การคาดคะเนทางคณิตศาสตร์เทียบเท่ากับการหยุดเครื่องทัวริง

คำถามนี้เกี่ยวกับทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ทุกข้อที่สามารถลดลงได้หรือไม่กับคำถามที่ว่าทัวริงเครื่องเดียวหยุดทำงานหรือไม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันสนใจในการคาดเดาที่ไม่ได้รับการพิสูจน์ในปัจจุบัน

ตัวอย่างเช่น Wikipedia บอกว่าขณะนี้ยังไม่ทราบว่ามีตัวเลขที่สมบูรณ์แบบหรือไม่ เนื่องจากสามารถตัดสินใจได้ว่าหมายเลขที่กำหนดนั้นสมบูรณ์แบบใครสามารถเขียนเครื่องทัวริงที่จะตรวจสอบเลขคี่แต่ละหมายเลขแล้วหยุดพักหากพบว่าเลขนั้นสมบูรณ์ (เครื่องทัวริงนี้ไม่มีการป้อนข้อมูลใด ๆ ) หากเรารู้ว่าเครื่องทัวริงหยุดทำงานหรือไม่เราจะรู้ว่าการคาดคะเนนั้นเป็นจริงหรือไม่และในทางกลับกัน

อย่างไรก็ตามเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งแล้วการคาดเดาช่วงเวลาสองช่วงคืออะไร? มันสามารถตัดสินได้ว่าตัวเลขที่กำหนดเป็นหมายเลขแรกในคู่แฝด แต่ในกรณีนี้เราไม่สามารถหยุดได้เมื่อเราพบหมายเลขแรกเพราะคำถามนั้นเกี่ยวกับว่ามีจำนวนอนันต์หรือไม่ ไม่ชัดเจนสำหรับฉันว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะสร้างเครื่องจักรทัวริงที่หยุดหากว่าการคาดคะเนจำนวนสองครั้งนั้นเป็นจริง

เราสามารถสร้างเครื่องจักรทัวริงที่จะหยุดถ้าการคาดการณ์ล่วงหน้าสองครั้งนั้นพิสูจน์ได้ภายในเลขคณิต Peano หรือระบบทางการอื่น ๆ แต่เป็นคำถามที่แตกต่างกันเพราะมันอาจเป็นจริง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบเฉพาะที่เราเลือก

ดังนั้นคำถามของฉันคือ

• เป็นไปได้ไหมที่จะสร้างเครื่องจักรทัวริงที่หยุดหากว่าการคาดคะเนจำนวนสองครั้งนั้นเป็นจริง (และถ้าเป็นเช่นนั้นได้อย่างไร)
• โดยทั่วไปแล้วเป็นไปได้หรือไม่ที่จะสร้างเครื่องทัวริงที่หยุดหากว่าคำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่ให้นั้นเป็นจริงหรือไม่? เครื่องทัวริงนี้สามารถสร้างอัลกอริทึมจากคำสั่งอย่างเป็นทางการได้หรือไม่?
• ถ้ามันเป็นไปไม่ได้โดยทั่วไปมีวิธีการจัดหมวดหมู่คำสั่งทางคณิตศาสตร์ว่าพวกเขาจะเทียบเท่ากับการหยุดชะงักของทัวริงเครื่องเดียวหรือเครื่องทัวริงที่มีพยากรณ์หรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นการจัดหมวดหมู่นี้จะตัดสินได้สำหรับคำสั่งที่กำหนดหรือไม่?

คำถามของคุณจะตอบโดยลำดับชั้นของคณิตศาสตร์ การมีอยู่ของจำนวนที่สมบูรณ์แบบคี่คือคำสั่งและเพื่อให้คุณสามารถทดสอบโดยใช้เครื่องซึ่งจะหยุดถ้าคำสั่งนั้นเป็นจริง การคาดเดาจำนวนเฉพาะคู่คือคำสั่งและเพื่อให้คุณสามารถสร้าง TM ด้วยการเข้าถึง oracle หยุดทำงานซึ่งหยุดถ้าคำสั่งนั้นเป็นเท็จ$\Sigma_1$Π $\Sigma_1$$\Pi_2$

ด้วยเหตุผลที่เข้มงวดคุณสามารถสร้างเครื่องจักรทัวริงที่หยุด iff statementไว้ได้เสมอ$\phi$

1. หากถือไว้ให้ใช้เครื่องที่หยุด$\phi$
2. หากไม่ถือไว้ให้ใช้เครื่องที่ไม่หยุด$\phi$

เพื่อดูว่าการก่อสร้างนี้ถูกต้องให้พิจารณารูปแบบตรรกะของคำสั่งของคุณ:

อะไรคือชุดของงบเช่นว่ามีอยู่เครื่องทัวริงซึ่งหยุดพักในφ ∈ ไว IFF φคือถูกต้อง?$\Phi$$\phi \in \Phi$$\phi$

ดังกล่าวข้างต้นที่ผมได้ชี้ให้เห็นว่างบกำหนดรูปแบบดังกล่าว$\Sigma_1$

ให้ , f ( 2 ) = 4และให้f ( n + 1 ) = f ( n ) ! สำหรับทุกจำนวนเต็มn ≥ 2 สำหรับจำนวนเต็มบวกnให้Θ nแทนคำสั่ง: หากระบบ$f(1)=2$$f(2)=4$$f(n+1)=f(n)!$$n \geq 2$$n$$\Theta_n$

$x_1,\ldots,x_n$$1$$(x_1,\ldots,x_n)$Θ 1 , … , Θ $\min(x_1,\ldots,x_n) \leq f(n)$$\Theta_1,\ldots,\Theta_{16}$

คำสั่งพิสูจน์ความหมาย: ถ้ามีคู่แฝดมากกว่าจากนั้นมีจำนวนเฉพาะช่วงเวลาจำนวนมากโปรดดูบทความนี้โดย A. Tyszka ( ในชุดเช่นนั้นอนันต์ของเทียบเท่ากับการมีอยู่ในขององค์ประกอบที่มากกว่าจำนวนเกณฑ์ที่คำนวณโดยใช้คำจำกัดความของ ) f ( 16 ) + 3 W ⊆ N W W W$\Theta_{16}$$f(16)+3$$W \subseteq \mathbb{N}$$W$$W$$W$

นั่นคือสมมติว่าคำสั่ง , เคียวรีเดียวเป็นตัดสินใจว่าเป็นปัญหาคู่ที่สำคัญ 0 $\Theta_{16}$$0'$