พิสูจน์ความลังเลของปัญหาการหยุดชะงัก

ฉันมีปัญหาในการทำความเข้าใจการพิสูจน์ความลังเลของปัญหาการหยุดชะงัก

หากผลตอบแทนไม่ว่าจะเป็นโปรแกรมหรือไม่หยุดกับการป้อนข้อมูลขทำไมเราต้องผ่านรหัสของPสำหรับทั้งและข ?$H(a,b)$$a$$b$$P$$a$$b$

ทำไมเราไม่ป้อนด้วยPและป้อนข้อมูลโดยพลการพูดx ?$H()$$P$$x$

หลักฐานมีวัตถุประสงค์เพื่อค้นหาความขัดแย้ง คุณต้องเข้าใจว่าความขัดแย้งที่ได้มาคืออะไรเพื่อที่จะเข้าใจว่าเหตุใดจึงถูกใช้เป็นอินพุตสำหรับตัวมันเอง ความขัดแย้งคือไม่เป็นทางการ: หากเรามีเครื่อง H (a, b) ที่ตัดสินใจว่า "a accepts b" เราสามารถสร้างเครื่องที่ยอมรับเครื่องที่ไม่ยอมรับตัวเอง (อ่านสองสามครั้งจนกว่าคุณจะรับมัน) เครื่องที่แสดงในภาพ - เรียกมันว่าM - M ( P ) =ทำ$P$$M$$M(P) =$$P$ไม่ยอมรับ ?$\langle P \rangle$

ความขัดแย้งเกิดขึ้นเมื่อคุณถามว่า: ทำ$M$ยอมรับหรือไม่ พยายามหาทางเลือกสองทางเพื่อดูว่ามีความขัดแย้งอย่างไร$\langle M \rangle$

ยอมรับ ⟨ M ⟩ถ้าหาก Mเท่านั้น$M$$\langle M \rangle$$M$ไม่ยอมรับ ; นี่เป็นสิ่งที่ขัดแย้งกันอย่างชัดเจน$\langle M \rangle$

นี่คือเหตุผลที่มันเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการพิสูจน์การเรียกใช้ บนตัวเองไม่ใช่อินพุตโดยพลการ นี่เป็นรูปแบบทั่วไปในการพิสูจน์ความเป็นไปไม่ได้ที่รู้จักกันในชื่ออาร์กิวเมนต์แนวทแยง$P$

ไม่ต้องสนใจภาพสักครู่ เราจะไปถึงในไม่ช้า โปรแกรมควรจะเป็นผู้ทดสอบหยุด: เมื่อเราให้Hการป้อนข้อมูลของโปรแกรมการ(คิดเป็นรายชื่อของโปรแกรม) และสิ่งที่ทุกสำหรับข , H ( , B )ทำหน้าที่ดังต่อไปนี้$H(a, b)$$H$$a$$a$$b$$H(a, b)$

1. หากโปรแกรมที่แสดงโดยหยุดเมื่อได้รับขเป็น input H ( , ข)จะตอบว่า "ใช่" ในทางกลับกันหากโปรแกรมที่อธิบายโดยการรันตลอดไปเมื่อได้รับอินพุตbดังนั้นH ( a , b )จะตอบว่า "ไม่"$a$$b$$H(a, b)$$a$$b$$H(a, b)$
2. ที่สำคัญโปรแกรมมักจะหยุดและให้คำตอบที่ถูกต้องสำหรับการใด ๆคู่( , B )$H$$(a, b)$

อาร์กิวเมนต์ที่เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างนั้นขึ้นอยู่กับการกระทำของโปรแกรม "วิปริต" โดยเฉพาะคือPซึ่งใช้Hเป็นรูทีนย่อย Pรับอินพุตเป็นรายการของโปรแกรมใด ๆ , $H$$P$$H$$P$$x$และทำสิ่งต่อไปนี้:

P(x) =
  run H(x, x)
  if H(x, x) answers "yes"
      loop forever
  else
      halt

ไม่ยากที่จะเห็นว่า

จะหยุดถ้าหากโปรแกรม$P(x)$$x$จะทำงานตลอดไปเมื่อได้รับคำอธิบายเป็นอินพุต

จนถึงตอนนี้ดีมาก: จะเป็นโปรแกรมตราบใดที่รูทีนย่อย$P$$H$เป็นโปรแกรม

ตอนนี้กลับไปที่รูปภาพ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าให้คำอธิบายเป็นอินพุต? ภาพอธิบายเพียงสถานการณ์นั้น: ให้pเป็นคำอธิบายของโปรแกรม$P$$p$$P$จากนั้นแทนลงในส่วนที่ไฮไลต์ด้านบนเราจะได้

