เงื่อนไขสำหรับกราฟสองส่วนที่จะเป็นภาพถ่ายโดยไม่มีขอบล้อมรอบจุดยอด

กราฟสองส่วนคือระนาบถ้ามันไม่มีหรือผู้เยาว์$K_{3, 3}$$K_5$

ฉันกำลังมองหาเงื่อนไขที่จำเป็นหรือมีเงื่อนไขเพียงพอที่จะอนุญาตให้วาดแบบแนวระนาบที่ไม่มีขอบ ภาพวาดเหล่านี้เป็นที่น่าพอใจ:

1. จุดยอดทั้งหมดของส่วนหนึ่งถูกวาดบนเส้นแนวตั้งเดี่ยว จุดยอดของส่วนอื่น ๆ จะถูกวาดบนเส้นแนวตั้งแบบขนาน
2. ขอบไม่ตัดยกเว้นที่จุดยอด
3. ขอบทั้งหมดอยู่ในแถบไม่มีที่สิ้นสุดระหว่างเส้นแนวตั้งสองเส้นในจุดที่ 1

ตัวอย่างเช่นภาพวาดทั้งหมดที่นี่ยกเว้นด้านล่างขวาไม่ใช่ตัวอย่าง กราฟด้านล่างซ้ายสามารถวาดใหม่เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขโดยการเปลี่ยนตำแหน่งของ Q และ R กราฟสองตัวที่ติดอันดับไม่สามารถถูกวาดใหม่เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข

กราฟสองอันดับแรกเป็นเพียงสิ่งกีดขวางที่ฉันหาได้ คำถามของฉันคือ:

1. ปัญหานี้มีชื่อหรือไม่?
2. มีสิ่งกีดขวางอื่น ๆ ที่ฉันพลาดไปไหม
3. คำแนะนำใด ๆ เกี่ยวกับวิธีที่ฉันสามารถพิสูจน์ได้ว่าสิ่งกีดขวางทั้งสองนี้ (รวมถึงสิ่งที่ฉันพลาด) ในฐานะผู้เยาว์มีความจำเป็นและเพียงพอ

โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่สิ่งเดียวกับการอยู่ด้านนอกระนาบ,เป็นระนาบด้านนอก (สามารถวาดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส) แต่ไม่สามารถวาดได้เพื่อตอบสนองเงื่อนไขที่ฉันกล่าวถึงข้างต้น$K_{2, 2}$

กราฟของคุณจะตรงกราฟของเส้นทางที่มีความกว้าง หรือเท่ากันป่าแต่ละที่มีส่วนประกอบเป็นหนอน หนอนผีเสื้อมีสองลักษณะที่เกี่ยวข้อง:$1$

• พวกเขากำลังต้นไม้ที่มีเป็นเส้นทางเดียวที่มีจุดสุดยอดของการศึกษาระดับปริญญาทุกมากกว่า  ;$1$

• พวกเขาเป็นต้นไม้ที่ทุก ๆ จุดสุดยอดมีเพื่อนบ้านที่ไม่ใช่ใบไม้มากที่สุดสองคน

บทแทรก 1.หนอนทุกตัวอยู่ในชั้นเรียนของคุณ

พิสูจน์ ให้เป็นด้วงและปล่อยให้เป็นเส้นทางที่ยาวที่สุดที่มีจุดยอดทุกองศา หรือมากกว่านั้น โปรดทราบว่าโดย maximality, 1 เราสามารถผลิตภาพวาดของ เป็นครั้งแรกโดยการวาดภาพ เป็นซิกแซกและจากนั้นการเพิ่มคุณวุฒิปริญญาจุดที่อยู่ติดกับ ระหว่างและ 1} $G$$P=x_1\dots x_\ell$$2$$d(x_1)=d(x_\ell)=1$$G$$P$$1$$x_i$$x_{i-1}$$x_{i+1}$$\Box$

