ทำไมไม่มีอัลกอริธึมประมาณสำหรับ SAT และปัญหาการตัดสินใจอื่น ๆ

ฉันมีปัญหาในการตัดสินใจ NP-complete จากตัวอย่างของปัญหาฉันต้องการออกแบบอัลกอริทึมที่ให้ผลลัพธ์ YES ถ้าปัญหาเป็นไปได้และไม่เช่นนั้น (แน่นอนว่าหากอัลกอริทึมไม่เหมาะสมจะทำให้เกิดข้อผิดพลาด)

ฉันไม่พบอัลกอริทึมการประมาณค่าใด ๆ สำหรับปัญหาดังกล่าว ฉันกำลังมองหา SAT โดยเฉพาะและฉันพบในหน้า Wikipedia เกี่ยวกับอัลกอริทึมการประมาณค่าต่อไปนี้: ข้อ จำกัด อีกประการของวิธีการคือใช้กับปัญหาการปรับให้เหมาะสมเท่านั้นและไม่ใช่ปัญหาการตัดสินใจที่ "บริสุทธิ์" อย่างพอใจ .

ยกตัวอย่างเช่นทำไมเราไม่กำหนดอัตราส่วนการประมาณให้เป็นสัดส่วนกับจำนวนข้อผิดพลาดที่อัลกอริทึมทำ เราจะแก้ปัญหาการตัดสินใจอย่างแท้จริงได้อย่างไรด้วยความโลภและวิธีย่อยที่เหมาะสมที่สุด?

อัลกอริธึมการประมาณนั้นใช้สำหรับปัญหาการปรับให้เหมาะสมเท่านั้นไม่ใช่สำหรับปัญหาการตัดสินใจ

ทำไมเราไม่กำหนดอัตราส่วนการประมาณให้เป็นเศษส่วนของความผิดพลาดที่อัลกอริทึมทำเมื่อพยายามแก้ปัญหาการตัดสินใจ เนื่องจาก "อัตราส่วนการประมาณ" เป็นคำที่มีความหมายมาตรฐานที่กำหนดไว้อย่างดีคำหนึ่งที่หมายถึงอย่างอื่นและมันอาจสร้างความสับสนให้ใช้คำเดียวกันสำหรับสองสิ่งที่แตกต่างกัน

ตกลงเราสามารถกำหนดอัตราส่วนอื่น ๆ (ลองเรียกมันว่าอย่างอื่น - เช่น "อัตราส่วนเดช") ที่กำหนดจำนวนข้อผิดพลาดที่อัลกอริทึมทำสำหรับปัญหาการตัดสินใจหรือไม่? ยังไม่ชัดเจนว่าจะทำอย่างไร ส่วนไหนของเศษส่วนนั้น? หรือพูดอีกอย่างคือ: จะมีอินสแตนซ์ปัญหาจำนวนอนันต์และสำหรับบางคนอัลกอริทึมจะให้คำตอบที่ถูกต้องและอื่น ๆ ก็จะให้คำตอบที่ผิดดังนั้นคุณจะจบด้วยอัตราส่วนที่ "บางสิ่งบางอย่างหารด้วยอินฟินิตี้" และท้ายที่สุดกลายเป็นความหมายหรือไม่ได้นิยามไว้

หรืออีกวิธีหนึ่งที่เราสามารถกำหนดจะเป็นส่วนของความผิดพลาดความผิดพลาดของอัลกอริทึมที่เกี่ยวกับกรณีปัญหาที่มีขนาดn จากนั้นเราสามารถคำนวณขีด จำกัด ของR nเป็นn →การ∞ถ้าขีด จำกัด ดังกล่าวอยู่ สิ่งนี้จะ$r_n$$n$$r_n$$n \to \infty$ชัดเจน (ถ้ามีขีด จำกัด ) อย่างไรก็ตามในกรณีส่วนใหญ่สิ่งนี้อาจไม่มีประโยชน์มากนัก โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันอนุมานว่าเป็นการกระจายแบบสม่ำเสมอบนอินสแตนซ์ของปัญหา อย่างไรก็ตามในโลกแห่งความเป็นจริงการกระจายตัวที่แท้จริงของอินสแตนซ์ของปัญหาอาจไม่เหมือนกัน - มันมักจะอยู่ไกลจากเครื่องแบบ ดังนั้นจำนวนที่คุณได้รับในลักษณะนี้มักจะไม่เป็นประโยชน์อย่างที่คุณคาดหวัง: มันมักจะให้ความรู้สึกที่ทำให้เข้าใจผิดว่าอัลกอริทึมนั้นดีเพียงใด

ต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการจัดการกับคน intractability (NP-แข็ง) จะดูที่การจัดการกับ intractability: ปัญหา

เหตุผลที่คุณไม่เห็นสิ่งต่าง ๆ เช่นอัตราส่วนการประมาณค่าในการตัดสินใจปัญหาคือโดยทั่วไปแล้วพวกเขาไม่เข้าใจในบริบทของคำถามที่มักถามเกี่ยวกับปัญหาการตัดสินใจ ในการตั้งค่าการปรับให้เหมาะสมนั้นเหมาะสมเพราะมีประโยชน์ที่จะ "ปิด" ในหลาย ๆ สภาพแวดล้อมมันไม่สมเหตุสมผล มันไม่สมเหตุสมผลที่จะเห็นว่าคุณ "ปิด" บ่อยแค่ไหนในปัญหาลอการิทึมที่ไม่ต่อเนื่อง มันไม่สมเหตุสมผลที่จะเห็นว่าคุณ "ปิด" บ่อยแค่ไหนในการค้นหา isomer กราฟ และในทำนองเดียวกันในการตัดสินใจปัญหาส่วนใหญ่ก็ไม่สมควรที่จะ "ปิด" กับการตัดสินใจที่ถูกต้อง

