เครื่องทัวริง“ ตามนิยาม” เป็นเครื่องจักรที่ทรงพลังที่สุดหรือไม่?

ฉันยอมรับว่าเครื่องทัวริงสามารถทำ "ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด" แต่นั่นเป็นเพราะมันเป็นเพียงการนำเสนอเครื่องจักรของอัลกอริทึม: ก่อนอื่นให้ทำแล้วทำสิ่งนั้นในที่สุดก็เอาท์พุท

ฉันหมายถึงทุกสิ่งที่สามารถแก้ไขได้โดยอัลกอริทึม (เพราะนั่นคือนิยามของ 'แก้ไขได้') มันเป็นเพียงการพูดซ้ำซาก ฉันไม่ได้พูดอะไรใหม่ที่นี่

และด้วยการสร้างอัลกอริธึมที่เป็นตัวแทนของเครื่องจักรเพื่อที่จะแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดก็ไม่มีอะไรใหม่ นี่เป็นเพียงการพูดซ้ำซาก ดังนั้นโดยทั่วไปเมื่อมีการกล่าวว่าเครื่องทัวริงเป็นเครื่องที่ทรงพลังที่สุดสิ่งที่มีประสิทธิภาพหมายถึงเครื่องที่ทรงพลังที่สุดคือเครื่องที่ทรงพลังที่สุด!

คำจำกัดความของ "มีประสิทธิภาพมากที่สุด": สิ่งที่สามารถยอมรับภาษาใดก็ได้
คำจำกัดความของ "อัลกอริทึม": กระบวนการทำอะไร การแสดงเครื่องของ "อัลกอริทึม": เครื่องที่สามารถทำอะไรได้

ดังนั้นจึงเป็นเหตุผลเท่านั้นที่การแสดงเครื่องของอัลกอริทึมจะเป็นเครื่องที่มีประสิทธิภาพที่สุด อลันทัวริงมีอะไรใหม่ให้เราบ้าง

ฉันยอมรับว่าเครื่องทัวริงสามารถทำ "ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด"

คุณไม่ควรเพราะมันไม่เป็นความจริง ตัวอย่างเช่นเครื่องทัวริงไม่สามารถระบุได้ว่าพหุนามมีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มมีวิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็ม ( ปัญหาที่สิบของฮิลแบร์ต )

เครื่องจักรทัวริง“ ตามนิยาม” เป็นเครื่องจักรที่ทรงพลังที่สุดหรือไม่?

ไม่เราสามารถฝันถึงลำดับชั้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเครื่องจักรที่ทรงพลังกว่านี้ อย่างไรก็ตามเครื่องทัวริงเป็นเครื่องจักรที่ทรงพลังที่สุดที่เรารู้ว่าอย่างน้อยในหลักการแล้วจะสร้างอย่างไร นั่นไม่ใช่คำจำกัดความ แต่ก็เป็นเพียงแค่ว่าเราไม่มีเงื่อนงำในการสร้างสิ่งที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นหรือถ้าเป็นไปได้

อลันทัวริงมีอะไรใหม่ให้เราบ้าง

นิยามอย่างเป็นทางการของอัลกอริทึม หากไม่มีคำจำกัดความดังกล่าว (เช่นเครื่องทัวริง) เรามีเพียงคำจำกัดความที่ไม่เป็นทางการของอัลกอริทึมตามแนวของ "ขั้นตอนที่ระบุอย่างละเอียดสำหรับการแก้ปัญหาบางอย่าง" ตกลงเยี่ยมมาก แต่ขั้นตอนเหล่านี้อนุญาตให้ใช้ขั้นตอนใดบ้าง

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นตอนมีอะไรบ้าง? การค้นหาความชันของเส้นโค้งเป็นขั้นตอนหรือไม่? การค้นหารากของพหุนามเป็นขั้นตอนหรือไม่ การค้นหารากจำนวนเต็มของพหุนามเป็นขั้นตอนหรือไม่ แต่ละคนดูเหมือนเป็นเรื่องธรรมชาติ อย่างไรก็ตามหากคุณอนุญาตให้ทุกคน "ขั้นตอนที่ระบุอย่างละเอียด" ของคุณมีประสิทธิภาพมากกว่าเครื่องทัวริงซึ่งหมายความว่าพวกเขาสามารถแก้ไขสิ่งต่าง ๆ ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริธึม หากคุณอนุญาตทั้งหมด แต่สุดท้ายคุณยังอยู่ในขอบเขตการคำนวณของทัวริง

