ทำไม DFS ถึงถูกพิจารณาให้มี

ตามบันทึกเหล่านี้ , DFSถือว่ามีความซับซ้อนของพื้นที่ที่เป็นปัจจัยที่แผ่กิ่งก้านของต้นไม้และมีความยาวสูงสุดของเส้นทางใด ๆ ในพื้นที่รัฐ$O(bm)$$b$$m$

เป็นเหมือนกันกล่าวว่าในเรื่องนี้หน้าวิกิตำราบนไม่รู้ค้นหา

ตอนนี้ "กล่องข้อมูล" ของบทความ Wikipedia บน DFSนำเสนอต่อไปนี้สำหรับความซับซ้อนของพื้นที่ของอัลกอริทึม:

$O(|V|)$หากกราฟทั้งหมดถูกสำรวจโดยไม่มีการทำซ้ำค้นหาความยาวพา ธ ที่ยาวที่สุดสำหรับกราฟโดยนัยโดยไม่ต้องกำจัดโหนดซ้ำ$O($$)$

ซึ่งคล้ายกับสิ่งที่ฉันคิดว่ามีความซับซ้อนของพื้นที่ของ DFS เช่นโดยที่คือความยาวสูงสุดที่อัลกอริธึมถึง$O(m)$$m$

เหตุใดฉันจึงคิดว่าเป็นเช่นนี้

โดยพื้นฐานแล้วเราไม่จำเป็นต้องเก็บโหนดอื่น ๆ นอกเหนือจากโหนดของเส้นทางที่เรากำลังดูอยู่ในขณะนี้ดังนั้นจึงไม่มีประเด็นการคูณด้วยในการวิเคราะห์ที่จัดทำโดย Wikibook และบันทึกที่ฉันเรียกคุณ ถึง.$b$

ยิ่งไปกว่านั้นจากบทความนี้เกี่ยวกับIDA *โดยRichard Korfความซับซ้อนของพื้นที่ของ DFS คือโดยที่ถูกพิจารณาว่าเป็น "cutoff เชิงลึก"$O(d)$$d$

ดังนั้นความซับซ้อนของพื้นที่ที่ถูกต้องของ DFS คืออะไร?

ฉันคิดว่ามันอาจขึ้นอยู่กับการนำไปใช้ดังนั้นฉันขอขอบคุณคำอธิบายเกี่ยวกับความซับซ้อนของพื้นที่สำหรับการนำไปปฏิบัติต่าง ๆ ที่รู้จัก

มันขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณเรียกว่า DFS ลองพิจารณาตัวอย่างอัลกอริทึม DFS ซ้ำแล้วซ้ำอีกที่อธิบายไว้ในWikipediaและสมมติว่าคุณรันบนต้นไม้เพื่อที่คุณจะได้ไม่ต้องติดตามว่าโหนดใดที่คุณเคยเยี่ยมชมแล้ว สมมติว่าคุณรันเสร็จสมบูรณ์$b$- ต้นไม้แห่งความลึก $m$. เราสามารถระบุโหนดในต้นไม้ของพวกเขาด้วยคำพูดมากกว่า$[b]$ ความยาวสูงสุด $m$. อัลกอริทึมทำงานดังนี้:

1. เริ่มต้นที่รูท ดัน$1,2,\ldots,b$ กับสแต็ก (เรียงลำดับกลับกัน)

2. ป๊อปอัพ $1$และกด $11,12,\ldots,1b$ เพื่อสแต็ค

3. ป๊อปอัพ $11$และกด $111,112,\ldots,11b$ เพื่อสแต็ค

4. $\ldots$

5. ป๊อปอัพ $1^{m-1}$และกด $1^m,1^{m-1}2,\ldots,1^{m-1}b$ เพื่อสแต็ค

ณ จุดนี้สแตกประกอบด้วย

รวมเป็น $(b-1)m + 1$โหนด คุณสามารถตรวจสอบว่านี่เป็นไพน์ในเวลาที่ขนาดของสแต็กถูกขยายใหญ่สุด

มีสองจุดที่นี่เพื่อทำ:

1. ในกรณีที่คุณแนะนำลงในสแต็กสืบทอดทั้งหมดของโหนดปัจจุบันอย่างมีประสิทธิภาพความซับซ้อนของพื้นที่คือ $O(bd)$ ที่ไหน $b$ เป็นปัจจัยการแตกแขนงและ $d$ความยาวสูงสุดคือ คำตอบของ Yuval Filmus หมายถึงกรณีนี้แน่นอน อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าโดยทั่วไป$d$ มีขนาดใหญ่กว่ามาก $b$. ยิ่งไปกว่านั้นในหลาย ๆ โดเมนเช่นปริศนาตัวต่อเลื่อน$b$ มีขอบเขตบนที่คงที่ (ในกรณีเฉพาะนั้น 4) และด้วยเหตุนี้เราสามารถพูดได้อย่างปลอดภัยว่า DFS มีความซับซ้อนของพื้นที่ซึ่ง $O(d)$.

2. อย่างไรก็ตามเป็นที่ยอมรับไม่ได้ทุกกรณี ตัวอย่างเช่นในตัวต่อแพนเค้กตัวประกอบการแตกแขนงจะเติบโตขึ้นตามความยาวของทางออกที่ดีที่สุดและพวกมันทั้งคู่มีค่าใกล้เคียงกัน ถึงกระนั้นความซับซ้อนของพื้นที่ก็คือ$O(d)$. หากต้องการดูสิ่งนี้เพียงแค่ปรับแต่งขั้นตอนการขยายตัวของโหนดใด ๆ แทนการแทรกลูกหลานทั้งหมดของโหนดปัจจุบัน (ตามที่ Yuval Filmus แนะนำ) แทรกไว้ตามลำดับ คุณสร้างผู้สืบทอดที่หนึ่งก่อนและทันทีหลังจากที่คุณดำเนินการตามลำดับความลึกก่อน --- ตามความจริงคุณไม่จำเป็นต้องมีผู้สืบทอดอื่น ๆ ณ จุดนี้ ในกรณีที่คุณย้อนกลับไปที่โหนดนี้ผู้สืบทอดจะถูกลบออกจากสแต็ก ถัดไปสร้างผู้สืบทอดที่สองและดำเนินการตามลำดับเชิงลึกก่อนอีกครั้ง ในกรณีที่คุณย้อนกลับไปที่โหนดนี้จากนั้นสร้างที่สามเป็นต้นไปจนกว่าจะไม่มีทายาทอีก ดำเนินการต่อด้วยวิธีนี้คุณจะมี$d$ โหนดในสแต็กของคุณไม่ว่าปัจจัยการแบรนช์ $b$.

สรุปฉันจะไม่บอกว่า DFS มีความซับซ้อนของพื้นที่ซึ่งก็คือ $O(bd)$ และฉันขออ้างว่าความซับซ้อนของพื้นที่แทน $O(d)$.

หวังว่าจะช่วยได้