ตัดขั้นต่ำในกราฟเส้นกำกับน้ำหนักด้วยน้ำหนักเชิงลบ

ฉันพบปัญหาต่อไปนี้:

ให้กราฟไซโคลชีทที่มีน้ำหนักขอบมูลค่าจริงและสองจุดยอด s และ t คำนวณการตัดขั้นต่ำ

สำหรับกราฟทั่วไปนี่คือ NP-hard เนื่องจากหนึ่งสามารถลด max-cut ได้เล็กน้อยโดยเพียงแค่ย้อนกลับน้ำหนักขอบ (แก้ไขฉันถ้าฉันผิด)

สถานการณ์กับ DAG คืออะไร สามารถตัด min-cut (หรือ max-cut) ในเวลาพหุนามได้หรือไม่? มันเป็น NP-hard หรือไม่ถ้ามีมีขั้นตอนวิธีการประมาณที่รู้จักหรือไม่?

ฉันพยายามหางานทำ แต่ไม่สามารถ (บางทีฉันแค่ใช้คำหลักผิดในการค้นหาของฉัน) ดังนั้นฉันจึงหวังว่าจะมีคนรู้ (หรือค้นหา) บางอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้

— จอร์จ
แหล่งที่มา

สูตรการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นของ min-cut ไม่ตรงไหน?

— Peter Shor

(การใช้สัญลักษณ์จากen.wikipedia.org/wiki/… ): สำหรับขอบที่มีน้ำหนักเชิงลบ d_ {ij} อาจมีขนาดใหญ่โดยพลการ แม้ว่าหนึ่งขอบเขต d_ {ij} จากด้านบนมันจะใช้ค่าที่เป็นไปได้สูงสุดสำหรับขอบที่มีน้ำหนักเชิงลบเสมอ ดังนั้นการแก้ปัญหาของโปรแกรมดังกล่าวจะไม่ได้ผลที่ถูกต้องเสมอไป ฉันอาจผิดเพราะฉันไม่ค่อยประสบปัญหาเช่นนั้นโปรดแก้ไขให้ถูกต้อง โดยทั่วไปฉันต้องการทราบว่า max-cut (ที่มีน้ำหนักตามอำเภอใจ) สามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพสำหรับ DAG หรือไม่

— จอร์จ

ในการทำให้งานนี้คุณต้องเปลี่ยนความไม่เสมอภาคแรกเป็นความเสมอภาค:

d_{i j} = p_{j} - p_{i}

$d_{ij} = p_j - p_i$ . ฉันยังไม่เห็นสาเหตุที่มันล้มเหลว แต่บางทีฉันอาจพลาดบางสิ่ง ฉันไม่ได้คิดมาก

— Peter Shor

อาจเป็นฉันที่ขาดอะไรบางอย่างที่นี่ สิ่งนี้รับประกันได้หรือไม่

p_{i}

$p_i$ รับค่าอินทิกรัล? หนึ่งอาจผูกพัน

p_{i}

$p_i$ จากด้านบนด้วย 1 แต่ฉันไม่แน่ใจว่าใช้งานได้หรือไม่ ปัญหาน่าจะเป็นที่ว่าถ้าสิ่งนี้สามารถแก้ไขได้ใคร ๆ ก็สามารถลดค่า max-cut ได้ด้วยการกลับน้ำหนักของขอบซึ่งไม่ควรเป็นไปได้เนื่องจาก max-cut นั้นคือ NP-hard อย่างไรก็ตามฉันอาจจะผิดที่นี่

— จอร์จ

st max-cut NP-hard สำหรับ DAGs หรือไม่ หากกราฟไม่ใช่ DAG คุณไม่สามารถเปลี่ยนความไม่เสมอภาคนั้นเป็นความเสมอภาคได้เพราะคุณต้องการความไม่เท่าเทียมหากมีวัฏจักร ดังนั้นในกรณีทั่วไป LP ไม่ทำงานกับน้ำหนักเชิงลบ

