ค้นหาเส้นทางที่สั้นที่สุดในกราฟ unipathic ที่มีน้ำหนัก

กราฟกำกับกล่าวจะunipathicถ้าสองจุดและในกราฟมีที่มากที่สุดเส้นทางหนึ่งที่ง่ายจากจะวี $u$ $v$ $G=(V,E)$ $u$ $v$

สมมติว่าฉันได้รับกราฟ unipathicซึ่งขอบแต่ละด้านมีน้ำหนักเป็นบวกหรือลบ แต่ไม่มีวงจรน้ำหนักเชิงลบ $G$

จากนี้ผมต้องการที่จะหาอัลกอริทึมที่พบทุกเส้นทางที่สั้นที่สุดเพื่อโหนดทั้งหมดจากแหล่งโหนดs $O(|V|)$ $s$

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันจะไปเกี่ยวกับปัญหานี้ได้อย่างไร ฉันพยายามที่จะดูว่าฉันสามารถใช้ความจริงที่ว่ามันไม่มีน้ำหนักรอบเชิงลบและแน่นอนที่เส้นทางที่ง่ายที่สุดระหว่างโหนดใด ๆไปวี $u$ $v$

algorithms graphs

— Gprime
แหล่งที่มา

คุณลองทำอะไรไปแล้ว? หากคุณติดอยู่โดยสิ้นเชิงเริ่มเล็ก: กราฟ unipathic มีลักษณะเป็นอย่างไร ตัวอย่างเช่นวาดกราฟ unipathic ทุกอันด้วยหนึ่งจุดยอดสองจุดยอดสามจุดยอดและอื่น ๆ คุณอาจสังเกตเห็นรูปแบบที่เป็นประโยชน์ นอกจากนี้คุณพูดถึงไม่มีรอบน้ำหนักเชิงลบ - สามารถมีรอบ (น้ำหนักใด ๆ )?

— Juho

@mrm คุณคิดแบบไหน กราฟ Unipathic สามารถมีรอบในลักษณะที่ จำกัด ที่ฉันไม่สามารถหาวิธีที่ง่ายในการแสดง

— Gilles 'SO- หยุดความชั่วร้าย'

@mrm ไม่ได้ขอบสามารถอยู่ได้ไม่เกินหนึ่งรอบ โหนดสามารถอยู่ในจำนวนรอบใด ๆ : กราฟที่มีรูปดาวจุดเป็น unipathic (และคุณสามารถ รับอัตราส่วนที่สูงขึ้นของรอบประถมศึกษาต่อโหนด)

n

$n$

E = ⋃_{i \leq n} {(a, b_{i}), (b_{i}, a)}

$E=\bigcup_{i\le n} \{(a,b_i),(b_i,a)\}$

— Gilles 'SO- หยุดความชั่วร้าย'

เลือกการแสดงข้อมูล

ก่อนอื่นดูขนาดของผลลัพธ์ คุณต้องการรวบรวมเส้นทางที่สั้นที่สุดจากไปยังโหนดอื่นทุกโหนด เว้นแต่ความยาวเฉลี่ยของเส้นทางถูกล้อมรอบด้วยค่าคงที่ (ซึ่งไม่ใช่: รายการใด ๆ ที่เป็น unipath และถ้าคุณหาค่ารากสำหรับความยาวทั้งหมดของเส้นทางคือโดยที่คือ ความยาวของรายการ) คุณจะต้องระมัดระวังในการแสดงข้อมูลของคุณ: โครงสร้างที่มีเส้นทางจะต้องใช้การแชร์ระหว่างเส้นทาง $s$ $s$ $n(n-1)/2$ $n$

ไม่รวมรอบมีเส้นทางเดียวจากไปยังโหนดอื่น ๆยูถ้าเส้นทางที่จะไปผ่านกลางโหนดแล้วส่วนแรกของเส้นทางเป็นเส้นทางที่ต้องการจากไปที $s$ $u$ $t$ $s$ $t$

ผมเสนอให้จัดเก็บผลในอาร์เรย์จัดทำดัชนีโดยโหนดจำนวนจากไปกับ 0 แต่ละองค์ประกอบในอาร์เรย์เก็บดัชนีของโหนดก่อนหน้านี้บนเส้นทางไปยังโหนดนั้น (ใช้เช่นเป็นเครื่องหมายพิเศษสำหรับโหนดที่ไม่สามารถเข้าถึงได้จาก ) เส้นทางจากเพื่อจะt) $0$ $|E|-1$ $s=0$ $-1$ $s$ $s$ $t$ $(s=R[\ldots R[t]\ldots],\ldots,R[R[t]],R[t],t)$

สำรวจกราฟ

เตรียมทุก-1 $R$ $-1$

ดำเนินการครั้งแรกลึกหรือกว้างแรกสำรวจเส้นทางของกราฟเริ่มต้นจากsทุกครั้งที่ถึงโหนดให้ตั้งค่าเป็นบรรพบุรุษของมัน $s$ $u$ $R[u]$

เนื่องจากมีรอบจึงอาจถึงโหนดมากกว่าหนึ่งครั้ง การมีระบุว่าได้เยี่ยมชมแล้ว $R[u] \ne -1$ $u$

พิสูจน์ความถูกต้อง

เนื่องจากคุณสมบัติ unipathic จึงไม่สำคัญว่าเราจะไปถึงแต่ละโหนดได้อย่างไรตราบใดที่เรายังไม่ครบรอบ มีเพียงเส้นทางเดียวเท่านั้น

