พิสูจน์ความซับซ้อนของการพิสูจน์หรือการแยก P = NP

มีการวิจัยเกี่ยวกับความซับซ้อนของการพิสูจน์การแก้ปัญหา P = NP หรือไม่? หากไม่ได้รับความคืบหน้าเกี่ยวกับปัญหามันจะไม่มีเหตุผลที่จะคาดเดาได้ว่าการพิสูจน์ใด ๆ ที่แก้ไขปัญหา P = NP จะต้องมีจำนวนขั้นตอนพหุนามสูงหรือไม่?

เป็นที่รู้กันว่าการพิสูจน์ของซูเปอร์ - พหุนามขอบเขตต่ำกว่าขอบเขต (ซึ่งเป็นคำพูดที่แข็งแรงกว่าเล็กน้อย) ต้องการพหุนาม - ซูเปอร์แม้พหุนามขนาดพิสูจน์ในระบบพิสูจน์เช่นพิสูจน์อ่อนแอ การสรุปสิ่งนี้ให้กับระบบพิสูจน์ที่แข็งแกร่งนั้นเป็นปัญหาเปิดที่รู้จักกันดี$P\neq NP$

ดูส่วนที่ 5 ของแบบสำรวจนี้โดย A. Razborov ที่แสดงสิ่งเหล่านี้

ซับซ้อนหลักฐานเพียงทำให้รู้สึกเมื่อมีลำดับของงบขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์nยกตัวอย่างเช่นเรื่องP H P nรัฐ (ไม่เป็นทางการ) ว่าไม่มี bijection [ n + 1 ] → [ n ] ลำดับของข้อเสนอนี้เป็นเรื่องยากสำหรับระบบพิสูจน์เชิงประพจน์บางอย่าง$n$$\mathsf{PHP}_n$$[n+1] \to [n]$

คำสั่งเป็นคำสั่งเดียวดังนั้นคุณจึงไม่สามารถใช้ความซับซ้อนในการพิสูจน์ได้โดยตรง อย่างไรก็ตามลำดับของข้อความต่อไปนี้สมเหตุสมผลสำหรับฟังก์ชั่นเฉพาะs ( n ) : "ไม่มีวงจรขนาดs ( n ) ที่ถูกต้องแก้ SAT สำหรับอินสแตนซ์ของความยาวn " เรื่องนี้ได้รับการพิจารณาในวรรณกรรมยกตัวอย่างเช่นโดยRazborov (ผู้ที่พิจารณาการตั้งค่าความซับซ้อนของการพิสูจน์ความสม่ำเสมอคือขอบเขตคณิตศาสตร์)$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$s(n)$$s(n)$$n$

เรามี 3 กรณี:

• มีหลักฐานที่มีอยู่ P กว่าที่มีการแก้ปัญหาขั้นตอนวิธีการ "ปล่อยหลักฐานที่P = N P " ที่วิ่งในO ( 1 )เวลา มันยากที่จะพิสูจน์รหัสในเครื่องทัวริงและปล่อยมันออกมา มันทำงานในเวลาเดียวกันไม่ว่าจะป้อนเข้า$P = NP$$P=NP$$O(1)$

• ในทำนองเดียวกันถ้ามีหลักฐานที่กว่าเราสามารถเขียนขั้นตอนวิธีการเปล่งหลักฐานในO ( 1 )เวลา$P\neq NP$$O(1)$

• $O(\infty)$

เพียงเพราะเราไม่พบหลักฐานใด ๆ ไม่ได้หมายความว่ามันไม่มีอยู่และคลาสความซับซ้อนนั้นถูกนิยามในแง่ของสิ่งที่มีอยู่

$P=NP$

สิ่งที่เรารู้ก็คือโดยทั่วไปแล้วปัญหาของ "จดคำสั่งในตรรกะของภาคแสดงและตัดสินว่ามีข้อพิสูจน์เรื่องนี้หรือไม่" ดังนั้นจึงไม่มีขั้นตอนการสร้างหลักฐานทั่วไปที่เราสามารถเสียบ P vs NP ลงไปซึ่งรับประกันว่าจะให้ผลลัพธ์

ถ้า P = NP สิ่งที่คุณต้องทำคือการสร้างอัลกอริธึมเวลาพหุนามเพื่อแก้ปัญหา NP-complete และพิสูจน์ว่ามันเป็นพหุนามจริง ๆ (ซึ่งอาจจะยากตัวอย่างเช่นอัลกอริธึม Simplex มักจะทำงานเร็วมาก แต่พิสูจน์ได้ว่า มันทำงานเร็วดูเหมือนยากอย่างเหลือเชื่อ)

$n^{100}$