ภาษาของค่าของฟังก์ชันเลียนแบบ

เขียนสำหรับการขยายทศนิยมของ (โดยไม่นำหน้า) ให้และเป็นจำนวนเต็มกับ0 พิจารณาภาษาของการขยายทศนิยมของทวีคูณของบวกค่าคงที่:$\bar n$$n$0$a$$b$$a > 0$$a$

คือปกติ? บริบทฟรีหรือไม่$M$

(ตรงกันข้ามกับภาษาของกราฟของฟังก์ชันเลียนแบบ )

_{ฉันคิดว่านี่จะเป็นคำถามทำการบ้านที่ดีดังนั้นคำตอบที่เริ่มต้นด้วยคำใบ้หรือสองและอธิบายไม่เพียง แต่วิธีการแก้ปัญหา แต่ยังรวมถึงวิธีการตัดสินใจว่าจะใช้เทคนิคใดในการใช้งาน}

$a$$a - 1$$q$$d$( 10 q + d ) mod a b mod a b > $(10 q + d) \bmod a$$b \bmod a$$b > a$

เป็นเรื่องปกติ ก่อนอื่นมาทำงานในระบบเลขฐานสองซึ่งจะสรุปกับฐานใด ๆ > 1 ให้$M_{a,b}$เป็นภาษาที่สงสัย สำหรับ a = 1, b = 0 เราได้รับ

$M_{1,0} = \{1, 10, 11, 100, 101, ...\}$

ซึ่งเป็นสตริงทั้งหมดที่อยู่เหนือ$\{0,1\}$โดยไม่มีศูนย์นำหน้าซึ่งเป็นปกติ (สร้างนิพจน์ทั่วไปสำหรับมัน)

ทีนี้สำหรับaใด ๆ$a$ด้วย b นิ่ง 0 เราจะได้จากโดยการคูณตัวเลขด้วย a นั่นคือทำการแปลงในแต่ละสตริงของ0} ที่สามารถเป็นบิตทำโดยลำดับของการเปลี่ยนแปลงและเพิ่มเติมของที่ขึ้นอยู่กับบิตของสตริงคงที่บาร์ การแปลงสองอย่างที่เราต้องการคือ:M , 0 M 1 , 0 ˉ x → ¯ x M , 0 x $M_{a,0}$$M_{1,0}$$\bar x \rightarrow \overline {ax}$$M_{a,0}$$x$$\bar a$

ˉ x → ¯ 2 x ˉ x → ˉ x$\bar x \rightarrow \overline {2x}$ซึ่งคือ$\bar x \rightarrow \bar x0$

และ

$\bar x \rightarrow \overline {2x+x}$

การต่อ 0 ทางด้านขวาให้ชัดเจนจะคงความเป็นระเบียบ เราจึงต้องพิสูจน์ว่าการผ่าตัดครั้งที่สองนั้นคงความสม่ำเสมอ วิธีที่จะทำคือกับตัวแปลงสัญญาณสถานะ จำกัด ทำงานบนจากขวาไปซ้าย นั่นเป็นขั้นตอนที่ยากที่สุด ฉันขอแนะนำให้ทำด้วยโปรแกรมโค้ดหลอกและหน่วยความจำ จำกัด บางอย่าง (เช่นตัวแปรบิต) แทนที่จะใช้สถานะ ตราบใดที่หน่วยความจำมีขนาดคงที่สำหรับอินพุตทั้งหมดและคุณสแกนจากขวาไปซ้ายอย่างเคร่งครัดมันเป็นการแปลงสถานะแบบ จำกัด และรักษาความสม่ำเสมอ$\bar x$

สุดท้ายที่จะได้รับจากเราจำเป็นต้องเพิ่มตัวเลขแต่ละสตริง แต่ที่ทำได้ด้วยตัวแปลงสัญญาณที่คล้ายกันซึ่งขึ้นอยู่กับจำนวนคงที่ข$M_{a,b}$$M_{a,0}$$b$$T_b$

จะทำเช่นเดียวกันในฐานใด ๆ นอกจากนี้แสดงวิธีการดำเนินการคูณด้วยตัวเลขหลักเดียวในฐานที่ใช้ตัวแปลงสัญญาณที่ขึ้นอยู่กับ d ด้วยเหตุนี้เราสามารถคูณด้วยตัวเลขหลายหลักและยังคงอยู่ในภาษาปกติ หรือเราสามารถกลเม็ดนี้โดยบอกว่าการคูณด้วยเป็นการเติมซ้ำd S d$d$$S_d$$d$