ตอนนี้ในการใช้งานจริงมีหลายกรณีที่การรู้ว่าปัญหาส่วนใดที่สามารถตัดสินใจได้ว่า "เร็ว" และส่วนใดที่ไม่สามารถทำได้ อย่างไรก็ตามไม่เหมือนกับการปรับให้เหมาะสมที่สุดไม่มีวิธีที่เหมาะกับขนาดในการหาจำนวนนี้ คุณสามารถทำมันทางสถิติเช่นคุณแนะนำ แต่เพียงถ้าคุณรู้ว่าการกระจายทางสถิติของปัจจัยการผลิตของคุณ ส่วนใหญ่แล้วคนที่มีความสนใจในปัญหาการตัดสินใจจะไม่โชคดีที่มีการแจกแจงดังกล่าว

เป็นกรณีศึกษาพิจารณาปัญหาการหยุด ปัญหาการหยุดชะงักเป็นที่ทราบกันว่าไม่สามารถตัดสินใจได้ มันเป็นความอัปยศเพราะเป็นปัญหาที่มีประโยชน์มากที่สามารถแก้ไขได้หากคุณสร้างคอมไพเลอร์ อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติเราพบว่าโปรแกรมส่วนใหญ่นั้นง่ายต่อการวิเคราะห์จากมุมมองปัญหาการหยุดชะงัก คอมไพเลอร์ใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้เพื่อสร้างรหัสที่ดีที่สุดในสถานการณ์เหล่านี้ อย่างไรก็ตามคอมไพเลอร์ต้องยอมรับว่ามีความเป็นไปได้ที่บล็อกของรหัสเฉพาะจะไม่สามารถตัดสินใจได้ โปรแกรมใด ๆ ที่อาศัยรหัสนั้นมีแนวโน้มที่จะเป็น "decidable" อาจมีปัญหา

อย่างไรก็ตามการใช้คอมไพเลอร์เพื่อตัดสินว่าพวกเขาทำได้ดีเพียงใดในการแก้ปัญหาเฉพาะกรณีเหล่านี้ของปัญหาการหยุดชะงักซึ่งแตกต่างจากตัวชี้วัดที่ใช้โดยโปรแกรมการเข้ารหัสเพื่อทดสอบว่าคู่ไพรม์เฉพาะใด ๆ ไม่มีขนาดที่เหมาะกับโซลูชันทั้งหมด หากคุณต้องการตัวชี้วัดดังกล่าวคุณจะต้องปรับให้เหมาะสมกับพื้นที่ปัญหาและตรรกะทางธุรกิจของคุณโดยเฉพาะ

นอกเหนือจากคำตอบที่มีอยู่ให้ฉันชี้ให้เห็นว่ามีสถานการณ์ที่เหมาะสมที่จะมีวิธีแก้ปัญหาโดยประมาณสำหรับปัญหาการตัดสินใจ แต่มันใช้งานได้แตกต่างจากที่คุณคิด

ด้วยอัลกอริธึมเหล่านี้ผลลัพธ์เพียงหนึ่งในสองข้อนั้นถูกกำหนดด้วยความแน่นอนในขณะที่อีกอันอาจไม่ถูกต้อง ทำแบบทดสอบ Miller-Rabin เพื่อหาหมายเลขเฉพาะตัวอย่างเช่น: หากการทดสอบพิจารณาว่าหมายเลขไม่ได้เป็นจำนวนเฉพาะผลลัพธ์นั้นแน่นอน แต่ในกรณีอื่นหมายถึงเฉพาะตัวเลขที่น่าจะเป็นเท่านั้น คุณสามารถเพิ่มความมั่นใจในผลลัพธ์ แต่จะไม่เป็น 100% เนื่องจากเป็นกรณีที่ไม่สำคัญขึ้นอยู่กับระยะเวลาคำนวณที่คุณยินดีลงทุน

สิ่งนี้มีประสิทธิภาพเป็นพิเศษเมื่อจัดการกับปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้: คุณสามารถเขียนเครื่องมือที่พยายามแก้ปัญหาการหยุดชะงักของโค้ดเฉพาะชิ้น หากสามารถพบหลักฐานว่าโปรแกรมจะไม่วนซ้ำไม่รู้จบคุณสามารถเรียกร้องได้อย่างมั่นใจ 100% หากคุณไม่พบข้อพิสูจน์ดังกล่าวอาจเป็นไปได้ว่ากระบวนการควบคุมโปรแกรมนั้นซับซ้อนเกินไปที่เครื่องมือของคุณจะวิเคราะห์ แต่มันไม่ใช่ข้อพิสูจน์ว่ามันจะวนซ้ำไปตลอดกาล ด้วยการทำให้โครงสร้างการควบคุมง่ายขึ้นคุณอาจจะสามารถสร้างโปรแกรมที่เทียบเท่าได้ซึ่งง่ายพอสำหรับเครื่องมือในการพิสูจน์ว่ามันจะหยุดทำงานอย่างแน่นอน