ฉันจะลดผลรวมกลุ่มย่อยให้เป็นพาร์ติชันได้อย่างไร

20

อาจจะค่อนข้างง่าย แต่ฉันมีปัญหาในการลดขนาดนี้ ฉันต้องการลดผลรวมเซ็ตย่อยเป็น พาร์ติชันแต่ในเวลานี้ฉันไม่เห็นความสัมพันธ์!

เป็นไปได้ไหมที่จะลดปัญหานี้โดยใช้การลดเลวิน?

หากคุณไม่เข้าใจเขียนเพื่อชี้แจง!

complexity-theory np-complete reductions

— dbonadiman
แหล่งที่มา

19

อนุญาต $(L,B)$ เป็นตัวอย่างของผลรวมย่อยของเซตโดยที่ $L$ คือรายการ (มัลติเซ็ต) ของตัวเลขและ $B$ คือผลรวมเป้าหมาย ให้ $S = \sum L$ LLet $L'$ เป็นรายการที่เกิดขึ้นโดยการเพิ่ม $S+B,2S-B$ เพื่อL $L$

(1) หากมีรายการย่อย $M \subseteq L$ ข้อสรุปเพื่อ $B$ แล้ว $L'$ สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน: $M \cup \{ 2S-B \}$ และ\} อันที่จริงส่วนเงินก้อนแรกที่และสองเพื่อ S $L\setminus M \cup \{ S+B \}$ $B+(2S-B) = 2S$ $(S-B)+(S+B) = 2S$

(2) ถ้า $L'$ สามารถแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน $P_1,P_2$ แล้วมีรายการย่อยของ $L$ ข้อสรุปเพื่อB $B$ แน่นอนเนื่องจาก $(S+B)+(2S-B) = 3S$ และแต่ละส่วนจะรวมกันเป็น $2S$ องค์ประกอบทั้งสองจึงอยู่ในส่วนที่แตกต่างกัน โดยไม่สูญเสียของทั่วไป, $2S-B \in P_1$ 1องค์ประกอบที่เหลือใน $P_1$ เป็นของ $L$ และผลรวมไปB $B$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

2

แต่ปัญหาผลรวมของเซ็ตย่อยมาตรฐานใช้จำนวนเต็มทั้งหมดและปัญหาของพาร์ติชันใช้จำนวนเต็มแบบไม่ลบ ...

— gukoff

SUBSET-SUM นั้นสมบูรณ์แบบ NP แม้ว่าจะมีจำนวนเต็มไม่เป็นลบเช่นการลดลงของ 3SAT นั้นจบลงด้วยจำนวนเต็มลบ นอกจากนี้อาจมีการลดลงโดยตรงจากจำนวนเต็ม SUBSET-SUM เป็นจำนวนเต็มไม่ใช่ลบ SUBSET-SUM

— Yuval Filmus

1

ใช่ฉันรู้และการลดลงนี้ง่ายมาก เพียงสังเกตว่าไม่ใช่ผลรวมย่อยในรูปแบบ "ค่าเริ่มต้น" :)

— gukoff

มันจะทำงานได้ไหมถ้า

คือ

? เป็น

เช่น

L^{^{'}}

$L^{'}$

L ⋃ {B, S - B}

$L \bigcup \{B, S-B\}$

| {B, S - B} | = B

$|\{B, S-B\}| = B$

| L | = B

$|L| = B$

— อยากรู้อยากเห็น

1

@Issam ไม่เช่นนี้ PARTITION อินสแตนซ์จะมีทางออก

เสมอ

L, {B, S - B}

$L,\{B,S-B\}$

— Yuval Filmus

1

คำตอบที่กล่าวถึงโดย@Yuval Filmusไม่ถูกต้อง (ถูกต้องเฉพาะในกรณีที่ไม่มีจำนวนเต็มลบ) พิจารณามัลติเซ็ตต่อไปนี้:

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2\}$

และผลรวมเป้าหมายคือ 2เรารู้ว่าไม่มีส่วนย่อย ตอนนี้เราสร้างอินสแตนซ์สำหรับปัญหาพาร์ติชัน ทั้งสององค์ประกอบใหม่ที่เพิ่มขึ้นเป็นและ 3MultiSet ขณะนี้: และผลรวมเป็น20 $-2$ $2\sigma-t = 12$ $\sigma+t = 3$

