คำถามเกี่ยวกับเครื่องจักรทัวริงที่ไม่มีประโยชน์

ตกลงดังนั้นนี่คือคำถามจากการทดสอบที่ผ่านมาในระดับทฤษฎีการคำนวณของฉัน:

สถานะที่ไร้ประโยชน์ใน TM คือสถานะที่ไม่เคยป้อนลงในสตริงอินพุตใด ๆ ปล่อย พิสูจน์ว่านั้นไม่สามารถตัดสินใจได้U S E L E S S T

$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}} = \{\langle M, q \rangle \mid q \text{ is a useless state in }M\}.$$ $\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

ฉันคิดว่าฉันมีคำตอบ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าถูกต้องหรือไม่ จะรวมไว้ในส่วนคำตอบ

สิ่งนี้สามารถลดลงได้อย่างชัดเจนจากปัญหาการหยุดชะงัก หากเครื่องไม่หยุดทำงานในอินพุตดังนั้นสถานะสุดท้ายคือ "ไร้ประโยชน์" ได้รับการป้อนข้อมูลสำหรับปัญหาลังเลมันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างที่หยุดทุกการป้อนข้อมูล (เช่นรัฐสุดท้ายของมันไม่ได้ไร้ประโยชน์) และถ้าหากหยุดบนxด้วยวิธีนี้คุณสามารถตัดสินใจหยุดปัญหาได้หากคุณสามารถตัดสินใจซึ่งให้ผลที่ขัดแย้งกันx M , x M x M x U S E L E S S T $M$$x$$M,x$$M_x$$M$$x$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

สำหรับจุดประสงค์ของการพิสูจน์นี้เราจะสันนิษฐานว่านั้นสามารถแสดงความขัดแย้งได้$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$

สร้าง TMที่ทำสิ่งต่อไปนี้:$R$

• แปลง TMไปเป็น pushdown automataด้วยสแต็กผ่อนคลาย (เช่นไม่มีข้อกำหนด LIFO) นี้จะเทียบเท่ากับกราฟกำกับรายละเอียดการเปลี่ยนแปลงระหว่างรัฐ 'sพี$M$$P$$M$
• ทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้นของรัฐP$P$
• จากสถานะเริ่มต้นการค้นหาแบบกว้างแรกตามขอบขาออกแต่ละอันทำเครื่องหมายแต่ละโหนดที่ไม่มีเครื่องหมาย
• เมื่อการค้นหาสิ้นสุดถ้ามีโหนดใด ๆ ป้ายซึ่งตรงกับ , ยอมรับ ; มิฉะนั้นจะปฏิเสธ$q$

จากนั้นสร้าง TM = "ที่อินพุต $$$S$

1. สร้าง TMตามที่แสดงด้านบน$R$
2. เรียกบนR$q$$R$
3. ถ้าส่งคืนยอมรับให้ยอมรับ ; ถ้าปฏิเสธให้ปฏิเสธ " $R$$R$

ดังนั้นหากคือ decider สำหรับแล้วเป็น decider สำหรับ (ปัญหาการยอมรับ) เนื่องจากได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่สามารถตัดสินใจได้ (ดู Michael Sipser Theory of Theoryทฤษฎีบทการคำนวณ 4.11 ในหน้า 174) เรามีข้อขัดแย้งกัน ดังนั้นสมมติฐานดั้งเดิมไม่ถูกต้องและจึงไม่สามารถคาดเดาได้U S E L E S S T M S T M T M U S E L E S S T $R$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$$S$$A_{\mathrm{TM}}$$A_{\mathrm{TM}}$$\mathrm{USELESS}_{\mathrm{TM}}$