— Peter Shor

คุณได้ทำให้ปัญหาของคุณดีขึ้นอีกในความคิดเห็น หากต้องการเฉพาะเจาะจงมากขึ้นคุณมี DAG ที่มีขอบทั้งหมดไหลออกมาจากแหล่งที่มา $s$ และไปยังอ่างล้างจาน $t$ (นั่นคือขอบทั้งหมดอยู่บนเส้นทางจาก $s$ ถึง $t$ ) คุณต้องการค้นหาการตัดขั้นต่ำระหว่าง DAG สองชิ้นที่เชื่อมต่อชิ้นแรก $s$ และครั้งที่สองเชื่อมต่อกับ $t$ . สำหรับปัญหานี้รูปแบบของอัลกอริทึมการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นมาตรฐานสำหรับ MIN-CUT ทำงานได้แม้จะมีน้ำหนักติดลบ

เราใช้สัญกรณ์เช่นเดียวกับในวิกิพีเดีย ค่าใช้จ่ายของขอบ $(i,j)$ คือ $c_{ij}$ . เราใส่ฟังก์ชั่นที่มีศักยภาพ $p_i$ บนแต่ละโหนดและปล่อยให้ $d_{ij} = p_i - p_j$ . LP คือ

\begin{aligned} ม. ผม n ผม ม. ผม Z อี & \underset{(ผม, J) \in E}{Σ} ค_{ผม J} d_{ผม J} \\ s ยู ข J อี ค เสื้อ เสื้อ โอ & d_{ผม J} = {พี}_{ผม} - {พี}_{J} \forall (ผม, J) \in E \\ d_{ผม J} \geq 0 \forall (ผม, J) \in E \\ {พี}_{s} = 1 \\ {พี}_{เสื้อ} = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{minimize\ } & \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} d_{ij} \\ \mathrm{subject\ to\ } & \ \ \ d_{ij} = p_i - p_j \ \ \forall (i,j) \in E \\ &\ \ \ d_{ij} \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \forall (i,j) \in E \\ & \ \ \ p_s\, = 1 \\ & \ \ \ p_t \, = 0 \end{align*}$

สมการเหล่านี้รับประกันได้ว่า $0 \leq p_i \leq 1$ เนื่องจากทุกจุดสุดยอดอยู่ในบางส่วน $s$ - $t$ เส้นทาง. ในทำนองเดียวกันตั้งแต่ $d_{ij} = p_i - p_j$ ไม่ใช่เชิงลบศักยภาพบนเส้นทางใดก็ได้ $s$ ถึง $t$ กำลังลดลง เรายังต้องแสดงให้เห็นว่ามีทางออกที่ดีที่สุดสำหรับ LP ด้วยทั้งหมด $p_i$ ทั้ง $0$ หรือ $1$ . สิ่งนี้ตามมาจากความจริงที่ว่ามูลค่าของโซลูชันของ LP ด้านบนเป็นค่าที่คาดหวังของการตัด $C_w$ ที่ไหน $w$ ถูกเลือกแบบสุ่มใน $[0,1]$ และสถานที่ที่ถูกตัด $C_w$ ได้มาจากการใส่ทุกจุด $i$ กับ $p_i\geq w$ ในชุดแรกของจุดยอดและจุดยอดทั้งหมดด้วย $p_i < w$ ในชุดที่สอง

— ปีเตอร์แคระ
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ยอดเยี่ยมของคุณปีเตอร์ มันไม่ชัดเจนตั้งแต่แรกเห็นว่า

0 \leq p_{i} l e q 1

$0 \leq p_i leq 1$ แต่ฉันคิดว่าฉันเข้าใจแล้ว อย่างไรก็ตามฉันมีปัญหาในการเข้าใจข้อโต้แย้งเกี่ยวกับการแก้ปัญหาสำคัญ

— จอร์จ

@ George: มันเป็นอาร์กิวเมนต์เดียวกับที่แสดงให้เห็นว่า Min-Cut LP ปกติมีโซลูชั่นที่ครบถ้วน ควรมีคำอธิบายที่ยาวและเข้าใจง่ายกว่าทางออนไลน์

— Peter Shor

ตกลงฉันจะค้นหามัน ขอบคุณอีกครั้งสำหรับความช่วยเหลือของคุณ!

— จอร์จ