ภาษาการเขียนโปรแกรมที่สามารถใช้ฟังก์ชั่น bijective ที่คำนวณได้เท่านั้น?

มีภาษาโปรแกรม (หรือตรรกะ) ที่สามารถนำไปใช้ (หรือแสดง) ฟังก์ชันถ้าหากเป็นฟังก์ชัน bijective ที่คำนวณได้?$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$$f$

ไม่มีภาษาดังกล่าว

อย่างไรก็ตามดูบูมเมอแรงได้ มันเป็นภาษาสำหรับเขียน bijections ระหว่างสตริง ฉันไม่ทราบว่าแผนที่มีความกว้างเพียงใด แต่ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถค้นหาว่าคุณค้นหาอะไรบ้าง

มีเหตุผลที่จะต้องใช้ภาษาการเขียนโปรแกรมที่ชุดของโปรแกรมที่ถูกต้องจะเป็นที่รู้จักโดยล่ามหรือคอมไพเลอร์นั่นคือมันเป็นชุดที่นับจำนวนที่คำนวณได้ สมมติว่าแล้วเรามีการเขียนโปรแกรมภาษาที่มีการตั้งค่าของโปรแกรมที่ถูกต้องนับ computably และดำเนินการได้อย่างแม่นยำทุก bijections คำนวณ{N} นั่นก็หมายความว่าเราสามารถระบุ bijections ที่คำนวณได้ทั้งหมด (เพียงระบุโปรแกรมที่ถูกต้องทั้งหมดในภาษาการเขียนโปรแกรมนี้) แต่นี่เป็นไปไม่ได้โดยทฤษฎีบทต่อไป$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

ทฤษฎีบท: สมมติว่าเป็นลำดับที่คำนวณได้ของ bijections ที่คำนวณได้ จากนั้นมี bijection คำนวณได้ซึ่งไม่ได้อยู่ในลำดับ$f_0, f_1, f_2, \ldots$

พิสูจน์ เราสร้าง bijectionดังนี้ ในการกำหนดค่าและเราจะดูที่ :$g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$g(2 k)$$g(2 k + 1)$$f_k(2 k)$

• ถ้าจากนั้นตั้งค่าและ ,$f_k(2 k) = 2 k$$g(2 k) = 2 k + 1$$g(2 k + 1) = 2 k$
• ถ้าแล้วชุดและ1$f_k(2 k) \neq 2 k$$g(2 k) = 2 k$$g(2 k + 1) = 2 k + 1$

เห็นได้ชัดว่าทุก ,จะแตกต่างจากเพราะk) ยิ่งกว่านั้นสามารถคำนวณได้และมันเป็น bijection เพราะมันเป็นค่าผกผันของมันเอง QED$k \in \mathbb{N}$$g$$f_k$$g(2 k) \neq f_k(2 k)$$g$