รูปสามเหลี่ยมคู่ที่ไม่ซ้ำกันของรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่าย

ด้วยการกำหนดรูปสามเหลี่ยม (ไม่มีคะแนนสทิเนอร์) ของรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่ายเราสามารถพิจารณาสมการสองตำแหน่งนี้ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้ เราสร้างจุดสุดยอดสำหรับสามเหลี่ยมทุกรูปในการหาสามเหลี่ยมของเราและเราเชื่อมจุดยอดสองจุดถ้าสามเหลี่ยมที่สอดคล้องกันแบ่งปันขอบ กราฟคู่เป็นที่รู้จักกันว่าเป็นต้นไม้ที่มีระดับสูงสุดสาม$P$

สำหรับใบสมัครของฉันฉันสนใจในสิ่งต่อไปนี้ ได้รับต้นไม้ที่มีระดับสูงสุดที่สามจะมีเสมอง่ายเหลี่ยมดังกล่าวที่สองของทุกสมการ (ไม่จุดทิ) ของเท่ากับTตรงนี้สามเหลี่ยมของอาจไม่ซ้ำกัน แต่ฉันต้องการให้กราฟคู่ดูไม่ซ้ำกัน$T$$P$$P$$T$$P$

นี่เป็นความจริงอย่างแน่นอนเมื่อเป็นเส้นทาง แต่ไม่ชัดเจนเมื่อคุณมีจุดยอดองศาที่สาม$T$

รับต้นไม้ $T$ ด้วยระดับสูงสุดที่สามมีรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายเสมอ $P$ เช่นนี้ซึ่งเป็นสองเท่าของทุกสมการ $P$ เท่ากับ $T$?

ใช่. เพื่อแสดงสิ่งนี้ฉันจะให้ขั้นตอนเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นเล็กน้อย *:

รับต้นไม้ $T$ ด้วยระดับสูงสุดสามสร้างรูปหลายเหลี่ยมอย่างง่าย $P$เช่นว่าสมการที่เป็นเอกลักษณ์ของ$P$ (ไม่มีคะแนนสทิเนอร์) มี $T$ เป็นคู่

เริ่มต้นด้วยการสร้างสามเหลี่ยมเริ่มต้น $\Delta_0$คิดเป็นจุดสุดยอดบางส่วน $v_0$ ใน $T$ และเพิ่ม $v_0$ ไปที่คิว $Q$. จากนั้นทำซ้ำต่อไปนี้จนกระทั่ง$Q$ มันว่างเปล่า:

• องค์ประกอบยอดนิยม $v$จากคิว
• สำหรับแต่ละจุดสุดยอดที่อยู่ใกล้เคียง $w$ ที่เรายังไม่ได้วางสามเหลี่ยมให้เลือกข้าง $AB$ ของสามเหลี่ยม $\Delta_v$ และจุด $D$ ภายในพื้นที่รูปกรวยที่เกิดจากเส้นผ่าน $AB$ และส่วนที่อยู่ใกล้เคียงเช่นสามเหลี่ยม $\Delta ABD$ไม่ได้ตัดสามเหลี่ยมอื่น ๆ (ดูรูปด้านล่าง) ตั้ง$\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$ และเพิ่ม $w$ ถึง $Q$.

ภาพนี้เป็นตัวอย่างของรูปหลายเหลี่ยมที่เป็นไปได้ $P$ (ซ้าย) สำหรับที่กำหนด $T$ (ขวา)

หากต้องการดูว่าทำไมขั้นตอนนี้จึงใช้งานได้โปรดทราบว่าหลังจากสร้างสามเหลี่ยมใหม่แล้ว $AB$ และ $AD$ สร้างกรวยที่มีพื้นที่ไม่ว่างไม่ตัดกับสามเหลี่ยมที่มีอยู่ (ดูรูปก่อนหน้า) ดังนั้นเราสามารถหาจุดที่เหมาะสมในทุกขั้นตอนและสร้างรูปหลายเหลี่ยม

ประการที่สองเราได้เลือกรูปสามเหลี่ยมเช่นนั้นส่วนของเส้นแบ่งระหว่าง $CD$ ไม่ได้นอนอยู่ข้างในอย่างสมบูรณ์ $P$. หากมีจุดมุมอยู่$Q \notin \{B,D\}$ ของรูปสามเหลี่ยมที่วางไว้แล้วเช่นนั้น $DQ$ อย่างเต็มที่ค่ะ $P$จากนั้นจะต้องอยู่ภายในกรวยที่สร้างขึ้นโดย $AD$ และ $BD$. อย่างไรก็ตามเนื่องจากส่วนหนึ่งของกรวยนี้ที่ไม่ได้นอนอยู่ข้างใน$\Delta ABD$ มีอยู่ในกรวยที่สร้างโดยสามเหลี่ยมที่วางไว้ก่อนหน้านี้เช่น $Q$มีอยู่เฉพาะในกรณีที่มีจุดคล้ายคลึงสำหรับสามเหลี่ยมที่วางไว้ก่อนหน้านี้ เนื่องจากไม่มีจุดเช่นนี้สำหรับสามเหลี่ยมแรกนั่นหมายความว่าไม่มีจุดดังกล่าวสำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ ที่เราเพิ่ม

ซึ่งหมายความว่าทุกคู่ $(X,Y)$ ของมุมใด ๆ ของ $P$ ซึ่งส่วน $XY$ มีอยู่เต็มใน $P$ มีอยู่แล้วในการสร้างสมการดังนั้นการวิเคราะห์จึงมีลักษณะเฉพาะสำหรับ $P$ (สามเหลี่ยมทั้งหมดเพิ่มจำนวนเซ็กเมนต์ภายในเท่ากัน)

โปรดทราบว่ารูปหลายเหลี่ยมที่สร้างในวิธีนี้มักจะมีมุมที่ค่อนข้างแหลม ฉันสงสัยว่ากราฟขนาดใหญ่ที่กำหนดเองต้องการรูปหลายเหลี่ยมที่มีมุมเล็ก ๆ ซึ่งอาจเป็นปัญหาเมื่อวาดรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ด้วยความแม่นยำแน่นอน

_{*: ความแตกต่างคือถ้าเราตีความ 'ที่ไม่เหมือนใคร' จนถึงมอร์ฟิซึ่มส์ (ซึ่งสอดคล้องกับความเป็นเอกลักษณ์ของ triangulations และ Duals ที่ต่างกัน) เราจะโอเคกับรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามเหลี่ยมหลายอัน อย่างไรก็ตามมีความเป็นไปได้ที่จะ 'เพิ่ม' รูปสามเหลี่ยมเพิ่มเติมให้กับรูปหลายเหลี่ยมเหล่านั้น}