พยายามทำความเข้าใจหลักฐานความถูกต้อง Quicksort นี้

หลักฐานนี้เป็นหลักฐานโดยการเหนี่ยวนำและไปดังนี้:

P (n) เป็นการยืนยันว่า "Quicksort จัดเรียงอินพุตอาร์เรย์ที่มีความยาว n ได้อย่างถูกต้อง"

เคสพื้นฐาน: อินพุตอาร์เรย์ทุกตัวที่มีความยาว 1 เรียงแล้ว (P (1) ถือ)

ขั้นตอนอุปนัย: แก้ไข n => 2. แก้ไขอาร์เรย์อินพุตที่มีความยาว n

ต้องแสดง: ถ้า P (k) ถือสำหรับ k <n ทั้งหมดดังนั้น P (n) ก็ถือเช่นกัน

จากนั้นเขาก็ดึงอาร์เรย์ A ที่แบ่งพาร์ติชันไว้รอบ pivot p ดังนั้นเขาจึงวาด p และเรียกส่วนของอาร์เรย์ที่ <p เป็นส่วนที่ 1 และส่วนที่> p คือส่วนที่สอง ความยาวของส่วนที่ 1 = k1 และความยาวของส่วนที่ 2 คือ k2 โดยการพิสูจน์ความถูกต้องของรูทีนย่อย Partition (พิสูจน์แล้วก่อนหน้านี้) pivot p จะหมุนขึ้นในตำแหน่งที่ถูกต้อง

โดยสมมติฐานอุปนัย: 1, ส่วนที่ 2 ได้รับการจัดเรียงอย่างถูกต้องโดยการโทรซ้ำ (ใช้ P (K1), P (k2))

ดังนั้น: หลังจากเรียกซ้ำ, อาร์เรย์ทั้งหมดจะถูกจัดเรียงอย่างถูกต้อง

QED

ความสับสนของฉัน : ฉันมีปัญหามากมายที่เห็นว่าวิธีนี้พิสูจน์ความถูกต้องของมัน ดังนั้นเราจึงสันนิษฐานว่า P (k) มีค่าเป็นจำนวนธรรมชาติทั้งหมด k <n

หลักฐานการเหนี่ยวนำส่วนใหญ่ที่ฉันได้เห็นไปเป็นเช่น: พิสูจน์กรณีฐานและแสดงให้เห็นว่า P (n) => P (n + 1) พวกเขามักจะเกี่ยวข้องกับการเรียงพีชคณิต หลักฐานนี้ดูแตกต่างกันมากและฉันไม่เข้าใจวิธีการใช้แนวคิดของการเหนี่ยวนำกับมัน ฉันสามารถเหตุผลได้ว่าความถูกต้องของรูทีนย่อย Partition เป็นกุญแจสำคัญ ดังนั้นเหตุผลสำหรับความถูกต้องของมันเป็นดังนี้: เรารู้ว่าการเรียกซ้ำแต่ละครั้งก็จะแบ่งอาร์เรย์รอบเดือย เดือยนี้จะอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้อง จากนั้นแต่ละ subarray จะถูกแบ่งพาร์ติชันเพิ่มเติมรอบ ๆ เดือยและเดือยนั้นจะอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้อง สิ่งนี้จะดำเนินต่อไปเรื่อย ๆ จนกว่าคุณจะได้รับ subarray ที่มีความยาว 1 ซึ่งเรียงลำดับเล็กน้อย

แต่แล้วเราก็ไม่ได้สมมติว่า P (k) ถือเอาไว้สำหรับ k <n ทั้งหมด .... เรากำลังแสดงให้เห็นว่ามันเป็นจริง (เนื่องจากรูทีนย่อยพาร์ติชันจะวางองค์ประกอบหนึ่งในตำแหน่งที่ถูกต้องเสมอ) เราไม่ได้สมมติว่า P (k) ถือสำหรับ k ทั้งหมด

correctness-proof induction quicksort

— FrostyStraw
แหล่งที่มา

"QUE" คืออะไร คุณหมายถึง "QED" หรือไม่ (Latin Quod Erat Demonstrandumซึ่งไม่มีคำใด ๆ ที่เริ่มต้นสำหรับU )

— Bakuriu

จริง ๆ แล้วฉันหมายถึง QED ฉันเดาว่าความสับสนของฉันทำให้ฉันเขียนว่า "อะไร" ในภาษาสเปน

— FrostyStraw

คำตอบ:

เราเป็นจริงสมมติว่าถือสำหรับทุก<n นี่เป็นลักษณะทั่วไปของ "จากเราพิสูจน์รูปแบบการพิสูจน์ " ที่คุณคุ้นเคย $P(k)$ $k < n$ $P(n-1)$ $P(n)$