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12\}$

20

$20$

ปัญหาของพาร์ติชันแก้คำตอบที่ให้เซ็ตย่อยนี่อิลิเมนต์ใหม่ 2 ตัวนั้นอยู่ในเซตย่อยเดียวกัน ดังนั้นนี่คือตัวอย่างเคาน์เตอร์ คำตอบที่ถูกต้องมีดังนี้:

{2, 2, 2, 2, 2}

$\{2, 2, 2, 2, 2\}$

เพิ่มองค์ประกอบที่มีค่าเป็น σผลรวมของ MultiSet ในขณะนี้คือตันแก้ปัญหาพาร์ทิชันที่จะให้ 2 ส่วนย่อยของจำนวนเงินเอาเสื้อพาร์ทิชันเดียวเท่านั้นที่จะมีองค์ประกอบใหม่ เราเลือกพาร์ติชันอื่นที่มีผลรวมเป็นและเราได้แก้ไขปัญหาชุดย่อยโดยลดลงในปัญหาพาร์ติชัน นี่คือสิ่งที่ลิงค์อธิบาย $2t-\sigma$ $2t$ $t$ $t$

— Rohit Kumar Jena
แหล่งที่มา

1

แต่ดังที่ Yuval กล่าวไว้ในความคิดเห็นต่อคำตอบของเขาผลรวมย่อยคือNPสมบูรณ์เมื่อเรา จำกัด จำนวนเต็มบวก ดังนั้นเราสามารถสรุปได้ว่าไม่มีจำนวนลบ

— David Richerby

1

ใช่ฉันยอมรับผลรวมย่อยคือ NP-complete แม้ในกรณีที่เป็นจำนวนเต็มบวก ฉันแค่ให้หลักฐานที่สมบูรณ์มากขึ้นสำหรับจำนวนเต็มใด ๆ

— Rohit Kumar Jena

1

"เพียงแสดงหลักฐานที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้น" และอ้างอย่างผิด ๆ ว่าคำตอบที่มีอยู่นั้นไม่ถูกต้อง

— David Richerby

1

มันไม่ถูกต้องในแง่ที่ว่ามันไม่ทำงานสำหรับจำนวนเต็มลบ :) Peace :)

— Rohit Kumar Jena

1

นี่คือหลักฐานที่ตรงไปตรงมา:

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่า SET-PARTITION สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม ให้พาร์ทิชัน $P_1,P_2$ เพียงสรุปทั้งสองและตรวจสอบว่าผลรวมของพวกเขาเท่ากับแต่ละอื่น ๆ ซึ่งจะเห็นได้ชัดในการตรวจสอบเวลาพหุนาม (เพราะบวกคือการดำเนินการพหุนามและเราเป็นเพียงการแสดงที่มากที่สุด $|X|$ summations ๆ อีกมากมาย)

แก่นแท้ของการพิสูจน์คือการลด SUBSETSUM เป็น PARTITION; ที่ปลายได้รับชุด $X$ และค่า $t$ (แบบสอบถามเซตรวม) เราฟอร์มชุดใหม่ $X'=X \cup \{s-2t\}$ ที่ $s=\sum_{x \in X}x$ xหากต้องการดูว่านี่เป็นการลด:

( $\implies$ ) ถือว่ามีอยู่บาง $S \subset X$ ดังกล่าวว่า $t=\sum_{x \in S}x$ แล้วเราจะมีที่
$s - เสื้อ = \underset{x \in S \cup {s - 2 เสื้อ}}{Σ} x,$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in S\cup \{ s-2t \} }x, \end{equation*}$ $s - เสื้อ = \underset{x \in X^{'} ∖ (S \cup {s - 2 เสื้อ})}{Σ} x$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in X' \setminus( S\cup \{s-2t\})}x \end{equation*}$ และเราจะได้ว่า $S\cup \{ s-2t \}$ และ $X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ สร้างพาร์ติชันของ $X'$
( $\impliedby$ ) สมมติว่ามีพาร์ทิชัน $P_1',P_2'$ ของ $X'$ ดังกล่าวว่า $\sum_{x \in P_1'}x= \sum_{x \in P_2'}x$ xโปรดสังเกตว่าสิ่งนี้ทำให้เกิดพาร์ติชันธรรมชาติ $P_1$ และ $P_2$ ของ $X$ เช่นนั้น WLOG เรามี
$s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x$ $\begin{equation*} s-2t+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x \end{equation*}$ $⟹ s - 2 เสื้อ + \underset{x \in P_{1}}{Σ} x + \underset{x \in P_{1}}{Σ} x = \underset{x \in P_{2}}{Σ} x + \underset{x \in P_{1}}{Σ} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+\sum_{x \in P_1}x+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x+\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ s - 2 เสื้อ + 2 \underset{x \in P_{1}}{Σ} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+2\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ \underset{x \in P_{1}}{Σ} x = เสื้อ$ $\begin{equation*} \implies \sum_{x \in P_1}x = t \end{equation*}$

