พิสูจน์ว่าถ้า

ฉันต้องการความช่วยเหลือจากคุณในการพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้

หาก$\mathrm{NTime}(n^{100}) \subseteq \mathrm{DTime}(n^{1000})$แล้ว$\mathrm{P}=\mathrm{NP}$ P

ที่นี่เป็นชั้นของทุกภาษาที่สามารถตัดสินใจโดยเครื่องทัวริง nondeterministic ในเวลาพหุนามของO ( n 100 )และD T ฉันm E ( n 1000 ) เป็นชั้นของทุกภาษา ซึ่งสามารถตัดสินใจโดยเครื่องทัวริงที่กำหนดในเวลาพหุนามของO ( n 1000 )$\mathrm{NTime}(n^{100})$$O(n^{100})$$\mathrm{DTime}(n^{1000})$$O(n^{1000})$

ความช่วยเหลือ / ข้อเสนอแนะ?

นี่คือวิธีการแก้ปัญหาโดยใช้ช่องว่างภายใน สมมติว่า ) กำหนดภาษาใหม่L ′ = { x 0 | x | 10 - | x | : x ∈ L } แต่ละx ∈ Lสอดคล้องกับบางY ∈ L 'ของความยาว| y | = | x | + ( |$L \in \mathrm{NTime}(n^{1000})$$L' = \{x0^{|x|^{10}-|x|} : x \in L\}$$x \in L$$y \in L'$ . ดังนั้นเราสามารถตัดสินใจได้ว่าy∈ L ′ในเวลาที่ไม่ได้กำหนดไว้ | x | 1,000 = | y | 100คือ L ' ∈ N T ฉันm E ( n 100 )⊆ D T ฉันm E ( n 1000 ) เพื่อที่จะตัดสินใจว่าx$|y| = |x| + (|x|^{10}-|x|) = |x|^{10}$$y \in L'$$|x|^{1000} = |y|^{100}$$L' \in \mathrm{NTime}(n^{100}) \subseteq \mathrm{DTime}(n^{1000})$รูปแบบ y = x 0 x 10 - | x | และเรียกใช้ | y | 1,000 = | x | อัลกอริธึมที่กำหนดไว้ล่วงหน้า 10,000 ครั้งสำหรับ L ′ เราสรุปได้ว่า L ∈ D T ฉันm E ( n 10000 )$x \in L$$y = x0^{x^{10}-|x|}$$|y|^{1000} = |x|^{10000}$$L'$$L \in \mathrm{DTime}(n^{10000})$

แบ่งปัญหาออกเป็นสองส่วน:

1. มีความเป็นภาษาที่สมบูรณ์ในN T ฉันm E ( n 1000 )$\mathsf{NP}$$\mathsf{NTime}(n^{1000})$
2. หากภาษาที่สมบูรณ์อยู่ในD T ฉันm E ( n 1000 ) ⊂ Pแล้วP = N P$\mathsf{NP}$$\mathsf{DTime}(n^{1000}) \subset \mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

นี่เป็นผลที่ตามมาเล็กน้อยของคำจำกัดความของความสมบูรณ์แบบของ NP หากภาษาใด ๆ ใน NP สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม (ซึ่งถูกยืนยันโดยสถานที่ตั้ง) จากนั้นพวกเขาทั้งหมดเป็น อีกวิธีในการดูนี้คือการดูทฤษฎีบทของ Cook สำหรับความสมบูรณ์แบบ NPที่ลดภาษา NP-complete ทั้งหมดให้เป็นการจดจำภาษาที่เกี่ยวข้องกับ SAT และการแปลงเครื่องทัวริง nondeterministic เป็น SAT