หลักฐานที่คุณอธิบายเรียกว่าหลักการของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งและมีรูปแบบ

สมมติว่าเป็นคำกริยาที่กำหนดไว้ใน\} ถ้าเราสามารถแสดงให้เห็นว่า $P(n)$ $n\in \{1, 2, \dotsc\}$

$P(1)$ เป็นจริงและ

$(\forall k < n \;[P(k)])\Longrightarrow P(n)$

แล้วเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม1 $P(n)$ $n\ge 1$

ในหลักฐานที่คุณอ้างอิงนั่นคือสิ่งที่เกิดขึ้น ที่จะใช้ในการจัดเรียง quicksort อาร์เรย์ของขนาดเราพาร์ทิชันมันเป็นสามชิ้น: ครั้งแรก subarray, เดือย (ซึ่งจะอยู่ในสถานที่ที่ถูกต้อง) และ subarray เหลือขนาดNK-1โดยวิธีการทำงานของพาร์ทิชันทุกองค์ประกอบใน subarray แรกจะน้อยกว่าหรือเท่ากับ pivot และทุกองค์ประกอบใน subarray อื่นจะมากกว่าหรือเท่ากับ pivot ดังนั้นเมื่อเราเรียงลำดับ subarray แรกและสุดท้ายซ้ำ จะจบลงเมื่อมีการเรียงลำดับอาร์เรย์ทั้งหมด $n$ $k$ $n-k-1$

เราแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ถูกต้องโดยการเหนี่ยวนำที่แข็งแกร่ง: เนื่องจาก subarray แรกมีองค์ประกอบเราสามารถสันนิษฐานได้โดยการเหนี่ยวนำว่ามันจะถูกจัดเรียงอย่างถูกต้อง เนื่องจากระบบย่อยที่สองมีองค์ประกอบเราสามารถสันนิษฐานได้ว่ามันจะถูกจัดเรียงอย่างถูกต้อง ดังนั้นเมื่อนำชิ้นส่วนทั้งหมดเข้าด้วยกันเราจะจบลงด้วยการจัดเรียงแถวลำดับ $k<n$ $n-k-1<n$

— ริกฉูดฉาด
แหล่งที่มา

ส่วนที่เย็นเกี่ยวกับหลักการของการเหนี่ยวนำที่แข็งแกร่งคือกรณีฐานไม่จำเป็น! ถ้าเราใช้ในขั้นตอนการปฐมนิเทศแล้วสิ่งที่มาก่อนว่างเปล่าดังนั้นเราจึงมีโดยไม่มีเงื่อนไข

P (1)

$P(1)$

n = 1

$n=1$

\forall k < 1, P (k)

$\forall k<1,P(k)$

P (1)

$P(1)$

— Mario Carneiro

โอเค ... เพื่อให้ชัดเจน ... เราสันนิษฐานว่า P (k) เป็นจริงสำหรับทุก k <n และวิธีที่เราแสดงให้เห็นว่า P (k) ==> P (n) (สำหรับ k <n ทั้งหมด) คือการรวมกันของการรู้ว่าเดือยจะอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้องและผ่านสมมติฐาน (สมมติฐานอุปนัย ) ที่ subarrays ซ้ายและขวาจะถูกจัดเรียงเช่นกัน รวมกับเคสตัวฐาน (ที่ k = 1 <n) และการพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์หรือไม่

— FrostyStraw

ดีฉันเดาว่ามันคงไม่พอที่จะรู้ว่าเดือยอยู่ในตำแหน่งที่ถูกต้อง แต่ยังรวมถึง subarray ที่ถูกต้องนั้นใหญ่กว่า pivot และอันที่เหลืออยู่นั้นน้อยกว่า

— FrostyStraw

@FrostyStraw มันเป็นเสียงกระซิบจีน

— Raphael

@ FrostyStraw Hehe ฉันหมายถึงกลยุทธ์การพิสูจน์ :)

— Raphael

หลักฐานนี้ใช้หลักการของการเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์ :

สมมติว่า:

เคสฐาน: $P(1)$

ขั้นตอน: สำหรับทุก ๆถ้าพัก ( สมมติฐานการเหนี่ยวนำ ) จากนั้นถือเช่นกัน $n > 1$ $P(1),\ldots,P(n-1)$ $P(n)$

จากนั้นจะถือครองสำหรับทั้งหมด $P(n)$ $n \geq 1$

คุณสามารถพิสูจน์หลักการนี้โดยใช้หลักการการเหนี่ยวนำตามปกติโดยพิจารณาคุณสมบัติ I ปล่อยให้คุณรายละเอียด