พิสูจน์ความซับซ้อน

อัลกอริทึมอาจถึงแต่ละโหนดมากกว่าหนึ่งครั้งจึงไม่ชัดเจนว่าความซับซ้อนของมันคือ|) งานที่ทำอยู่ในความเป็นจริงโดยที่เป็นขอบที่สามารถเข้าถึงได้จากแหล่งที่มา แม่นยำมากขึ้นเราไปถึงโหนดมากกว่าหนึ่งครั้งในกรณีเดียวเท่านั้น: ถ้าโหนดเป็นครั้งแรกที่เราไปถึงในรอบหนึ่ง ๆ และในกรณีนี้เราไปถึงสองครั้ง (จากเส้นทางที่เรียบง่ายและอีกครั้งหลังจากเสร็จสิ้นรอบ ) $O(|V|)$ $\Theta(|E_0|)$ $V_0$

ดีละถ้าอย่างนั้น. เรามาพิสูจน์กันแล้วว่าในกราฟ unipathic จำนวนรอบประถมศึกษาจะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามจำนวนโหนด (วัฏจักรพื้นฐานคือวงจรที่ไม่มีวงจรที่สั้นกว่า) ในการสนทนาต่อไปนี้ฉันจะสมมติว่ากราฟไม่มีขอบตัวเอง (ไม่มีขอบจากโหนดถึงตัวมันเองขอบนั้นไม่เกี่ยวข้องกับการสร้างเส้นทางเลย )

กราฟ Unipathic สามารถมีรอบ แต่ในทางที่ จำกัด มาก มันจะดีถ้าเราสามารถเชื่อมโยงแต่ละรอบกับโหนดที่แตกต่างกัน (หรืออย่างน้อยที่สุดก็คือจำนวนรอบต่อโหนดที่ จำกัด ) รอบสามารถแบ่งปันโหนดหรือไม่ น่าเสียดายใช่

คุณสามารถมีรอบทั้งหมดที่ใช้ร่วมกันหนึ่งโหนดและไม่มีโหนดอื่น กราฟผลลัพธ์คือ unipathic ที่มีรอบของความยาว 2 นี้เป็นรูปแบบดาวแห่งนี้มีโหนดศูนย์กลางและจำนวนของโหนดใด ๆดังกล่าวว่าb_i $m$ $a$ $a$ $b_i$ $\forall i, a \leftrightarrows b_i$

ดังนั้นเราจะต้องทำงานให้หนักขึ้น ทีนี้เราลองพิสูจน์ว่ามันเหนี่ยวนำ ให้เป็นจำนวนโหนดในกราฟ ,จำนวนขอบและจำนวนรอบประถมที่ไม่ใช่ขอบตัวเอง ผมยืนยันว่าถ้าเป็น unipathic และไม่ว่างแล้ว\ $\#V(G)$ $G$ $\#E(G)$ $\#C(G)$ $G$ $\#C(G) \le \#V(G)-1$

สำหรับกราฟที่มีหนึ่งหรือสองโหนดจะเห็นได้ชัด สมมติว่าการยืนยันถือกราฟทั้งหมดที่และปล่อยให้เป็นกราฟ unipathic ที่มีโหนดถ้าไม่มีรอบ, , เคสปิด มิฉะนั้นให้เป็นวัฏจักรเบื้องต้น $\#V(G) < n$ $G$ $n$ $G$ $0 = \#C(G) < \#V(G)$ $(a_1,\ldots,a_m)$

ยุบรอบ: ให้เป็นกราฟที่มีโหนดเป็นลบบวกโหนดและมีขอบเป็นขอบทั้งหมดของไม่เกี่ยวข้องกับบวกเมื่อใดก็ตามที่และเมื่อใดก็ตามที่Ä_i ทุกเส้นทางในทำให้เกิดเส้นทางใน (ถ้าเส้นทางเกี่ยวข้องกับดังนั้นแทนที่ด้วย $G'$ $G$ $\{a_1,\ldots,a_m\}$ $a$ $G$ $a_i$ $a \rightarrow_{G'} b$ $\exists i, a_i \rightarrow_G b$ $b \rightarrow_{G'} a$ $\exists i, b \rightarrow_G a_i$ $G'$ $G$ $b \rightarrow a \rightarrow c$ $b \rightarrow a_i \rightarrow a_{i+1} \rightarrow \ldots \rightarrow a_j \rightarrow c$ ใน ) ดังนั้นจึงเป็น unipathic นอกจากนี้ตั้งแต่รอบในไม่ขอบหุ้นมีวงจรทั้งหมดในยกเว้นสำหรับคนที่เราตัดออก:\ โดยการเหนี่ยวนำ 1 ตั้งแต่เรามีn-1 $G$ $G'$ $G$ $G'$ $G$ $\#C(G') = \#C(G)-1$ $\#C(G') \le \#V(G')-1$ $\#V(G') = \#V(G) - m + 1$ $\#C(G) = \#C(G')+1 \le \#V(G) - m = n-m \le n-1$

นี่เป็นการสรุปหลักฐาน การเคลื่อนที่ผ่านตามขอบมากที่สุด $2|V|-2$

— Gilles 'หยุดความชั่วร้าย'
แหล่งที่มา