หากเราไม่มีคำจำกัดความที่เป็นทางการของอัลกอริทึมเราจะไม่สามารถถามคำถามเหล่านี้ได้ เราไม่สามารถพูดคุยเกี่ยวกับอัลกอริทึมที่สามารถทำได้เพราะเราไม่รู้ว่าอัลกอริทึมคืออะไร

คุณไม่ถูกต้องเมื่อคุณสร้างข้อความเกี่ยวกับสิ่งนี้ซ้ำ ๆ ดังนั้นให้ฉันใส่การเรียกร้องของคุณเป็นบริบททางประวัติศาสตร์เล็กน้อย

ก่อนอื่นคุณต้องสร้างแนวคิดที่คุณใช้อย่างแม่นยำ มีปัญหาอะไร? อัลกอริทึมคืออะไร? เครื่องจักรคืออะไร คุณอาจคิดว่าสิ่งเหล่านี้ชัดเจน แต่ส่วนที่ดีในช่วงทศวรรษที่ 1920 และ 1930 ถูกใช้โดยนัก logologists ที่พยายามคิดสิ่งเหล่านี้ออกมา มีข้อเสนอหลายประการซึ่งหนึ่งในนั้นเป็นทัวริงเครื่องจักรซึ่งประสบความสำเร็จมากที่สุด ภายหลังปรากฎว่าข้อเสนออื่น ๆ เทียบเท่ากับทัวริง คุณต้องจินตนาการถึงยุคสมัยที่คำว่า "คอมพิวเตอร์" มีความหมายถึงบุคคลไม่ใช่เครื่องจักร คุณเป็นเพียงการขี่คลื่นและผลที่ตามมาของการประดิษฐ์ที่ยอดเยี่ยมจากจิตใจที่ยอดเยี่ยมจากร้อยปีที่ผ่านมาโดยไม่ได้ตระหนักถึงมัน

เครื่องทัวริงมีการอธิบายอย่างชัดเจนในแง่ของอเมริกาหัวและเทปการทำงาน มันยังห่างไกลจากความชัดเจนว่าสิ่งนี้ทำให้ความเป็นไปได้ในการคำนวณของเอกภพที่เราอาศัยอยู่เราไม่สามารถสร้างเครื่องจักรที่ทรงพลังยิ่งขึ้นโดยใช้ไฟฟ้าหรือน้ำหรือปรากฏการณ์ควอนตัมได้หรือไม่? จะเป็นอย่างไรถ้าเราบินเครื่องทัวริงไปยังหลุมดำด้วยความเร็วและทิศทางที่ถูกต้องเพื่อให้สามารถดำเนินการหลายขั้นตอนอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในเวลาที่ จำกัด คุณไม่สามารถพูดว่า "ไม่ชัด" - คุณต้องทำการคำนวณบางอย่างในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปก่อน และถ้าหากนักฟิสิกส์ค้นพบวิธีการสื่อสารและควบคุมเอกภพคู่ขนานเพื่อที่เราจะสามารถเรียกใช้เครื่องทัวริงจำนวนมากในเวลาขนานกันได้?

มันไม่สำคัญว่าในปัจจุบันเราไม่สามารถทำสิ่งเหล่านี้ อย่างไรก็ตามสิ่งที่สำคัญคือคุณเข้าใจว่าทัวริง ต้องคิดเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นไปได้ทางกายภาพ (ขึ้นอยู่กับความรู้ด้านฟิสิกส์ในเวลานั้น) เขาไม่ได้แค่เขียนว่า ห่างไกลจากมันเขาวิเคราะห์อย่างรอบคอบว่าการคำนวณหมายถึงอะไรในความรู้สึกไม่เป็นทางการจากนั้นเขาเสนอแบบจำลองที่เป็นทางการแย้งอย่างระมัดระวังว่ารุ่นนี้รวบรวมสิ่งที่ผู้คนเข้าใจโดย "การคำนวณ" และเขาได้รับทฤษฎีบทที่สำคัญบางประการ หนึ่งในทฤษฎีบทเหล่านี้บอกว่าเครื่องทัวริงไม่สามารถแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดได้ (ตรงกันข้ามกับข้อความเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งของคุณ) ทั้งหมดนี้เขียนไว้ในกระดาษแผ่นเดียวในช่วงฤดูร้อนขณะที่เขายังเป็นนักเรียนเป็นความคิดประดิษฐ์ของคอมพิวเตอร์วัตถุประสงค์ทั่วไปที่ทันสมัย หลังจากนั้นมันเป็นเพียงเรื่องของวิศวกรรมที่เรียบง่าย

นั่นเป็นคำตอบที่ทัวริงมีส่วนช่วยมนุษยชาติมากกว่าเพียงแค่การพูดปด? และคุณอ่านกระดาษของเขาจริง ๆ?

