อุปนัยเหนี่ยวนำคืออะไร?

อะไรคือสิ่งที่เหนี่ยวนำเหนี่ยวนำ ?

ทรัพยากรที่ฉันพบคือ:

• หนังสือ HoTTในตอนท้ายของบทที่ 5.7
• บทความของ nLab
• กระดาษที่เรียกว่าคำจำกัดความอุปนัย - อุปนัย
• โพสต์บล็อกนี้ยังกล่าวถึงประเภทอุปนัย - อุปนัย

การอ้างอิงสองรายการแรกสั้นเกินไปสำหรับฉันและการอ้างอิงสองรายการหลังเกินไปทางเทคนิค มีใครอธิบายได้บ้างในเทอมของคนธรรมดา? มันจะดีกว่าถ้ามีรหัส Agda

ภาคผนวก 2016-10-03:ฉันผสมการเหนี่ยวนำการเหนี่ยวนำและการเหนี่ยวนำซ้ำ (ไม่ใช่ครั้งแรกที่ฉันทำอย่างนั้น!) ฉันขอโทษสำหรับความยุ่งเหยิง ฉันอัพเดตคำตอบเพื่อให้ครอบคลุมทั้งสองข้อ

ฉันพบคำอธิบายในกระดาษของ Forsberg & Setzer ความจริงอันจำกัดความของคำจำกัดความอุปนัย - อุปนัยที่ส่องสว่าง

เหนี่ยวนำการเรียกซ้ำ

นิยามแบบอุปนัยแบบเรียกซ้ำคือสิ่งที่เรากำหนดประเภทและประเภทตระกูลพร้อมกันในวิธีพิเศษ:$A$$B : A \to \mathsf{Type}$

1. $A$หมายถึงประเภทอุปนัย
2. $B$จะถูกกำหนดโดยการเรียกซ้ำใน$A$
3. ขับเคลื่อนความหมายของอาจจะใช้B$A$$B$

หากไม่มีข้อกำหนดที่สามเราสามารถกำหนดแล้วแยกก่อน$A$$B$

นี่คือตัวอย่างของทารก กำหนดเหนี่ยวนำให้มีตัวสร้างต่อไปนี้:$A$

• $a : A$
• $\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

ตระกูลถูกกำหนดโดย$B$

• $B(a) = \mathtt{bool}$
• $B(\ell(x, f)) = \mathtt{nat}${}

ดังนั้นในคืออะไร ครั้งแรกของทั้งหมดที่เรามีองค์ประกอบเพราะการที่มีประเภทซึ่งถูกกำหนดให้เป็น{} ดังนั้นเราจึงสามารถรูปแบบสององค์ประกอบใหม่และใน ตอนนี้เรามีดังนั้นเราจึงสามารถสร้างทุกองค์ประกอบ และ เราสามารถทำเช่นนี้ต่อไป . ขั้นต่อไปจะเป็นเช่นนั้นตั้งแต่ $A$

$$a : A.$$ $B(a)$$\mathtt{bool}$ $$\ell(a, \mathtt{false})$$ $$\ell(a, \mathtt{true})$$ $A$$B(\ell(a, \mathtt{false})) = B(\ell(a, \mathtt{true})) = \mathtt{nat}$$n : \mathtt{nat}$ $$\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n) : A$$ $$\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n) : A$$ $$B(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n)) = \mathtt{nat}$$ มีสำหรับทุกองค์ประกอบ และองค์ประกอบ เราสามารถไปต่อได้ ความคิดเล็กน้อยเผยให้เห็นว่าเป็นรายการหมายเลขธรรมชาติจำนวนมากหรือน้อยกว่าสองชุดแบ่งปันรายการเปล่าทั่วไป ฉันจะปล่อยให้มันเป็นแบบฝึกหัดเพื่อหาสาเหตุ$m : \mathtt{nat}$ $$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n), m) : A$$ $$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n), m) : A$$ $A$

การเหนี่ยวนำการเหนี่ยวนำ

คำนิยามอุปนัยอุปนัยยังกำหนดประเภทและพร้อมครอบครัวประเภท :$A$$B : A \to \mathsf{Type}$

1. $A$ถูกกำหนดแบบเหนี่ยวนำ
2. $B$ถูกกำหนดแบบเหนี่ยวนำและอาจหมายถึง$A$
3. ขับเคลื่อน อาจจะหมายถึงB$A$$B$

เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องเข้าใจความแตกต่างระหว่างการเหนี่ยวนำซ้ำและการเหนี่ยวนำ ในการเหนี่ยวนำ-recursion เรากำหนดโดยการให้สมการในรูปแบบ ที่เป็นตัวสร้างสำหรับ ในการให้คำนิยามอุปนัยอุปนัยเรากำหนดโดยการให้การก่อสร้างสำหรับการขึ้นรูปองค์ประกอบของB$B$

$$B(\mathsf{c}(\ldots)) = \cdots$$ $\mathsf{c}(\ldots)$$A$$B$$B$

ให้เราปรับตัวอย่างก่อนหน้าของเราเป็นการเหนี่ยวนำ ก่อนอื่นเราได้รับ tpyeได้รับการเหนี่ยวนำ:$A$

• $a : A$
• $\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

ประเภทตระกูลถูกกำหนดโดยตัวสร้างต่อไปนี้:$B$

• $\mathsf{Tru} : B(a)$
• $\mathsf{Fal} : B(a)$
• ถ้าและดังนั้น$x : A$$y : B(x)$$\mathsf{Zer} : B(\ell(x,y))$
• ถ้าและและแล้วy))$x : A$$y : B(x)$$z : B(\ell(x,y))$$\mathsf{Suc}(z) : B(\ell(x,y))$

อย่างที่คุณเห็นเราได้สร้างกฎสำหรับการสร้างองค์ประกอบของซึ่งจำนวนที่บอกว่าคือ (isomoprhic ถึง) booleans และคือ (isomorphic ถึง) ตัวเลขธรรมชาติ .$B$$B(a)$$B(\ell(x,y))$