Turing Machine (TM) สามารถตัดสินใจได้หรือไม่ว่าปัญหาการหยุดใช้งานกับ TM ทั้งหมดหรือไม่

9

ในเว็บไซต์นี้มีคำถามมากมายเกี่ยวกับว่า TM สามารถตัดสินใจปัญหาการหยุดพักได้หรือไม่สำหรับ TM อื่น ๆ ทั้งหมดหรือเซ็ตย่อยบางอย่าง คำถามนี้ค่อนข้างแตกต่าง

มันถามว่าข้อเท็จจริงที่ว่าปัญหาการหยุดใช้กับ TM ทั้งหมดนั้นสามารถตัดสินได้โดย TM หรือไม่ ฉันเชื่อว่าคำตอบคือไม่และต้องการตรวจสอบเหตุผลของฉัน

กำหนดภาษา meta-เป็นภาษาที่ประกอบด้วย TM ที่ตัดสินใจว่า TM หยุดทำงานหรือไม่ $L_{MH}$

L_{M H} = {M : \forall_{M^{'}, w} M (M^{'}, w) accepts if M^{'} (w) halts, rejects otherwise}

$L_{MH} = \{ M : \forall_{M',w} M(M', w) \text{ accepts if $M'(w)$ halts, rejects otherwise}\}$

$L_{MH}= \emptyset$ เนื่องจากปัญหาการหยุดทำงาน

ดังนั้นคำถามหัวเรื่องระบุไว้อย่างแม่นยำมากขึ้น: เป็นที่แน่ชัดหรือไม่ว่า ? $L_{MH} = \emptyset$

ตามทฤษฏีของไรซ์มันไม่สามารถบอกได้ว่าภาษาใดว่างเปล่า
ในทั้งสองกรณีถ้าเป็นหรือไม่ได้อีกครั้งก็เป็นสิ่งที่ตัดสินไม่ได้ว่า\ $L_{MH}$ $L_{MH} = \emptyset$
ดังนั้นจึงเป็นสิ่งที่ตัดสินไม่ได้ว่า\ $L_{MH} = \emptyset$

สิ่งนี้พิสูจน์ว่า TM ไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าปัญหาการหยุดใช้กับ TM ทั้งหมดหรือไม่

ความเข้าใจของฉันถูกต้องหรือไม่

UPDATE: ฉันพยายามแสดงให้เห็นว่า TM ไม่สามารถ "พิสูจน์ปัญหาการหยุดชะงัก" สำหรับคำจำกัดความของ "พิสูจน์" บางอย่างที่ดูเหมือนถูกต้องอย่างสังหรณ์ใจ ด้านล่างเป็นภาพประกอบว่าทำไมฉันจึงคิดว่าถูกต้อง

เราสามารถสร้าง TMที่สร้างในวิธีต่อไปนี้ ทีเอ็มจะใช้เวลาขอบเขตของขั้นตอน) มันจำลองสำหรับการทำซ้ำหากยอมรับทั้งหมดคู่ที่หยุดชะงักและปฏิเสธคนอื่น ๆ ทั้งหมดแล้วยอมรับM_iมิฉะนั้นจะปฏิเสธหากตัดสินใจไม่ถูกต้องหรือล้มเหลวในการหยุด $M_{MH}$ $L_{MH}$ $(M_i,M_j,w_k,steps)$ $M_i(M_j, w_k)$ $steps$ $M_i$ $(M_j, w_k)$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$ $M_i$

$M_{MH}$ ไม่หยุดเพราะมันจะต้องประเมินจำนวนอนันต์ของคู่สำหรับแต่ละM_iนอกจากนี้ทั้งหมดจะไม่สามารถหยุดได้ จะไม่สามารถยอมรับหรือปฏิเสธใด ๆเนื่องจากจะไม่รู้จากการจำลองว่าทั้งหมดจะหยุดชะงัก ดังนั้นภาษาที่ใช้กำหนดไม่ได้เป็นแบบใหม่และไม่สามารถตัดสินใจได้ $M_i$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_i$

$M_{MH}$ จับปรีชาของฉันในสิ่งที่ฉันคิดว่ามันหมายถึงสำหรับ TM เพื่อพิสูจน์ปัญหาการหยุดชะงัก ข้อเสนอแนะอื่น ๆ เช่นปฏิเสธทุกหรือการแสดงผลที่รู้จักกันให้หลักฐานความรู้ก่อนว่าปัญหาที่ลังเลกับทุกM_iสิ่งนี้ไม่สามารถนับได้ว่าเป็นพิสูจน์บางอย่างเนื่องจากหลักฐานของคือข้อสรุปที่พิสูจน์และเป็นแบบวงกลม $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_i$ $M_{MH}$ $M_{MH}$