"อะไรก็ตามที่สามารถแก้ไขได้ด้วยอัลกอริธึม" นั้นไม่ชัดเจนเลย

นี่เป็นเป้าหมายของการถกเถียงกันอย่างเข้มข้นตั้งแต่อลันทัวริงแนวคิดการทำงานซ้ำของโบสถ์อลองโซเสนอคำจำกัดความของจำนวนที่คำนวณได้ซึ่งใช้รูปแบบของเครื่องจักรที่คุณอ้างถึง ที่สำคัญคนเหล่านี้ไม่ใช่คนเดียวที่ทำงานกับสิ่งนี้ในเวลานั้น

เรายังคงเรียกมันว่าวิทยานิพนธ์ - หรือการคาดเดา - เนื่องจาก "สิ่งใด ๆ ที่สามารถคำนวณได้" นั้นไม่ชัดเจนว่าเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำซึ่งโครงสร้างและช่วงสามารถศึกษาได้ในลักษณะที่ไม่เป็นการเก็งกำไร

ประการแรกมันเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องระลึกไว้เสมอว่าทัวริงแมชชีนได้รับการออกแบบมาตั้งแต่แรกโดยไม่ใช่ทัวริงในรูปแบบของคอมพิวเตอร์ที่ใช้งานได้จริงทางร่างกาย แต่เป็นข้อ จำกัด ในอุดมคติของสิ่งที่มนุษย์คำนวณได้ ลักษณะ (โดยไม่ต้องใช้สัญชาตญาณ) จุดนี้เข้าใจผิดกันอย่างกว้างขวาง - ดู [1] สำหรับการอธิบายที่ยอดเยี่ยมในหัวข้อนี้และหัวข้อที่เกี่ยวข้อง

ข้อ จำกัด ทางการเงินที่กำหนดโดยทัวริงสำหรับเครื่องทัวริงของเขานั้นขึ้นอยู่กับข้อ จำกัด ที่ถูกกำหนดไว้ของอุปกรณ์รับความรู้สึกของมนุษย์ ลักษณะทั่วไปของการวิเคราะห์ของทัวริงในการคำนวณทางกายภาพของอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ (และวิทยานิพนธ์ของโบสถ์ทัวริงที่คล้ายคลึงกัน) ไม่ได้มาจนกระทั่งในภายหลัง (1980) เนื่องจาก Robin Gandy - มีข้อ จำกัด ตามกฎหมายของฟิสิกส์ ดังที่โอดิเฟรดดีพูดเมื่อพี 51 จาก [2] (พระคัมภีร์ของทฤษฎีการเรียกซ้ำแบบดั้งเดิม)

เครื่องทัวริงเป็นอุปกรณ์ในเชิงทฤษฎี แต่ได้รับการออกแบบโดยคำนึงถึงข้อ จำกัด ทางกายภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราได้รวมไว้ในข้อ จำกัด รุ่นของเรามาจาก:

• (a) ATOMISM โดยตรวจสอบให้แน่ใจว่าจำนวนข้อมูลที่สามารถเข้ารหัสในการกำหนดค่าใด ๆ ของเครื่อง (ในฐานะระบบ จำกัด ) ถูก จำกัด ขอบเขต และ

• (b) RELATIVITY โดยไม่รวมการกระทำที่ระยะทางและทำให้เกิดผลเชิงสาเหตุเผยแพร่ผ่านการโต้ตอบในท้องถิ่น Gandy [1980] ได้แสดงให้เห็นว่าความคิดของทัวริงเป็นเครื่องที่เพียงพอสำหรับการจัดทำอุปกรณ์คอมพิวเตอร์ใด ๆ ที่มีข้อ จำกัด ในทำนองเดียวกัน

และใน p. 107: (ทฤษฎีทั่วไปของอุปกรณ์ที่ไม่ต่อเนื่อง, ที่กำหนดขึ้น)

