเติมในกราฟที่เหลือ : $P'$ $R$

ขอบทุกอันในที่สอดคล้องกับขอบด้านหน้าในเพิ่มการไหลโดยใช้ขอบที่มีความจุที่มีอยู่ $P'$ $G$

ขอบทุกอันในที่สอดคล้องกับขอบไปข้างหลังในการไหลที่ถูกผลักไปในทิศทางไปข้างหน้าในอดีต $P'$ $G$

นี่คือแนวคิดหลักที่อยู่เบื้องหลังวิธีการฟอร์ด Fulkerson

วิธีฟอร์ด - ฟุลเกอร์สันดำเนินการในลักษณะเดียวกับวิธีโลภที่อธิบายไว้ข้างต้น แต่มันจะหยุดก็ต่อเมื่อไม่มีเส้นทางเพิ่มเติมในกราฟที่เหลือ (ไม่ใช่ในเครือข่ายดั้งเดิม) วิธีการที่ถูกต้อง (เช่นมันมักจะคำนวณการไหลสูงสุด) เพราะกราฟที่เหลืออยู่สร้างเงื่อนไข optimalityต่อไปนี้:

ให้เครือข่าย , การไหลเป็นค่าสูงสุดในหากไม่มีเส้นทางในกราฟที่เหลือ $G$ $f$ $G$ $s-t$

— Mario Cervera
แหล่งที่มา

มีตัวอย่างที่พา ธ ถูกเพิ่มตามลำดับความยาวสั้นที่สุดตามที่อธิบายไว้ในอัลกอริทึม Edmonds-Karp หรือไม่? ในตัวอย่างตัวนับของคุณเส้นทางแรกคือความยาว 3 ในขณะที่สามารถหาเส้นทางที่สั้นกว่า (เช่น 2) และจะถูกเพิ่มก่อนหากเราทำ Edmonds-Karp

— รอย

คุณก็สามารถทำให้ทุกเส้นทางในกราฟเดิมมีความยาว3ต้องการทำเช่นนั้นแยกจุดสุดยอดเป็นสองจุดและv_2จากนั้นแยกเข้าและw_2เพิ่มอีกสองขอบและที่มีความจุ2ขอบที่เดิมไปจากเพื่อตอนนี้จะไปจากเพื่อw_2เราสามารถได้รับชนิดเดียวกันของการปิดกั้นการไหลถ้าเราเลือกแรกเส้นทางที่มีขอบw_2)

s - t

$s-t$

3

$3$

v

$v$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

w

$w$

w_{1}

$w_1$

w_{2}

$w_2$

(v_{1}, v_{2})

$(v_1,v_2)$

(w_{1}, w_{2})

$(w_1,w_2)$

2

$2$

v

$v$

w

$w$

v_{1}

$v_1$

w_{2}

$w_2$

(v_{1}, w_{2})

$(v_1,w_2)$

— Mario Cervera

ตัวอย่างของคุณสมเหตุสมผลแล้ว เราสามารถขยายกราฟบนขอบอื่น ๆ ในการตัดเพื่อทำให้ขอบของคำถามนั้นเป็นหนึ่งในเส้นทางที่สั้นที่สุด

— Roy

3

สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังเครือข่ายที่เหลือคือมันช่วยให้เราสามารถ "ยกเลิก" การไหลที่ได้รับมอบหมายแล้วถ้าเราได้กำหนด 2 หน่วยการไหลจากถึงแล้วผ่าน 1 หน่วยการไหลจากถึงถูกตีความว่าเป็นการยกเลิกหนึ่งหน่วย ของการไหลต้นฉบับจากไปB $A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$

— Banach Tarski
แหล่งที่มา