— yters
แหล่งที่มา

3

การแก้ไขของคุณไม่ได้ช่วย ปัญหาที่ไม่มีพารามิเตอร์สามารถตัดสินใจได้เสมอโดยเครื่องทัวริงที่ส่งออกเป็น YES เสมอหรือโดยหนึ่งที่จะส่งออก NO เสมอ การโต้เถียงของคุณไม่ทำงานโชคไม่ดี อะนาล็อกที่แท้จริงของทฤษฎีบทของGödelคือทฤษฎีบทของข้าว

— Yuval Filmus

5

"มันถามว่าข้อเท็จจริงที่ว่าปัญหาการหยุดใช้กับ TM ทั้งหมดนั้นสามารถตัดสินได้โดย TM" - การค้นหานั้นไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากปัญหาการหยุดทำงานไม่ได้ "ใช้" กับชุดของ TM อย่างน้อยฉันก็ไม่รู้ว่าควรจะหมายถึงอะไร

— ราฟาเอล

4

คุณมีทฤษฎีบทของข้าวที่เข้าใจผิด ทฤษฎีบทข้าวระบุ (ในกรณีพิเศษ) ว่าภาษาไม่สามารถบอกได้ ไม่ได้ระบุว่าไม่สามารถระบุได้ ในความเป็นจริงสามารถตัดสินใจได้

{M : L (M) = \emptyset}

$\{ M : L(M) = \emptyset \}$

\emptyset

$\emptyset$

\emptyset

$\emptyset$

— Yuval Filmus

7

ฉันคิดว่าความเข้าใจผิดเป็นสิ่งที่นิพจน์ "การตัดสินใจ X" หมายถึง อย่างเป็นทางการ X ควรเป็นเพรดิเคตกับสตริงและจากนั้นเครื่องที่ตัดสินใจว่า X คืออันที่อินพุตของเอาต์พุตมีค่าความจริงของ X ( s ) เพรดิเคตในกรณีของคุณคืออะไร มันคืออะไรอินพุตและเมื่อมันเป็นความจริง?

— Yuval Filmus

5

คำถามคือข้อผิดพลาดหมวดหมู่ Decidability เป็นคุณสมบัติของภาษา (ชุดของสตริง) ไม่ใช่ข้อเสนอทางคณิตศาสตร์ คำถามใด ๆ ของแบบฟอร์ม "Is decidable?" ที่ไม่ใช่ชุดของสตริงก็ไม่สมเหตุสมผล

X

$X$

X

$X$

— David Richerby

5

มุมมองอื่น: ให้เป็นทางการของข้อความ " " ในZFC ; (เล็กน้อย) เรามี: $\varphi$ $L_{MH} = \emptyset$

ชุดเป็น decidable; $P = \{ x \mid x \mbox{ is a valid proof of } \varphi \mbox{ in ZFC}\}$
คุณยังสามารถสร้าง TMที่ระบุการพิสูจน์ใน ZFC และหยุดหากพบหลักฐานของหรือหลักฐาน ; เห็นได้ชัดว่าหยุดชะงัก; $M$ $\varphi$ $\neg \varphi$ $M$
setไม่สามารถตัดสินใจได้ $\{ M \mid M \mbox{ decides } P \}$

— Vor
แหล่งที่มา

19

ภาษาของเครื่องทัวริงที่ตัดสินปัญหาการหยุดพักสามารถตัดสินใจได้ เครื่องทัวริงที่ตัดสินว่ามันเพียงแค่ส่งออก NO

กล่าวอีกนัยหนึ่งสามารถตัดสินใจได้ $\emptyset$

คุณอาจสับสนกับความจริงที่ว่าภาษาของเครื่องจักรทัวริงที่มีภาษาว่างเปล่านั้นไม่สามารถระบุได้ นั่นคือไม่มีเครื่องทัวริงว่าในการป้อนข้อมูลตัดสินใจว่า\ $T$ $L(T) = \emptyset$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