การวิเคราะห์ (โบสถ์ [1957], Kolmogorov และ Uspenskii [1958], Gandy [1980]) เริ่มต้นจากสมมติฐานของอะตอมและสัมพัทธภาพ ในอดีตลดโครงสร้างของสสารเป็นชุด จำกัด ของอนุภาคพื้นฐานของขนาดที่ จำกัด และดังนั้นจึงพิสูจน์ความเป็นไปได้ทางทฤษฎีของการรื้อเครื่องลงไปยังชุดขององค์ประกอบพื้นฐาน หลังกำหนดขอบเขตบน (ความเร็วของแสง) กับความเร็วการแพร่กระจายของการเปลี่ยนแปลงสาเหตุและเหตุผลที่เป็นไปได้ในทางทฤษฎีของการลดผลกระทบเชิงสาเหตุที่เกิดขึ้นในทันที t ในขอบเขตขอบเขตของพื้นที่ V เพื่อการกระทำที่ผลิตโดยภูมิภาค จุดที่อยู่ภายในระยะทาง c * t จากบางจุด V แน่นอนว่าสมมติฐานไม่คำนึงถึงระบบบัญชีที่ต่อเนื่องหรืออนุญาตการกระทำที่ระยะไกล (เช่นระบบแรงโน้มถ่วงของนิวตัน)

การวิเคราะห์ของคานธีแสดงให้เห็นว่าพฤติกรรมนั้นเกิดขึ้นซ้ำสำหรับอุปกรณ์ใด ๆ ที่มีการแก้ไขบนความซับซ้อนของการกำหนดค่าที่เป็นไปได้ของมัน (ในแง่ที่ว่าทั้งสองระดับของการสร้างแนวคิดจากองค์ประกอบ การกำหนดค่าใด ๆ ที่ถูกผูกไว้) และการแก้ไข จำกัด ชุดคำอธิบายของคำแนะนำสำหรับการกระทำในท้องถิ่นและทั่วโลก (อดีตบอกวิธีการกำหนดผลกระทบของการดำเนินการกับชิ้นส่วนที่มีโครงสร้าง ยิ่งไปกว่านั้นการวิเคราะห์นั้นดีที่สุดในแง่ที่ว่าเมื่อทำอย่างแม่นยำการผ่อนคลายเงื่อนไขใด ๆ จะเข้ากันได้กับพฤติกรรมใด ๆ และมันก็ให้คำอธิบายที่เพียงพอและจำเป็นสำหรับพฤติกรรมแบบวนซ้ำ

การวิเคราะห์ของคานธีให้มุมมองที่กระจ่างชัดมากต่อพลังและข้อ จำกัด ของทัวริงแมชชีน มันเป็นการอ่านที่คุ้มค่าที่จะได้รับข้อมูลเชิงลึกเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องเหล่านี้ ได้รับการเตือนล่วงหน้า แต่กระดาษของคานธี 1980 [3] ได้รับการยกย่องว่าเป็นเรื่องยากแม้โดย cognoscenti บางคน คุณอาจพบว่ามีประโยชน์ในการอ่านเอกสารครั้งแรกใน [4] โดย J. Shepherdson และ A. Makowsky

[1] Sieg, Wilfried ขั้นตอนทางกลและประสบการณ์ทางคณิตศาสตร์ [pp. 71--117 ในวิชาคณิตศาสตร์และความคิด เอกสารจากการประชุมเกี่ยวกับปรัชญาคณิตศาสตร์ที่จัดขึ้นที่ Amherst College, Amherst, Massachusetts, วันที่ 5-7 เมษายน 1991 แก้ไขโดย Alexander George การคำนวณเชิงตรรกะ Philos., Oxford Univ กด, New York, 1994. ISBN: 0-19-507929-9 MR 96m: 00006 (ผู้ตรวจสอบ: Stewart Shapiro) 00A30 (01A60 03A05 03D20)

[2] Odifreddi, Piergiorgio ทฤษฎีการเรียกซ้ำแบบคลาสสิก ทฤษฎีของฟังก์ชั่นและเซตของจำนวนธรรมชาติ ด้วยคำปรารภของ GE Sacks การศึกษาในตรรกะและรากฐานของคณิตศาสตร์, 125. สำนักพิมพ์ North-Holland, Amsterdam-New York, 1989. xviii + 668 pp. ISBN: 0-444-87295-7 MR 90d: 03072 (ผู้ตรวจสอบ: Rodney G. Downey ) 03Dxx (03-02 03E15 03E45 03F30 68Q05)