คุณต้องการเพียงคำใบ้ แต่ละขั้นตอนเหล่านั้นขึ้นอยู่กับทฤษฎี / เทคนิคที่ซับซ้อนพอสมควรดังนั้นการพิสูจน์ว่าการพิสูจน์ที่สมบูรณ์นั้นจะเป็นงานพิเศษ

คำแนะนำ # 1 : ก่อนอื่นแก้ปัญหาที่เป็นที่นิยมมากขึ้น "เขียนหุ่นยนต์ที่รับรู้การแทนทศนิยม / ไบนารีของตัวเลขหารด้วย 3" เมื่อบิตที่สำคัญน้อยที่สุดปรากฏขึ้นก่อน

คำถามระดับกลาง: พิสูจน์ว่า{ ¯ ax + b ∣ax + b ≥ 0x ∈ Z }เป็นเรื่องปกติ$\{ \overline{a\,x+b}\mid a\,x+b≥0 \quad x\in\mathbb{Z}\}$

คำแนะนำ # 2 : กราฟของฟังก์ชั่น( n ↦ 10 n + d ) "โมดูโลa " นั้น จำกัด คุณสามารถคำนวณมันสำหรับแต่ละdใน{ 0 , … , 9 }ซึ่งเป็นทั้งชุดของตัวเลขและภาษาของหุ่นยนต์ของคุณ$(n \mapsto 10n+d)$$a$$d$$\{0, \dots, 9\}$

แบะท่า # 3 : ตอนนี้แทนที่x ∈ Zกับx ∈ N การเปลี่ยนแปลงนี้คืออะไร? พยายามที่จะใช้ความจริงที่ว่าภาษาปกติมีเสถียรภาพจากการตัดกันแทนการสร้างAd-hocหุ่นยนต์$x∈\mathbb Z$$x∈\mathbb N$

แบะท่า # 4 : ตอนนี้คิดว่าเป็นจำนวนเฉพาะ (เพื่อให้Z / Zเป็นเขต) และที่เรายังคงอยู่ในกรณีที่x ∈ Z ขณะนี้เราใช้การแสดงที่บิตแรกเป็นที่สำคัญที่สุดบิต คุณสามารถสร้างหุ่นยนต์ด้วยวิธีเดียวกันได้หรือไม่?$a$$\mathbb Z/a\mathbb Z$$x∈\mathbb Z$

คำแนะนำ # 5 : คุณไม่จำเป็นต้องสร้างหุ่นยนต์เพื่อพิสูจน์ภาษาเป็นประจำ คุณสามารถใช้ผลลัพธ์ก่อนหน้าเพื่อพิสูจน์ว่าMเป็นปกติได้อย่างไร (ด้วยบิตที่สำคัญที่สุดก่อน)$M$

ฉันกำลังติดตามแนวคิดของ @vonbrand:

คำแนะนำ 1:

แก้ไขครั้งแรกสำหรับข= 0 คุณอาจใช้ทฤษฎีบทMyhill-Nerode$b=0$

เรากำหนดความสัมพันธ์ต่อไปˉ x ≈ ˉ Y :⟺x ≡ yพอควรก . เห็นได้ชัดว่านี่คือความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกัน นอกจากนี้มันเป็นสิทธิที่สอดคล้องกันเพราะถ้าเราผนวกหลัก dเราได้รับ ˉ x ≈ ˉ $\bar x\approx \bar y :\iff x\equiv y \mod a$$d$⟺10 x + d ≡ 10 y + dพอควรa⟺ˉ x d≈ ˉ Y d ในที่สุดมันก็อิ่มตัวLตั้งแต่Lเป็นชั้นสมมูล[0] เนื่องจาก≈มีคลาสจำนวน จำกัด ที่เรามีโดยทฤษฎีบท Myhill-Nerode ว่าเป็นเรื่องปกติ FSA ที่เกี่ยวข้องน้อยที่สุดและมีรัฐ$\bar x \approx \bar y \iff 10x+d \equiv 10y+d \mod a \iff \bar x d \approx \bar y d$$L$$L$$[0]$$\approx$$a$

คำแนะนำ 2:

แก้ปัญหากรณีทั่วไปนำมาใช้หุ่นยนต์เหนี่ยวนำโดยข= 0กรณี$b=0$

เรารู้ว่าภาษาเป็นปกติสำหรับข= 0 ดังนั้นเพียงแค่ใช้รัฐ FSA Mสำหรับข= 0ภาษา ตอนนี้เราสร้าง FSA สำหรับL สมมติว่าbมีkหลัก แล้วสาขา FSA เหมือนต้น 10 Ary ของความลึกkและมีทุกเส้นทางไปยังหมายเลขที่มีkตัวเลข รัฐทั้งหมดที่สามารถเข้าถึงได้ด้วยจำนวนที่ไม่ได้อยู่ในรูปแบบx + ขปฏิเสธมิฉะนั้นการยอมรับ ในที่สุดเราก็เชื่อมต่อส่วนที่เป็นต้นไม้ของ FSA กับหุ่นยนต์$b=0$$a$$M$$b=0$$L$$b$$k$$k$$k$$ax+b$$M$ตามที่เหลือโดยการหารโดยก .$a$

