มีงานที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม แต่ไม่สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม?

เพื่อนร่วมงานของฉันและฉันเพิ่งอ่านโน้ตของอาจารย์คนหนึ่งของเรา หมายเหตุระบุว่ามีงานที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม (อยู่ในชั้นเรียนของ PF) แต่ไม่สามารถตรวจสอบได้ในเวลาพหุนาม (ไม่อยู่ในชั้นเรียนของ NPF)

ในการอธิบายอย่างละเอียดเกี่ยวกับคลาสเหล่านี้: เราได้รับอินพุต X และสร้างเอาต์พุต Y บางส่วนซึ่ง (X, Y) สัมพันธ์กับ R แทนงานของเรา หากเป็นไปได้ที่จะได้ Y สำหรับ X ในเวลาพหุนามงานนี้เป็นของคลาสของ PF ถ้าเป็นไปได้ที่จะตรวจสอบใบรับรองความยาวพหุนาม Z ที่พิสูจน์ tuple (X, Y) อยู่ในความสัมพันธ์ R ในเวลาพหุนามงานเป็นของคลาสของ NPF

เราไม่ได้พูดถึงปัญหาการตัดสินใจโดยที่คำตอบนั้นเป็นเพียงแค่ใช่หรือไม่ใช่ (อย่างเป็นทางการมากขึ้นถ้าสตริงบางอันเป็นของบางภาษา) สำหรับปัญหาการตัดสินใจปรากฏว่า PF เป็นเซตย่อยที่เหมาะสมของ NPF อย่างไรก็ตามสำหรับงานอื่น ๆ อาจแตกต่างกัน

คุณรู้จักงานที่สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม แต่ไม่ตรวจสอบในเวลาพหุนามหรือไม่

สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อมีเอาต์พุตที่ยอมรับได้จำนวนมากสำหรับอินพุตที่กำหนด คือเมื่อความสัมพันธ์ไม่ใช่ฟังก์ชันเพราะมันละเมิดเอกลักษณ์$R$

ตัวอย่างเช่นพิจารณาปัญหานี้:

รับ (แสดงเป็นเอกภาพ) และ TMสร้าง TMอีกอันที่และ (โดยที่ย่อมาจากการเข้ารหัส ( หมายเลขGödel) ของเป็นจำนวนธรรมชาติ) M N L ( M ) = L ( N ) # N > n # N $n \in \mathbb{N}$$M$$N$$L(M)=L(N)$$\# N > n$$\# N$$N$

การแก้นี้จิ๊บจ๊อย: เก็บเพิ่มรัฐซ้ำซ้อนไม่กี่ TM , อาจมีบางอย่างเปลี่ยนหุ่นระหว่างพวกเขาจนกว่าการเข้ารหัสสูงกว่าnนี่เป็นแอปพลิเคชั่นพื้นฐานของ Padding Lemma บน TMs ซ้ำ ๆ สิ่งนี้จะต้องใช้ช่องว่างภายในซึ่งแต่ละอันสามารถเพิ่มหนึ่งสถานะดังนั้นจึงสามารถทำได้ในเวลาพหุนามn $M$$n$$n$

บนมืออื่น ๆ ที่ได้รับมันเป็น undecidable เพื่อตรวจสอบว่าเป็นผลผลิตที่ถูกต้องสำหรับปัจจัยการผลิต M อันที่จริงการตรวจสอบไม่แน่นอน (ใช้ทฤษฎีบทข้าว) และข้อ จำกัดเพียงแค่กำจัด s จำนวนมากอย่างแน่นอนจากสิ่งเหล่านั้น เนื่องจากเราลบองค์ประกอบจำนวน จำกัด ออกจากปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้เรายังคงได้รับปัญหาที่ไม่สามารถตัดสินใจได้N n , M L ( M ) = L ( N ) # N > $n,M,N$$N$$n,M$$L(M)=L(N)$$\#N > n$$N$

คุณยังสามารถแทนที่คุณสมบัติที่ไม่สามารถตัดสินใจได้เพื่อรับรูปแบบที่ยังคงคำนวณได้ แต่ NP hard / complete เช่นได้รับn (เป็นเอกภาพ) มันเป็นเรื่องง่ายที่จะคำนวณกราฟG ที่มีn -clique อยู่ข้างใน แต่ให้n , Gเป็นการยากที่จะตรวจสอบว่ามีn -clique อยู่หรือไม่$L(M)=L(N)$$n$$G$$n$$n,G$$n$

นี่เป็นเพียงรายละเอียดของประโยคแรกของคำตอบของ @ chi เนื่องจากฉันไม่พบว่าชัดเจน

ความคิดคือถ้าคุณมีอัลกอริทึมที่พบคำตอบของปัญหาในเวลาพหุนามแล้วมีความเป็นไปได้สองอย่าง:

1. ก่อนหน้านี้คุณได้พิสูจน์แล้ว (ทางคณิตศาสตร์) ว่าผลลัพธ์ของอัลกอริทึมเป็นวิธีการแก้ปัญหาซึ่งในกรณีนี้ขั้นตอนของอัลกอริทึมนั้นเองก็เป็นข้อพิสูจน์ความถูกต้อง

2. คุณมีอัลกอริธึมที่แตกต่างกันสำหรับการตรวจสอบว่าผลลัพธ์เป็นทางออกแน่นอนซึ่งในกรณีนี้คุณต้องใช้อัลกอริทึมนี้

ดังนั้นจึงไม่มีปัญหาดังกล่าว