การพิสูจน์ DOUBLE-SAT นั้นสมบูรณ์แล้ว

ปัญหา SAT ที่เป็นที่รู้จักกันดีถูกกำหนดไว้ที่นี่เพื่อประโยชน์ในการอ้างอิง

ปัญหา DOUBLE-SAT ถูกกำหนดเป็น

$\qquad \mathsf{DOUBLE\text{-}SAT} = \{\langle\phi\rangle \mid \phi \text{ has at least two satisfying assignments}\}$

เราจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าเป็นปัญหาสมบูรณ์

มากกว่าหนึ่งวิธีในการพิสูจน์จะได้รับการชื่นชม

นี่คือทางออกหนึ่ง:

ชัดเจน Double-SAT เป็นของเนื่องจาก NTM สามารถตัดสินใจได้ว่า Double-SAT ดังต่อไปนี้: บนสูตรอินพุตบูลีน , คาดเดาการมอบหมาย 2 ครั้งและตรวจสอบว่าทั้งสองตอบสนอง .${\sf NP}$$\phi(x_1,\ldots,x_n)$$\phi$

เพื่อแสดงให้เห็นว่า Double-SAT เป็นเสร็จสมบูรณ์เราให้การลดลงจาก SAT เป็น Double-SAT ดังต่อไปนี้:${\sf NP}$

ในอินพุต :$\phi(x_1,\ldots,x_n)$

1. แนะนำตัวแปรใหม่Y$y$
2. สูตรเอาท์พุทy)$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y) = \phi(x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$

ถ้าเป็นของ SAT แล้วมีการมอบหมายอย่างน้อย 1 อย่างและมีอย่างน้อย 2 อย่างที่เราพอใจ ประโยคใหม่ ( ) โดยการกำหนดหรือให้กับตัวแปรใหม่ดังนั้น ( , ... , , ) Double-SAT$\phi (x_1,\ldots,x_n)$$\phi$$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y)$$y \vee \bar y$$y = 1$$y = 0$$y$$\phi'$$x_1$$x_n$$y$$\in$

ในทางตรงกันข้ามถ้าจากนั้นอย่างชัดเจนไม่มีการกำหนดความพึงพอใจอย่างใดอย่างหนึ่งเพื่อให้SAT}$\phi(x_1,\ldots,x_n)\notin \text{SAT}$$\phi' (x_1,\ldots,x_n, y) = \phi (x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$$\phi'(x_1,\ldots,x_n,y) \notin \text{Double-SAT}$

ดังนั้นดังนั้น Double-SAT จึงเป็นเสร็จสมบูรณ์$\text{SAT} \leq_p \text{Double-SAT}$${\sf NP}$

คุณรู้ว่านั้นสมบูรณ์แล้ว คุณสามารถหาการลดลงจากเป็นหรือไม่ คุณสามารถจัดการสูตรที่พึงพอใจเพื่อให้ผลลัพธ์มีการมอบหมายอย่างน้อยสองรายการได้หรือไม่? โปรดทราบว่าการจัดการเดียวกันไม่สามารถแสดงสูตรที่ไม่น่าพอใจได้S A T D O U B L E - S A $\mathsf{SAT}$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{DOUBLE\text{-}SAT}$

สำหรับสูตรใด ๆสูตรมีอย่างน้อยสองเท่าของจำนวน assingments ที่น่าพอใจเป็นโดยที่เป็น homomorphism ที่เปลี่ยนชื่อตัวแปรทั้งหมดเป็นชื่อใหม่φ ∨ ฉ( φ ) φ $\varphi$$\varphi \lor f(\varphi)$$\varphi$$f$