ภาษาเป็นปกติ

คำแนะนำ: ขับไล่เก้า

พิสูจน์ความคิด

สำหรับ= 9และข< 9 ,$a=9$$b < 9$

สร้างหุ่นยนต์ที่มี9รัฐที่มีป้ายกำกับ0ผ่าน8 0เป็นรัฐที่เริ่มต้นและรัฐสุดท้ายหนึ่งข จากสถานะsบนหลักdเปลี่ยนไปสู่สถานะ( s + d $9$$0$$8$$0$$b$$s$$d$m o d9 .$(s + d) \;\mathrm{mod}\; 9$

เพื่อจัดการกับค่าอื่น ๆ ของที่ coprime กับ10 ,$a$$10$

กลุ่มหลักในแพ็กเก็ตเพื่อค้นหาบางkดังกล่าวว่าแบ่ง10 k - 1 (เช่นใช้k = 3ถ้า= 37เพราะ999 = 27 × 37 )$k$$a$$10^k-1$$k=3$$a=37$$999 = 27 \times 37$

เพื่อจัดการกับค่านิยมของมีเพียงปัจจัยสำคัญอยู่ที่2และ5 ,$a$$2$$5$

โปรดทราบว่ามันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับจำนวน จำกัด ของตัวเลขในตอนท้าย

ที่จะพูดคุยกับค่าทั้งหมดของและข ,$a$$b$

ใช้ความจริงที่ว่าสหภาพและจุดตัดของภาษาปกติปกติที่ภาษา จำกัด เป็นปกติและที่หลายของ1 ⋅ 2จะตรงหลายรายการทั้งเมื่อ1และ2มี coprime$a_1 \cdot a_2$$a_1$$a_2$

โปรดทราบว่าเราใช้เทคนิคใดก็ได้ที่สะดวก เทคนิคเบื้องต้นทั้งสามหลัก (นิพจน์ทั่วไป, ขอบเขต จำกัด ออโตมาตะ, คุณสมบัติเซตเชิงทฤษฎี) ล้วนแสดงในการพิสูจน์นี้

หลักฐานรายละเอียด

ให้= 2 หน้า5 Q 'กับ' coprime กับ10 ให้M ′ = { ¯ a ′$a = 2^p 5^q a'$$a'$$10$x + b ∣x∈Z∧a′x + b ≥ 0 }และ M ″ = { ¯ 2 p 5 $M' = \{\overline{a'\,x+b} \mid x\in\mathbb{Z} \wedge a'\,x+b \ge 0\}$$M'' = \{\overline{2^p 5^q\,x+b} \mid x\in\mathbb{Z} \wedge 2^p 5^q\,x+b \ge 0\}$. By elementary arithmetic, the numbers equal to $b$ modulo $a$ are exactly the numbers equal to $b$ modulo $a'$ and to $b$ modulo $2^p5^q$, so $M \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\} = M' \cap M'' \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\}$. Since the intersection of regular languages is regular, and { ¯ x ∣ x ≥ b }เป็นประจำเพราะมันเป็นส่วนประกอบของภาษาที่ จำกัด (เพราะฉะนั้นปกติ) ภาษาถ้า m ′และ M ″ยังเป็นปกติแล้ว M ∩ { ¯ x ∣ x ≥ b }เป็นปกติ; และ Mจึงเป็นปกติเนื่องจากเป็นกลุ่มของภาษานั้นที่มีขอบเขต จำกัด ดังนั้นเพื่อสรุปหลักฐานมันพอเพียงที่จะพิสูจน์ว่า M ′และ M ″เป็นปกติ$\{\overline{x} \mid x \ge b\}$$M'$$M''$$M \cap \{\overline{x} \mid x \ge b\}$$M$$M'$$M''$