[3] Gandy, Robin วิทยานิพนธ์และหลักการเกี่ยวกับกลไกของศาสนจักร การประชุมวิชาการ Kleene การประชุมทางวิชาการจัดขึ้นที่มหาวิทยาลัยวิสคอนซินแมดิสัน, Wis., 18 - 24 มิถุนายน 1978 แก้ไขโดย Jon Barwise, H. Jerome Keisler และ Kenneth Kunen การศึกษาในตรรกะและรากฐานของคณิตศาสตร์ 101. สำนักพิมพ์ North-Holland, Amsterdam-New York, 1980. xx + 425 pp. ISBN: 0-444-85345-6 MR 82h: 03036 (ผู้ตรวจสอบ: Douglas Cenzer) 03D10 (03A05)

[4] เครื่องจักรทัวริงสากล: การสำรวจครึ่งศตวรรษ ฉบับที่สอง แก้ไขโดย Rolf Herken Computerkultur [วัฒนธรรมคอมพิวเตอร์], II. Springer-Verlag, เวียนนา, 1995. xvi + 611 pp. ISBN: 3-211-82637-8 MR 96j: 03005 03-06 (01A60 03D10 03D15 68-06)

การอภิปรายยอดนิยมที่ดีที่สุดของคำถามนี้ที่ฉันเคยอ่านคือบทความของศาสตราจารย์ MIT A Scott ของ Scott Aaronson ใครสามารถตั้งชื่อหมายเลขที่ใหญ่กว่านี้ได้? ซึ่งเขาสำรวจเหนือสิ่งอื่นใดความหมายของเครื่องซูเปอร์ทัวริงเครื่องซุปเปอร์ทัวริงทัวริงและเครื่องซุปเปอร์ทัวริปโปเปอร์ - ทัวริง

ไม่ TMs ไม่ได้ทรงพลังที่สุด สองตัวอย่าง:

a) อาจมีเครื่องจักรอื่น ๆ ที่คำนวณผลลัพธ์เดียวกันกับ TM แต่เร็วกว่าอัลกอริทึม (เช่นคอมพิวเตอร์ควอนตัมที่คำนวณปัจจัยสำคัญ) "เร็วกว่า" เป็นพลังงานชนิดหนึ่ง

b) TMs ไม่สามารถแสดงจำนวนจริงทั่วไปได้อย่างแม่นยำ แต่คอมพิวเตอร์อนาล็อก (AC) อาจสามารถแสดงและคำนวณทางคณิตศาสตร์ด้วยจำนวนจริงด้วยความแม่นยำที่สมบูรณ์แบบ นี่จะมีประสิทธิภาพมากกว่า TM ใด ๆ

แน่นอน (b) ต้องการให้จักรวาลของเรามีคุณสมบัติต่อเนื่อง (แรงโน้มถ่วง?) ซึ่ง AC สามารถใช้เพื่อเป็นตัวแทนค่าจริง บางทีคุณสมบัติทางกายภาพทุกอย่างรวมถึงแรงโน้มถ่วงอาจถูกหาปริมาณ แต่เราสามารถคาดเดาเกี่ยวกับเครื่องจักรในจักรวาลต่อเนื่อง TM จึงไม่ทรงพลังที่สุด "ตามคำจำกัดความ"

หากคุณดูที่ความซับซ้อนในการคำนวณ Turing Machine เป็นเครื่องจักรที่ทรงพลังที่สุดเพราะมีหน่วยความจำไม่ จำกัด และไม่มีเครื่องจริง เครื่องจริงใด ๆ ไม่สามารถแก้ปัญหาของขนาดโดยพลการ; พวกเขาไม่สามารถอ่านปัญหาแก้ปัญหาได้น้อยลง

ในทางกลับกันถ้าคุณพยายามที่จะใช้เครื่องทัวริงจริงสมมติว่าบทบัญญัติที่จะหยุดและส่งเสียงเตือนถ้ามันหมดเทปคุณจะพบว่ามันจะต้องใช้ขั้นตอนอื่น ๆ อีกมากมายสำหรับการคำนวณใด ๆ กว่าสมมติว่าเครื่องจริงในโทรศัพท์ราคาถูกและจะช้ากว่ามากในการแก้ปัญหาจริง คุณจะพบว่าการเขียนคำตอบลงบนเทปไม่ใช่ส่วนต่อประสานผู้ใช้ที่ดีมาก และคุณจะพบว่าผู้คนจำนวนมากใช้คอมพิวเตอร์ไม่ใช่เพื่อแก้ปัญหา แต่เพื่อส่งภาพเปลือยให้เพื่อนของพวกเขาและสำหรับการดูวิดีโอแมวและเครื่องทัวริงก็ไม่ได้มีประโยชน์อะไรเลย