Q (m) \Leftrightarrow P (1) and P (2) and \dots and P (m)

$Q(m) \Leftrightarrow P(1) \text{ and } P(2) \text{ and } \cdots \text{ and } P(m)$

ตอนนี้เรามาใช้การเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์เพื่อพิสูจน์ว่า Quicksort รุ่นต่อไปนี้เรียงลำดับข้อมูลถูกต้อง:

Quicksort(A, n)
    if n = 1 then:
        return
    else:
        let X[1...x] consist of all elements of A[2],...,A[n] which are at most A[1]
        let Y[1...y] consist of all elements of A[2],...,A[n] which are larger than A[1]
        call Quicksort(X, x)
        call Quicksort(Y, y)
        set A to the concatenation of X, A[1], Y

นี่A[1],...,A[n]คืออาร์เรย์อินพุตและnคือความยาว ข้อความที่เราต้องการพิสูจน์มีดังนี้:

ให้เป็นอาร์เรย์ของความยาว1 แสดงว่าเนื้อหาของหลังจากเรียก Quicksort โดยBแล้ว: $A$ $n \geq 1$ $A$ $B$

quicksort ยุติใน $A$

มีการเปลี่ยนแปลงของดังกล่าวว่าpi_i] $\pi_1,\ldots,\pi_n$ $1,\ldots,n$ $B[i] = A[\pi_i]$

$B[1] \leq B[2] \leq \cdots \leq B[n]$ [N]

ฉันจะพิสูจน์คุณสมบัติที่สามโดยทิ้งที่เหลือให้คุณ เราปล่อยให้เป็นข้อความต่อไปนี้: $P(n)$

หากเป็นอาร์เรย์ของความยาวและเป็นเนื้อหาของมันหลังจากใช้แล้ว[N] $A$ $n \geq 1$ $B$ Quicksort(A, n) $B[1] \leq B[2] \leq \cdots \leq B[n]$

หลักฐานอยู่โดยการเหนี่ยวนำที่สมบูรณ์แบบบนnถ้าแล้วมีอะไรที่จะพิสูจน์ดังนั้นสมมติว่า1 Letจะเป็นในขั้นตอน ตั้งแต่ , สมมติฐานการปฐมนิเทศแสดงให้เห็นว่า นอกจากนี้จากวิธีที่เราจัดตั้งอาร์เรย์และมันตามที่[1] ดังนั้น มันดังต่อไปทันทีว่า[N] ดังนั้นถือ $n$ $n = 1$ $n > 1$ $X,x,Y,y$ Quicksort $x,y < n$

X [1] \leq X [2] \leq \dots \leq X [x] Y [1] \leq Y [2] \leq \dots \leq Y [y]

$X[1] \leq X[2] \leq \cdots \leq X[x] \\ Y[1] \leq Y[2] \leq \cdots \leq Y[y]$

X

$X$

Y

$Y$

X [x] \leq A [1] < Y [1]

$X[x] \leq A[1] < Y[1]$

X [1] \leq \dots \leq X [x] \leq A [1] < Y [1] \leq \dots \leq Y [y] .

$X[1] \leq \cdots \leq X[x] \leq A[1] < Y[1] \leq \cdots \leq Y[y].$

B [1] \leq \dots \leq B [n]

$B[1] \leq \cdots \leq B[n]$

P (n)

$P(n)$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา

ส่วนที่ขาดหายไปของการโต้เถียงคือความแปรปรวนของ '<' - คือคุณสมบัติที่ถ้า <b และ b <c ดังนั้น a <c หลักฐานว่าอาร์เรย์สุดท้ายถูกเรียงลำดับแล้วจะเป็นดังนี้:

ให้ A [i], A [j] เป็นองค์ประกอบของอาเรย์หลังการเรียงลำดับโดยที่ << จากนั้น A [i] <A [j] ดังต่อไปนี้จากหนึ่งในกรณีการจัดวางต่อไปนี้ (และไม่มีกรณีอื่น):

(a) i และ j อยู่ในพาร์ติชันแรก - A [i] <A [j] ตามด้วยการเรียกซ้ำ / การเหนี่ยวนำ

(b) i และ j อยู่ในพาร์ติชั่นที่สอง - A [i] <A [j] ตามด้วยการเรียกซ้ำ / การเหนี่ยวนำ

(e) i อยู่ในพาร์ติชั่นแรกและ j อยู่ในพาร์ติชั่นที่สอง - จากนั้นโดยโพรซีเดอร์พาร์ติชัน, A [i] <pivot, และ pivot <A [j] ดังนั้นโดยความไวแสง A [i] <A [j]

— PMar
แหล่งที่มา