วิธีแบ่งพาร์ติชั่นให้เป็นเซตย่อยของ disjoint ที่กำหนดภายใต้เงื่อนไขบางประการ?

ฉันกำลังได้รับชุด , จำนวนเต็มและ integers เชิงลบa_ {IJ} ปัญหาของฉันคือการหาsเคล็ดย่อยS_jของ\ {1 \ ldots, k \}ดังกล่าวว่า:$A\triangleq\{1,\ldots,k\}$$s\leqslant k$$a_{ij}$$s$$S_j$$\{1,\ldots,k\}$

1. $\bigcup_{j=1}^s S_j=A$ ; และ
2. $|S_j|\leqslant a_{ij}$สำหรับ$i\in S_j$และ$j=1,\ldots,s$ทั้งหมด

วิธีแก้ปัญหานี้ มันยากที่จะหาทางออกที่เป็นไปได้?

ฉันคิดว่ามันไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะแก้ปัญหาเพราะฉันลองใช้ขั้นตอนบางอย่างที่เริ่มต้นด้วย$j\in\{1,\ldots,n\}$และมอบหมาย$i\in\{1,\ldots,k\}$จนกระทั่งจำนวน จาก$i$มอบหมายให้$j$มากกว่า$a_{ij}$สำหรับบางคนที่$i$ได้รับมอบหมาย แต่สิ่งนี้ไม่ถูกต้องเพราะฉันเหลือบาง$i$ที่ไม่สามารถมอบหมายให้jใด ๆ$j$(เพราะa_ {ij}ของพวกเขา$a_{ij}$ซึ่งไม่พอใจ)

วิธีเดรัจฉานบังคับเมื่อฉันต้องสร้างเซตย่อยทั้งหมดของ$A$และทดสอบแต่ละอันทำงานให้ฉัน ( $k=8,n=3$ ) แต่ไม่มีประสิทธิภาพมาก

ปัญหานี้เกิดจาก NP-hard โดยการลดจาก Vertex Cover

ในปัญหา Vertex Cover, เราจะได้รับกราฟและจำนวนและงานของเราคือการตรวจสอบว่ามีบางเซตของที่มากที่สุดจุดจากเช่นที่ขอบในทุกเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น อย่างน้อยหนึ่งจุดสุดยอดในU(เทียบเท่า: เป็นไปได้ไหมที่จะฆ่าทุก ๆ ขอบในโดยการลบที่จุดยอดที่สุด?)$G = (V, E)$$r$$U$$r$$V$$E$$U$$G$$r$

ครั้งแรกแบ่งเข้าไปย่อยเคลื่อนเทียบเท่ากับการกำหนดแต่ละองค์ประกอบในว่าหนึ่งในป้ายที่เป็นไปได้ แนวคิดพื้นฐานของการลดคือการสร้างฉลากสำหรับแต่ละจุดสุดยอดในและเพื่อ "อนุญาต" แต่ละขอบจะได้รับมอบหมายเพียงหนึ่งในสองป้ายที่สอดคล้องกับจุดสิ้นสุดของมันในแง่ต่อไปนี้: การกำหนดขอบที่สอดคล้องกัน ฉลากไม่มีข้อ จำกัด (ของแท้) ในสิ่งที่ขอบอื่น ๆ สามารถกำหนดป้ายชื่อเดียวกันได้ในขณะที่การกำหนดขอบให้กับฉลากที่ไม่สอดคล้องกันจะช่วยป้องกันขอบอื่น ๆ ที่ได้รับมอบหมายฉลากเดียวกัน - ซึ่งแน่นอนว่ามีผลในการเพิ่มจำนวน ต้องการฉลากที่แตกต่าง$A$$s$$A$$s$$S_j$$v_j$$V$

ในการสร้างอินสแตนซ์ปัญหาของคุณจากอินสแตนซ์ของ Vertex Cover:$(A, a, s)$$(G, r)$

1. ตั้งค่าเป็นและสร้างองค์ประกอบในสำหรับแต่ละขอบในE(คู่เหล่านี้สามารถคิดเป็นจำนวนเต็ม ; bijection ใด ๆ ระหว่างพวกเขาจะทำ.)$k$$|E|$$(i, j)$$A$$v_iv_j$$E$$1, \dots, k$
2. ตั้งค่าเป็นถ้าหรือ ; มิฉะนั้นให้ตั้งค่าเป็น 1$a_{(b, c), d}$$|E|$$d=b$$d=c$$a_{(b, c), d}$
3. ชุด r$s=r$

