เป็นไปได้หรือไม่ว่าปัญหาการหยุดพักสามารถแก้ไขได้สำหรับอินพุตทั้งหมดยกเว้นรหัสของเครื่อง?

คำถามนี้เกิดขึ้นกับฉันเกี่ยวกับปัญหาการหยุดชะงักและฉันไม่สามารถหาคำตอบที่ดีทางออนไลน์ได้โดยสงสัยว่ามีใครสามารถช่วยได้บ้าง

เป็นไปได้หรือไม่ว่าปัญหาการหยุดชะงักนั้นสามารถตัดสินใจได้สำหรับ TM ใด ๆ บนอินพุตใด ๆ ตราบใดที่อินพุตไม่ใช่ TM เอง? โดยทั่วไป:

Halts(TM, I)
    IF TM == I:
        Undecidable, return a random result/throw an exception, whatever
    ELSE:
        Solve the problem

Halts'(X)
    IF Halts(X, X):
        Loop infinitely
    ELSE:
        Print 'done'

สิ่งนี้ดูเหมือนจะช่วยแก้ไขความขัดแย้ง เมื่อเราเรียก Halts ที่ขัดแย้งกัน (Halts ') เราไม่สามารถคาดหวังพฤติกรรมที่สอดคล้องกันได้ แต่การโทรไปยัง Halts (และ Halts') อื่น ๆ นั้นถูกต้องตามกฎหมายและสามารถแก้ไขได้

ฉันเข้าใจว่านี่ใช้งานง่ายมาก หากรูปแบบบางอย่างในบิตสามารถเปิดเผยพฤติกรรมของโปรแกรมที่เป็นไปได้ทั้งหมดทำไมมันถึงแตกสลายเมื่อ TM และอินพุตตรงกัน? แต่เราสามารถกำจัดสิ่งนี้ในทางคณิตศาสตร์ได้หรือไม่?

และปัญหาการหยุดชะงักที่ลดลงนี้จะไม่ทำให้ไม่น่าสนใจเลย แม้ว่าจะมีโปรแกรมที่มีความหมายบางอย่างที่เอารหัสของตัวเองมาเป็นอินพุทมันอาจจะถูกเขียนใหม่เพื่อทำงานกับอินพุตที่ต่างกันเล็กน้อย แน่นอนข้อเสนอแนะนี้ทำให้เข้าใจน้อยลงว่าทำไมการแก้ปัญหาการหยุดชะงักอาจเกิดขึ้นกับข้อแม้นี้ แต่อีกครั้งเราจะกำจัดความเป็นไปได้ทางคณิตศาสตร์ได้หรือไม่?

ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือ

แต่เราสามารถ จำกัด ขอบเขตของคุณได้อย่างง่ายดาย สมมติว่าโปรแกรม$G$ ที่ฝืนบิตของอินพุตและโทรหาคุณ $H'$ บนผลลัพธ์จากนั้นกำหนด $!H$ด้วยบิตทั้งหมดย้อนกลับ (เช่น 0 สำหรับ 1s, 1s สำหรับ 0s) จากนั้นเราสามารถโทรหาคุณ$H'$ กับ $G(!H)$ และเรากลับไปที่ปัญหาดั้งเดิม

เรียกคืนการพิสูจน์มาตรฐานของความลังเลของปัญหาการหยุดชะงัก สมมติว่าเครื่องบางอย่าง $H$ ตัดสินปัญหาการหยุดชะงักและปล่อยให้ $Q$ เป็นเครื่องที่ในการป้อนข้อมูล $\langle M\rangle$ การใช้งาน $H$ เพื่อตรวจสอบว่า $M(\langle M\rangle)$ หยุดและถ้าเป็นเช่นนั้น $Q$ ลูป; มิฉะนั้น,$Q$ หยุดพัก ตอนนี้$Q(\langle Q\rangle)$ หยุดถ้าและถ้าไม่หยุด

เป็นไปได้หรือไม่ว่าปัญหาการหยุดชะงักนั้นสามารถตัดสินใจได้สำหรับ TM ใด ๆ บนอินพุตใด ๆ ตราบใดที่อินพุตไม่ใช่ TM เอง?

ไม่ถ้าคุณเปลี่ยนคำจำกัดความของปัญหาการหยุดพักด้วยวิธีนี้การพิสูจน์ยังคงใช้ได้ เราไม่สนใจว่าจะเกิดอะไรขึ้นเมื่อ $H$ ได้รับ $\langle H\rangle$ เป็นอินพุตเนื่องจากความขัดแย้งเกิดขึ้นหลังจากเราป้อนข้อมูล $\langle Q\rangle, \langle Q\rangle$ ถึง $H$.

ประการที่สองถ้าคุณแก้ไข $H$ในการตรวจสอบว่าการป้อนข้อมูลที่เราจะได้รับความขัดแย้งเดียวกันโดยใช้เครื่องอื่น ๆ $Q'$ ที่เทียบเท่า $Q$ ในแง่ที่ว่าสำหรับการป้อนข้อมูลใด ๆ $w$, $Q'(w)$ หยุดถ้าและถ้าหาก $Q(w)$ หยุดพัก มีมากมายเหล่านี้และ$H$ ไม่สามารถตรวจจับทั้งหมดได้เพราะไม่สามารถบอกได้ว่าเครื่องทัวริงสองเครื่องนั้นเทียบเท่ากันหรือไม่