ขอให้เราเริ่มต้นด้วยM "ตัวเลขเช่นโมดูโล2 หน้า5 Q จำนวนเต็มมีทศนิยมขยายตัวอยู่ในเอ็ม"ที่โดดเด่นด้วยสุดท้ายของพวกเขาเมตรx ( P , Q )ตัวเลขตั้งแต่การเปลี่ยนแปลงตัวเลขอีกวิธีที่เหลือเพิ่มหลายของ10 เมตรx ( P , Q )ซึ่งมีหลาย2 หน้า5คิว ดังนั้น0 * M " = ℵ * Fที่$M''$$2^p 5^q$$M''$$\mathrm{max}(p,q)$$10^{\mathrm{max}(p,q)}$$2^p 5^q$$0^* M'' = \aleph^* F$ ℵเป็นตัวอักษรของตัวเลขทั้งหมดและ$\aleph$$F$เป็นชุด จำกัด ของคำที่มีความยาวm a x ( p , q )และM ″ = ( ℵ ∗ F ) ∩ ( ( ℵ ∖ { 0 } ) ℵ ∗ )เป็นปกติ ภาษา.$\mathrm{max}(p,q)$$M'' = (\aleph^* F) \cap ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$

ตอนนี้เราหันไปM 'ตัวเลขเช่นโมดูโล'ที่'เป็น coprime กับ10 หาก' = 1แล้วM 'เป็นชุดของการขยายทศนิยมของธรรมชาติทั้งหมดเช่นM ' = { 0 } ∪ ( ( ℵ ∖ { 0 } ) ℵ * )ซึ่งเป็นภาษาประจำ ตอนนี้เราคิด' > 1 ให้k = a ′$M'$$a'$$a'$$10$$a' = 1$$M'$$M' = \{0\} \cup ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$$a' > 1$1 โดยทฤษฎีบทเล็ก ๆ ของแฟร์มาต์ 10 $k = a'-1$' - 1 ≡1พอควร'ซึ่งก็คือการบอกว่า 'แบ่ง 10 k - 1 เราสร้างออโตเมติกอัน จำกัด ที่กำหนดได้ซึ่งจะรับรู้ 0 ∗ M ′ดังนี้:$10^{a'-1} \equiv 1 \mod a'$$a'$$10^k-1$$0^* M'$

• รัฐเป็น[ 0 , k - 1 ] × [ 0 , 10 k - 2 ] ส่วนแรกแสดงถึงตำแหน่งหลักและส่วนที่สองหมายถึงจำนวนโมดูโล10 k - 1$[0,k-1] \times [0,10^k-2]$$10^k-1$
• สถานะเริ่มต้นคือ ( 0 , 0 )$(0,0)$
• มีการเปลี่ยนชื่อdจาก( i , u )ถึง( j , v ) iff v $d$$(i,u)$$(j,v)$ d 10 i + uพอควร10 k - 1และ j ≡ i + $v \equiv d 10^i + u \mod 10^k-1$พอควรเค .$j \equiv i + 1 \mod k$
• รัฐ( ฉัน, U )เป็นที่สิ้นสุด IFF ยู≡ $(i,u)$พอควร' (ทราบว่า 'แบ่ง 10 k$u \equiv b \mod a'$$a'$ 1 )$10^k-1$

สถานะ( i , u )ถึงจากคำ¯ x เป็นไปตามความต้องการของฉัน≡ | ¯ $(i,u)$$\overline{x}$ |พอควรkและ$i \equiv |\overline{x}| \mod k$ ≡ xพอควร10 k - 1 สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยอุปนัยเหนือคำหลังจากการเปลี่ยนแปลงบนหุ่นยนต์ การเปลี่ยนจะถูกคำนวณสำหรับสิ่งนี้โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า 10 k$u \equiv x \mod 10^k-1$ 1พอควร10 k - 1 ดังนั้นหุ่นยนต์รับรู้การขยายทศนิยม (อนุญาตให้ศูนย์เริ่มต้น) ของตัวเลขของรูปแบบ u + y 10 kกับ u $10^k \equiv 1 \mod 10^k-1$$u + y 10^k$ขพอควรa ′ ; ตั้งแต่ 10 k$u \equiv b \mod a'$ 1พอควร'หุ่นยนต์ตระหนักถึงการขยายทศนิยมของตัวเลขเท่ากับ bโมดูโล 'ช่วยให้เลขเริ่มต้นซึ่งเป็น 0 * M ' ภาษานี้ได้รับการพิสูจน์แล้วเป็นปกติ ในที่สุด M ′ = ( 0 ∗ M ′ ) ∩ ( ( ℵ ∖ { 0 } ) ℵ ∗ )เป็นภาษาปกติ$10^k \equiv 1 \mod a'$$b$$a'$$0^* M'$$M' = (0^* M') \cap ((\aleph \setminus \{0\}) \aleph^*)$

ในการทำให้เป็นฐานทั่วไปที่ไม่ใช่10ให้แทนที่2และ5ข้างต้นด้วยปัจจัยสำคัญทั้งหมดของฐาน$10$$2$$5$

หลักฐานทางการ

Left as an exercise for the reader, in your favorite theorem prover.