บทที่ 2กราฟทุกในชั้นเรียนของคุณเป็นแบบวนรอบ$G$

พิสูจน์ สมมติว่ามีรอบและสมมติว่ามันมีรูปวาดของแบบฟอร์มที่ต้องการ WLOG,  อยู่เหนือ  x_1แต่เราต้องมีมากกว่า ตั้งแต่มิฉะนั้นบรรทัดและ จะข้าม โดยการเหนี่ยวนำ  อยู่เหนือ สำหรับทุกและเช่นเดียวกันสำหรับ  's แต่แล้วทุกบรรทัด$G$$x_1y_1x_2y_2\dots x_ky_kx_1$$x_2$$x_1$$y_2$$y_1$$x_1y_1$$x_2y_2$$x_{i+1}$$x_i$$i\in\{1, \dots, k-1\}$$y$$y_kx_1$จะต้องออกจากพื้นที่ระหว่างสองคอลัมน์ของจุดยอดหรือข้ามขอบอื่น ๆ ในรอบ สิ่งนี้ขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่ากราฟมีรูปวาดที่เหมาะสม $\Box$

บทที่ 3ทุกคนที่ไม่ได้เชื่อมต่อกันไม่ได้อยู่ในชั้นเรียน

พิสูจน์ ให้เป็นกราฟที่เชื่อมต่อซึ่งไม่ใช่หนอนผีเสื้อ หากมันมีวัฏจักรอยู่มันไม่ได้อยู่ในชั้นเรียนของคุณโดยเล็มม่า ดังนั้นเราอาจสันนิษฐานว่ามันเป็นต้นไม้ ถ้ามันไม่ได้เป็นหนอนมันต้องมีจุดสุดยอด กับเพื่อนบ้านที่แตกต่างกัน ,และ แต่ละที่มีปริญญาอย่างน้อย   2$G$$2$$x$$y_1$$y_2$$y_3$$2$

สมมติว่าเรามีรูปวาดของ พร้อมกับคุณสมบัติที่ต้องการ WLOG,  อยู่เหนือ และ  อยู่เหนือ  y_2ให้เป็นเพื่อนบ้านของ  y_2ขอบ ต้องข้ามหรือ ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานของเราว่ากราฟมีรูปวาดของแบบฟอร์มที่ต้องการ $G$$y_2$$y_1$$y_3$$y_2$$z\neq x$$y_2$$y_2z$$xy_1$$xy_3$$\Box$

ทฤษฎีบท. กราฟระดับของคุณนั้นเป็นระดับของป่าอย่างสมบูรณ์ซึ่งแต่ละองค์ประกอบนั้นเป็นหนอนผีเสื้อ

พิสูจน์ ให้เป็นกราฟ เห็นได้ชัดว่า  อยู่ในชั้นเรียนของคุณถ้าและถ้าทุกองค์ประกอบคือ: หากองค์ประกอบใดไม่สามารถวาดได้ตามต้องการกราฟทั้งหมดไม่สามารถ; ถ้าทุกองค์ประกอบสามารถวาดได้ตามต้องการกราฟทั้งหมดสามารถถูกวาดได้โดยการจัดเรียงองค์ประกอบหนึ่งที่อยู่เหนืออีกองค์ประกอบหนึ่ง ผลที่ได้ในขณะนี้ตามด้วย lemmasและ  3 $G$$G$$1$$3$$\Box$

ควันหลง คลาสของกราฟของคุณคือคลาสของกราฟที่ไม่มีหรือส่วนย่อยของ ในระดับรอง$K_3$$K_{1,3}$

พิสูจน์ เหล่านี้เป็นสิ่งกีดขวางเส้นทางที่มีความกว้าง $1$ 1 $\Box$

สิ่งเหล่านี้เป็นสิ่งกีดขวางที่คุณพบ: คุณต้องการมากกว่าเพราะสิ่งหลังนี้จะยอมรับในชั้นเรียน ส่วนย่อยของเป็นสิ่งกีดขวางที่สองของคุณ$K_3$$K_4$$K_3$$K_{1,3}$

ดังนั้นคำตอบต่อไปนี้คือสิ่งที่ฉันคิดขึ้นมา:

ดังที่คุณได้กล่าวไปแล้วมีเพียงสองกรณีเท่านั้นที่ไม่สามารถจัดเรียงใหม่ได้

กรณีที่สองคือไม่ได้เป็นตัวแทนที่ถูกต้องถ้าเราสมมติฝ่ายกราฟตั้งแต่วิกิพีเดียกำหนดฝ่ายกราฟเป็น: ขอบทุกเชื่อมต่อจุดสุดยอดในให้เป็นหนึ่งในV$U$$V$