7

ภาษาที่ว่างเปล่าสามารถตัดสินใจได้ จัดการกับมัน

— Yuval Filmus

15

ภาษาของเครื่องทัวริงที่ตัดสินปัญหาการหยุดทำงานว่างเปล่า ภาษาที่ว่างเปล่าสามารถตัดสินใจได้ ดังนั้นภาษาของเครื่องจักรทัวริงที่ตัดสินปัญหาการหยุดชะงักจึงสามารถตัดสินใจได้

— Yuval Filmus

1

คำถามคือว่า TM สามารถตัดสินใจภาษาของทัวริงเครื่องตัดสินใจว่าปัญหาการหยุดงานว่างเปล่า TM ไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ตามที่ฉันได้แสดงไว้ด้านบน

— yters

1

@yters คุณกำลังถามว่า TM สามารถพิสูจน์ได้ว่าภาษานั้นว่างเปล่าหรือไม่? มันสามารถทำได้อย่างง่ายดายเพียงแค่แสดงหลักฐานที่มีอยู่แล้ว

— user253751

3

มันหมายถึงอะไรสำหรับ TM ที่จะพิสูจน์บางอย่าง

— Yuval Filmus

2

คุณเข้าใจทฤษฎีบทของไรซ์ผิดไป

ทฤษฎีบทของข้าวในบริบทนี้บอกว่าคุณไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าปัญหา "T ตัดสินใจภาษาที่ว่างเปล่าได้ไหม"

ปัญหาของคุณไม่เกี่ยวกับการตัดสินใจว่าเครื่องทัวริงตัดสินใจภาษาที่ว่างเปล่าหรือไม่ ปัญหาของคุณคือว่ามี M ที่ตัดสินใจเลือกภาษาว่างหรือไม่

และ M นั้นมีอยู่จริง คุณสามารถทำได้ดีกว่านั้น: คุณสามารถสร้าง M ดังกล่าวและแสดงหลักฐานว่าเป็นภาษาที่ว่างเปล่า

ปัญหาทั่วไปที่ไม่สามารถตัดสินใจได้ไม่ได้หมายความว่าคุณไม่สามารถแก้ปัญหาเฉพาะกรณีได้ ในความเป็นจริงโดยอุปกรณ์ตามปกติของการแจกแจงหลักฐานทั้งหมดมีเครื่องทัวริงที่:

ยอมรับเครื่องทัวริงทุกเครื่องที่มีการพิสูจน์ว่าเป็นภาษาที่ว่างเปล่า
ปฏิเสธเครื่องทัวริงทุกอันที่มีการพิสูจน์ว่าไม่ได้เลือกภาษาที่ว่างเปล่า
ไม่หยุดถ้าไม่สามารถพิสูจน์ได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง

1

คำจำกัดความเกี่ยวกับความสามารถในการตัดสินใจได้จากWikipedia :

ภาษาแบบเรียกซ้ำเป็นภาษาทางการซึ่งมีเครื่องทัวริงอยู่ซึ่งเมื่อแสดงด้วยสตริงอินพุต จำกัดให้หยุดและยอมรับว่าสตริงนั้นอยู่ในภาษาและหยุดและปฏิเสธเป็นอย่างอื่น เครื่องทัวริงหยุดอยู่เสมอ: มันเป็นที่รู้จักในฐานะ decider และได้รับการกล่าวขานว่าจะตัดสินใจใช้ภาษาซ้ำ

กล่าวอีกอย่างหนึ่งก็คือถ้ามีเครื่องทัวริงที่สามารถตัดสินใจได้ว่าจะป้อนสตริงทั้งหมด มันเป็นสิ่งที่ตัดสินใจไม่ได้สำหรับเครื่องทัวริงแต่ละเครื่องมันไม่ได้ตัดสินใจว่าจะใช้สตริงอินพุตทั้งหมดซึ่งหมายความว่ามันสามารถตัดสินใจได้ว่าจะไม่มีสตริงใด ๆ หรือบางสตริง แต่มีอย่างน้อยหนึ่งสตริง

ในกรณีของคุณเครื่องทัวริงเล็ก ๆ น้อย ๆ ไม่ได้ตัดสินใจสำหรับการป้อนข้อมูลทุกไม่ว่าจะเป็นแต่มันเกิดขึ้นที่จะรู้โดยเฉพาะไม่ว่าจะเป็น\ $L$ $L = \emptyset$ $L_{MH} = \emptyset$

— user23013
แหล่งที่มา