สัญชาตญาณของอัลกอริทึมสำหรับความซับซ้อนลอการิทึม

ฉันเชื่อว่าฉันมีความเข้าใจที่เหมาะสมของความซับซ้อนเช่น , Θ ( n )และΘ ( n 2 )$\mathcal{O}(1)$$\Theta(n)$$\Theta(n^2)$

ในแง่ของรายการคือการค้นหาอย่างต่อเนื่องดังนั้นมันจึงเป็นแค่การนำส่วนหัวของรายการ Θ ( n )คือที่ที่ฉันจะเดินรายการทั้งหมดและΘ ( n 2 )กำลังเดินรายการหนึ่งครั้งสำหรับแต่ละองค์ประกอบในรายการ$\mathcal{O}(1)$$\Theta(n)$$\Theta(n^2)$

มีวิธีที่เข้าใจง่ายคล้ายกันในการเข้าใจนอกเหนือจากการรู้ว่ามันอยู่ที่ไหนสักแห่งระหว่างO ( 1 )และΘ ( n )หรือไม่$\Theta(\log n)$$\mathcal{O}(1)$$\Theta(n)$

ความซับซ้อนมักจะมีการเชื่อมต่อกับการจัดสรร เมื่อใช้ลิสต์เป็นตัวอย่างลองนึกภาพลิสต์ที่องค์ประกอบเรียงลำดับ คุณสามารถค้นหาในรายการนี้ในเวลาO ( log n ) - คุณไม่จำเป็นต้องดูแต่ละองค์ประกอบเพราะลักษณะที่เรียงลำดับของรายการ$\Theta(\log n)$$\mathcal{O}(\log n)$

หากคุณดูองค์ประกอบที่อยู่ตรงกลางของรายการและเปรียบเทียบกับองค์ประกอบที่คุณค้นหาคุณสามารถพูดได้ทันทีว่าอยู่ในครึ่งซ้ายหรือขวาของอาร์เรย์ จากนั้นคุณสามารถใช้ครึ่งนี้และทำซ้ำขั้นตอนจนกว่าคุณจะพบมันหรือเข้าถึงรายการที่มี 1 รายการที่คุณเปรียบเทียบเล็กน้อย

คุณจะเห็นว่ารายการแบ่งครึ่งแต่ละขั้นตอนอย่างมีประสิทธิภาพ นั่นหมายความว่าถ้าคุณได้รับรายชื่อความยาวขั้นตอนสูงสุดที่คุณต้องไปถึงรายการหนึ่งรายการคือ5 หากคุณมีรายการ128 = 2 7รายการคุณต้องการเพียง7ขั้นตอนสำหรับรายการ1024 = 2 10คุณต้องการเพียง10ขั้นตอนเป็นต้น$32$$5$$128 = 2^7$$7$$1024 = 2^{10}$$10$

อย่างที่คุณเห็นเลขชี้กำลังใน2 nจะแสดงจำนวนขั้นตอนที่จำเป็นเสมอ ลอการิทึมจะใช้ในการ "ดึง" ว่าตัวเลขสัญลักษณ์นี้เช่นเข้าสู่ระบบ2 2 10 = 10 นอกจากนี้ยังสรุปความยาวของรายการที่ไม่ใช่พลังของความยาวสองรายการ$n$$2^n$$\log_2 2^{10} = 10$

ในแง่ของต้นไม้ (สมดุล) (พูดต้นไม้ไบนารีดังนั้นทั้งหมดเป็นฐาน 2):$\log$

• รับรากของต้นไม้$\Theta(1)$
• ใช้เวลาเดินจากรากจรดใบ$\Theta(\log n)$
• $\Theta(n)$
• $\Theta(n^2)$
• $\Theta(n^k)$$k$$k$
• $\Theta(2^n)$$k=1,2, \ldots, n$

$O(\log n)$$n$

ตัวอย่างเช่นในกรณีของการค้นหาแบบไบนารีคุณสามารถลดขนาดของปัญหาลงครึ่งหนึ่งด้วยการดำเนินการเปรียบเทียบแต่ละรายการ

$O(\log n)$$O(\log n)$$O(\log n)$$\log n$

$n$

while n != 0:
   print n%2, 
   n = n/2

while$\log(n)$

$\log(n)$$1$$n$$1$$n$$\log(n)$

$100$$2^{100}$$2^{100}$$2$$100$$100$$2^{100}$$2^{100}$$2^{100}$

$100$$2^{100}$$100$$2^{100}$$2$$100$$2^{100}$$100$$2^{100}$$\log(n)$$n$

การยกกำลังและลอการิทึมมาจากที่ไหน? ทำไมพวกเขาถึงสนใจวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์อย่างมาก? คุณอาจไม่สังเกต แต่มีการยกกำลังทุกที่ คุณจ่ายดอกเบี้ยด้วยบัตรเครดิตหรือไม่? คุณเพิ่งจ่ายเอกภพสำหรับบ้านของคุณ (ไม่เลวร้ายนัก แต่เส้นโค้งนั้นพอดี) ฉันชอบที่จะคิดว่าการยกกำลังนั้นมาจากกฎของผลิตภัณฑ์ แต่คนอื่นก็ยินดีที่จะยกตัวอย่างเพิ่มเติม กฎผลิตภัณฑ์คืออะไรคุณอาจถาม; และฉันจะตอบ

$A$$B$$C$$B$$C$$A$$C$$D$$C$$A$$D$$2\cdot 3\cdot 4$$24$$2^{10}$$1024$$2^{10}$$10$$10$$2^{10}$$10$$1024$

$\log_2(n)$$n$$n$$2^n$$2$$\log_b(n)$$b$$b$$n$$\log(n)$$n$$n$

$\log(n)$$n$

$O(\log n)$$x$

มันยังคงขึ้นอยู่กับขนาดของรายการ แต่คุณจะต้องไปที่ส่วนขององค์ประกอบ

$\Theta(\lg^k n)$$\Theta(\lg^{k+1} n)$

$\Theta(1)$$\lg n$

ค้นหา binaryขั้นตอนวิธีการเป็นตัวอย่างที่คลาสสิก

สัญชาตญาณคือจำนวนครั้งที่คุณสามารถลดจำนวนครึ่งหนึ่งพูด n ก่อนที่มันจะลดลงเหลือ 1 คือ O (lg n)

สำหรับการสร้างภาพลองวาดมันเป็นต้นไม้ไบนารีและนับจำนวนระดับโดยการแก้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้

2^0+2^1+...+2^h = n