แก้ไข: ฉันอ่านกราฟผิดขออภัยสำหรับสิ่งนั้น

สิ่งนี้ทำให้เรามี subgraph ที่สมบูรณ์ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่คุณต้องการหลีกเลี่ยง ตรงกันข้ามเงื่อนไขที่เพียงพอคือกราฟสองฝ่ายของคุณไม่มีกราฟย่อยสมบูรณ์ภายในตัวเอง$K_{2,2}$

เพื่อพิสูจน์ว่ากราฟย่อยอื่น ๆ นั้นถูกต้องคุณสามารถจินตนาการได้ดังนี้:

ครั้งแรกที่เราคิดว่าเรามีขอบและไม่เริ่มต้นด้วยขอบพลอีด้วยการเพิ่มขอบต่อไปเรามีสามกรณีที่เป็นไปได้:$e$

กรณีแรกคือเรามีโหนดที่ไม่เริ่มหรือสิ้นสุดที่โหนดเดียวกันกับขอบแรก สิ่งนี้ทำให้เราไม่มีปัญหาใด ๆ และเราสามารถแทรกต่อไปได้

กรณีที่สองคือเรามีขอบซึ่งในทางของมัน - ข้ามอีกขอบที่มีอยู่แล้ว ในกรณีนี้เราต้องสลับจุดสุดยอด$V_1$ หรือ $V_2$ (อันที่มีขอบที่มีอยู่แล้ว) กับหนึ่งในขอบใหม่ $V_3$ หรือ $V_4$เช่นว่าเราจะปฏิบัติตามเงื่อนไขต่อไป

นี่ถือว่าเราไม่มีขอบเริ่มต้นหรือสิ้นสุดที่โหนดเพื่อสลับซึ่งทำให้เราไปที่กรณีที่สามต่อไปนี้: หลังจากสลับหนึ่งในสี่จุดยอด $V1-V4$เราต้องติดตามการเชื่อมต่ออื่น ๆ ทั้งหมดจาก Vertex ที่เปลี่ยน

อีกครั้งที่เราสามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้เพียงสามวิธี: ไม่ว่าเราจะติดตามการเชื่อมต่อที่สิ้นสุดหรือทำซ้ำขั้นตอนที่เราทำไปก่อนหน้านี้ (ติดตามขั้นตอนที่เหลือทั้งหมด) หากเราสิ้นสุดบนโหนดสิ้นสุดเราสามารถสลับโหนดที่ติดตามได้ทั้งหมด

กรณีที่เป็นไปได้ครั้งสุดท้ายจะนำไปสู่โหนดที่เราได้เยี่ยมชมแล้วซึ่งจะทำให้เรามีกราฟย่อยสมบูรณ์ซึ่งเราสามารถลดให้ถึง $K_{2,2}$ เงื่อนไข.

แก้ไข: เพื่อขยายหลักฐานนี้ไปยังกรณีที่สองเราต้องดูเงื่อนไขต่อไปนี้:

โดยทั่วไปหากเรามีกราฟย่อยที่มีฮับอย่างน้อยหนึ่งตัว (การเชื่อมต่อ 3 ตัวขึ้นไป) แสดงว่า "ค่อนข้างง่าย"

เราไม่สามารถจัดเรียงใหม่ถ้าเรามีกรณีที่แสดงกับเพื่อนบ้านมากกว่าสองคนที่มีระดับสูงกว่าหนึ่ง ($\langle k\rangle > 1$) นี่เป็นสิ่งสำคัญเพราะมันให้ความรู้เกี่ยวกับเพื่อนบ้านต่อไป เราไม่จำเป็นต้องติดตามพวกเขาอีกต่อไปเพื่อหลีกเลี่ยงวงกลมใด ๆ (เช่นกรณีแรก) แต่ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบเพื่อนบ้านได้ทันที

เนื่องจากตัวฉันเองมีความรู้เพียงเล็กน้อยในเรื่องนี้ แต่ยังต้องการที่จะให้คำตอบที่เป็นไปได้แก่คุณฉันจึงเชื่อมโยงบทความที่เหมาะสม (หวังว่า)

หากใครจะตั้งชื่อปัญหานี้ฉันจะสนใจที่จะเรียนรู้โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อฉันมากับวิธีการแก้ปัญหานี้โดยเฉพาะการติดตามความคิดจากทฤษฎีบทของFáryและภาคีย่อยสองฝ่าย