จะหยุดถ้าหากโปรแกรม P ( p )จะทำงานตลอดไป$P(p)$$P(p)$

เห็นได้ชัดว่าพฤติกรรมขัดแย้งนี้เป็นไปไม่ได้ดังนั้นเราจึงถูกบังคับให้ข้อสรุปว่า subroutine ไม่สามารถเป็นผู้ทดสอบหยุดชะงักเพราะมันล้มเหลวในกรณีหนึ่งที่มันได้รับ( P , P )เป็น input อาจมีบางกรณีที่Hทำงานได้อย่างที่ควรจะเป็น แต่เนื่องจากHล้มเหลวในสถานการณ์อย่างน้อยหนึ่งสถานการณ์จึงไม่สามารถหยุดการทดสอบได้อย่างสมบูรณ์ตามที่ต้องการ$H$$(p, p)$$H$$H$

ลองพิสูจน์ให้ดีกว่าด้วยภาพเคลื่อนไหว และเนื่องจากคำตอบควรมีมากกว่าลิงค์ไปยังเว็บไซต์นี่คือคำตอบสำหรับคำถามของคุณ

อันดับแรกให้เราจำได้ว่าหลักฐานการไม่มีอยู่ของออราเคิล Halting ทำงานอย่างไร เราพิสูจน์ให้เห็นว่าผู้สมัครใด ๆHสำหรับออราเคิล Halting มีโปรแกรมPและอินพุตaที่Hล้มเหลวในการทำนายสิ่งที่ถูกต้องP(a)ทำ

ทฤษฎีบท:ปล่อยให้Hเป็นโปรแกรมใด ๆ ที่รับสองอินพุตและคืนค่าอย่างใดอย่างหนึ่งhaltหรือloopเสมอ จากนั้นจะมีโปรแกรมQและอินพุตaที่Q(a)หยุดถ้าและถ้าH(Q,a)กลับloopมา

พิสูจน์ พิจารณาโปรแกรม

program P(y):
  if H(y,y) = halt then
    loop forever
  else:
    return

ขอและQ = P a = Pอย่างใดอย่างหนึ่งH(Q,a) = haltหรือH(Q,a) = loop:

• ถ้าH(Q,a) = haltแล้วQ(a)(ซึ่งเป็นเพียงP(P)) Pวิ่งตลอดไปโดยความหมายของ
• ถ้าH(Q,a) = loopแล้วQ(a)หยุดโดย definitoin Pของ

QED

คุณถามว่าทำไมเราพิจารณาH(P,P)แทนสำหรับบางคนอื่น ๆH(P,X) Xคำตอบที่ชัดเจนคือ "เพราะH(P,P)สิ่งที่ทำให้การพิสูจน์"! หากคุณใช้H(P,X)โดยพลการXคุณจะติดขัด แน่นอนหลักฐานจะมีลักษณะเช่นนี้:

หลักฐานหัก พิจารณาโปรแกรม

program P(y):
  if H(y,y) = halt then
    loop forever
  else:
    return

ให้Q = Pและสำหรับพลบางส่วนa = X Xอย่างใดอย่างหนึ่งH(Q,X) = haltหรือH(Q,X) = loop:

• สมมติว่าH(Q,X) = haltเราไม่สามารถบอกได้ว่าP(X)ทำอะไรเพราะไม่ว่าจะP(X)หยุดพักขึ้นอยู่กับสิ่งที่H(X,X)ส่งคืน เราติดอยู่ อย่างไรก็ตามหากเรารู้P(X)และX(X)เป็นเช่นเดียวกันเราสามารถสร้างความก้าวหน้าได้ (ดังนั้นเราควรจะใช้จริงๆX = P)
• ถ้าแล้วเราจะติดอยู่อีกครั้งและเราจะพังถ้าH(Q,a) = loopX = P

ไม่มี QED

ฉันหวังว่าสิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเราต้องพิจารณาH(P,P)เพื่อให้ความคิดของเราทำงานได้

The upshot of the proof is this analogy:

If a person $P$ claims s/he$_{(P)}$ can recognize the sentiment of every person $P^{\prime}$ when s/he$_{(P^{\prime})}$ sees something, then ask the claimant $P$ to emulate the opposite of that sentiment in everyone s/he$_{(P)}$ sees. And then put her/him$_{(P)}$ in front of a mirror. S/he$_{(P)}$ will just not know what sentiment to express. 🙂

The subscripts $_{(P)}$ and $_{(P^{\prime})}$ are used to disambiguate the pronouns.