ถ้าเป็น YES อินสแตนซ์ของเวอร์เท็กซ์ปกแล้วมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าอินสแตนซ์ที่เพิ่งสร้างขึ้นของปัญหาของคุณยังเป็น YES อินสแตนซ์: เพียงแค่เลือกป้ายสอดคล้องกับจุดในการแก้ปัญหาใด ๆและสำหรับแต่ละขอบกำหนดองค์ประกอบที่สอดคล้องกันไม่ว่าจะเลือกหนึ่งในป้ายกำกับหรือ (เลือกโดยพลการถ้าเลือกป้ายกำกับทั้งสอง) โซลูชันนี้ใช้ชุดย่อยและใช้ได้เนื่องจากใช้บังคับเท่านั้นคือชุดที่สอดคล้องกัน$(G, r)$$S_j$$v_j$$U$$v_bv_c \in E$$(b, c) \in A$$S_b$$S_c$$s$$a_{ij}$ป้ายกำกับซึ่งมีผล (ไม่ใช่) ในการป้องกันมากกว่าขอบถูกกำหนดฉลากเดียวกัน$|E|$

มันยังคงแสดงให้เห็นว่า YES-instanceของปัญหาของคุณหมายความว่าต้นฉบับเป็นอินสแตนซ์ YES ของ Vertex Cover นี้จะมากกว่าเล็กน้อยซับซ้อนเนื่องจากวิธีการแก้ปัญหาที่ถูกต้องไปอาจกำหนดในทั่วไปขอบไม่ใช่ป้าย -correspondingคือหมายความว่าเราไม่สามารถ จำเป็นต้อง "อ่านออก" จุดสุดยอดที่ถูกต้องปกจากวิธีการแก้ปัญหาที่ถูกต้องY$X=(A, a, s)$$(G, r)$$Y$$X$$(i, j)$ m ∉ { i , j } U $S_m$$m \notin \{i, j\}$$U$$Y$

อย่างไรก็ตามการกำหนดฉลากที่ไม่สอดคล้องกันนั้นมีค่าใช้จ่ายสูงที่ จำกัด โครงสร้างของโซลูชันอย่างรุนแรง: เมื่อใดก็ตามที่ขอบถูกกำหนดเช่นป้ายกำกับด้วย , ความจริง ที่ทำให้มั่นใจได้ว่าจะต้องเป็นขอบเดียวที่กำหนดป้ายกำกับนี้ ดังนั้นในโซลูชันใด ๆที่ประกอบด้วยขอบที่ไม่มีป้ายกำกับเราสามารถสร้างโซลูชันทางเลือกดังนี้:S m m ∉ { i , j } a ( i , j ) , m = 1 Y ( i , j ) ↦ S m Y $(i, j)$$S_m$$m \notin \{i, j\}$$a_{(i, j), m} = 1$$Y$$(i, j) \mapsto S_m$$Y'$

1. โดยพลการเลือกป้ายกำกับใหม่สำหรับที่จะเป็นได้ทั้งหรือS_j ( i , j ) S i S $S_z$$(i, j)$$S_i$$S_j$
2. กำหนดป้ายกำกับใหม่นี้ หากสิ่งนี้ส่งผลให้เกิดโซลูชันที่ไม่ถูกต้องจะต้องเป็นเพราะขอบอื่น ๆ ,ได้รับการกำหนดฉลากแล้ว ในกรณีนั้นให้ตั้งค่าและไปที่ขั้นตอนที่ 1( i ′ , j ′ ) z ∉ { i ′ , j ′ } S z ( i , j ) = ( i ′ , j ′$(i, j)$$(i', j')$$z \notin \{i', j'\}$$S_z$$(i, j) = (i', j')$

อัลกอริทึมด้านบนจะต้องยุติด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งจากสองวิธี: ไม่ว่าจะเป็นฉลากใหม่ที่แนะนำว่าไม่ขัดแย้งหรือพบวัฏจักรของจุดยอดสมบูรณ์ ในกรณีก่อนหน้านี้พบโซลูชันใหม่ที่ถูกต้องพร้อมในขณะที่ในกรณีหลังพบโซลูชันใหม่ที่ถูกต้องพร้อมชุดทั้งทางเราได้สร้างโซลูชั่นใหม่ที่ถูกต้องมีอย่างน้อยหนึ่งขอบมอบหมายให้สอดคล้องฉลาก หลังจากทำซ้ำกระบวนการทั้งหมดนี้อย่างมากที่สุดครั้งที่เราจะได้มีการผลิตวิธีการแก้ปัญหาที่ถูกต้องซึ่งวิธีการแก้ปัญหา Vertex ปกเดิมสามารถจะอ่านออก$S_z$$s-1$$s$$|E|$$Y''$

การก่อสร้างนี้เป็นเวลาพหุนามอย่างชัดเจนดังนั้นจึงเป็นไปตามปัญหาของคุณคือ NP-hard