ดังนั้นจากวิธีแก้ปัญหา $t=\sum_{x \in S}x$ เราสามารถสร้าง parition $P_1 =S\cup \{ s-2t \}$ , $P_2=X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ และตรงกันข้ามจากพาร์ติชัน $P_1',P_2'$ เราสามารถสร้าง soltuion $t=\sum_{x \in P_1'\setminus \{s-2t\}}x$ ดังนั้นการทำแผนที่ $f:(X,t)\rightarrow X'$ เป็นการลด (เนื่องจาก $(X,t)$ อยู่ในภาษา / ชุด SUBSETSUM $\Leftrightarrow X'=f(X,t)$ คือ ในส่วนของภาษา / ชุด) และเห็นได้ชัดว่าการเปลี่ยนแปลงได้ทำในเวลาพหุนาม

— Pedrpan
แหล่งที่มา

0

ผลรวมย่อย:

อินพุต: {a1, a2, ... , am} st M = {1..m} และ ai ไม่ใช่จำนวนเต็มลบและS⊆ {1..k} และΣai (i∈S) = t

Partition:

อินพุต: {a1, a2, ... , am} และS⊆ {1, ···, m} st Σai (i∈S) = Σaj (j∉S)

Partition Np Proof: ถ้า prover มีพาร์ติชั่น (P1, P2) สำหรับ verifier, verifier สามารถคำนวณผลรวมของ P1 และ P2 ได้อย่างง่ายดายและตรวจสอบว่าผลลัพธ์เป็น 0 ในเวลาเชิงเส้นหรือไม่

NP_Hard: กลุ่มผลรวม PARTp PARTITION

ปล่อยให้ x เป็นอินพุทของเซตย่อยและ x = 〈a1, a2, ... , am, t〉 และΣai (i จาก 1 ถึง m) = a

Case1: 2t> = a:

ให้ f (x) = 〈a1, a2, ... , am, am + 1〉 โดยที่ + 1 = 2t − a

เราต้องการแสดงให้เห็นว่าx∈SubsetSum⇔ f (x) ARTPARTITION

ดังนั้นจึงมีS⊆ {1, ... , m} st T = {1..m} - S และΣai (i∈T) = ที่

และให้ T '= {1 ... m, m + 1} - S so Σaj (j∈T') = a-t + 2t-a = t

ซึ่งก็คือΣai (i∈S) = t และจะแสดง f (x) ARTPARTITION

ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าf (x) ARTPARTITION ∈x∈SubsetSum

ดังนั้นจึงมีS⊆ {1, ... , m, m + 1} st T = {1, ... , m, m + 1} - S และΣai (i∈T) = [a + (2t-a ) -t] = T

และมันแสดงให้เห็นΣai (i∈T) = Σaj (j∈S) ดังนั้น m + 1∈TและS⊆ {1, ···, m} และΣai (i∈S) = t

ดังนั้น xSubsetSum

กรณีที่ 2: 2t = <a :

เราสามารถตรวจสอบได้เหมือนกัน แต่ในเวลานี้ฉัน +1 คือ − 2t

— Behrooz Tabesh
แหล่งที่มา

-3

ลิงก์นี้มีคำอธิบายที่ดีเกี่ยวกับการลดพาร์ติชันไปยังผลรวมย่อยและผลรวมย่อยของพาร์ติชัน ฉันคิดว่ามันชัดเจนกว่าคำตอบของ YUVAL ลิงค์ที่มีประโยชน์

— user44970
แหล่งที่มา

4

โปรดอย่าโพสต์คำตอบสำหรับลิงค์เท่านั้น หากเนื้อหาที่ลิงค์มีการเปลี่ยนแปลงหรือไม่สามารถใช้ได้คำตอบของคุณจะไร้ประโยชน์ โปรดแก้ไขคำตอบของคุณเพื่อให้มีประโยชน์แม้ว่าลิงก์จะไม่สามารถใช้งานได้ (ตัวอย่างเช่นการปรับปรุงเนื้อหาด้วยคำพูดของคุณเองและให้ลิงค์เป็นข้อมูลอ้างอิงและแหล่งที่มา)

— Tom van der Zanden