เงื่อนไขสำหรับอนันต์ของภาษาของออโตเมติก จำกัด

มีทฤษฎีบทที่บอกว่า:

ให้ออโตเมติก จำกัด มี state หากมีสตริงที่ความยาวตรงกับดังนั้นภาษาที่ยอมรับโดยหุ่นยนต์จะไม่มีที่สิ้นสุด $n$ $w$ $n \leq |w| \leq 2n-1$

ฉันเข้าใจข้อ จำกัดแต่ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมข้อ จำกัดอยู่ที่นั่น $|w| \geq n$ $|w| \leq 2n-1$

automata finite-automata

— ราหุลชาร์
แหล่งที่มา

ในสถานการณ์ที่เลวร้ายที่สุด NFA ของคุณอาจมีลักษณะเช่นนี้:

ที่เล็กที่สุดซึ่งจะรับประกันห่วง (บังคับให้ยอมรับภาษาอนันต์) มีขนาด2n-1 $w$ $2n-1$

— André Souza Lemos
แหล่งที่มา

เมื่อฉันเริ่มจาก q0 และหลังจากนั้นเมื่อฉันกลับมาที่ q0 นั่นหมายความว่ามีรอบในเครื่อง มันไม่เพียงพอในกรณีที่เลวร้ายที่สุดทำไมเราถึงกลับไปสู่สเตจสุดท้ายอีกครั้งในกรณีนี้เท่าที่ฉันเข้าใจจากรูปนี้เราจะปั๊มลูปนี้หนึ่งครั้งแล้วจึงไปที่สเตจสุดท้ายอีกครั้ง เมื่อเราเข้าสู่ขั้นตอนสุดท้ายแล้วเราจะสมมติว่านี่ไม่ใช่สตริงของฉันเพราะมันกลับไปสู่สถานะอื่น แต่เมื่อมันกลับมาสู่รอบสุดท้ายอีกครั้งเราก็มั่นใจว่านี่เป็นสตริงของเราเนื่องจากมีวงวนที่มี ถูกสูบ?

— ราหูชาร์

เราพยายามที่จะพิสูจน์บางสิ่งเกี่ยวกับหุ่นยนต์นั่นคือมันยอมรับภาษาที่ไม่สิ้นสุด ในวิธีการพิสูจน์สูตรกำหนดสตริงจะถูกคาดเดาซึ่งมีขนาดที่ถือว่าอยู่ภายในช่วงเวลาที่แน่นอน แน่นอนถ้าหุ่นยนต์มีห่วงแล้วสตริงมีอยู่ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าหากไม่สามารถหาภายในช่วงเวลานี้ได้เครื่องจะไม่เหมือนในภาพ ไม่ว่าจะเป็นแบบไม่มีลูปหรือไม่มีสถานะขั้นสุดท้าย

w

$w$

w

$w$

w

$w$

— André Souza Lemos

ฉันเข้าใจประเด็นของคุณฉันแค่พยายามเข้าใจขอบเขตบนของช่วงเวลาว่าทำไมมันถึง 2n-1 และทำไมไม่ 2n-x (x สามารถเป็นอะไรก็ได้ยกเว้น 1) ในภาพด้านบนเราจะบอกว่า loop คือ qo -q1 .... qn-q1 .... qn, ใช่ (max. loop) แต่เมื่อฉัน q0 อีกครั้ง (q0 ... aq, q0) ไม่ได้หมายความว่ามีลูป มากที่สุดควรเป็น n เหตุใดเราจึงบวก n-1 ถึง n (หรือทำไมเราถึงกลับไปสู่สถานะสุดท้ายอีกครั้ง) ฉันมีเวลายากลำบากในการรับสิ่งนี้ :(. สามารถ max. วนเป็น q0., q1, q2 ..qn, qn-1-qn 1..q0, สิ่งที่ต้องการนั้น

— sharma rahul

ขอบเขตบนคือเพราะมันไม่ได้แย่ไปกว่านั้น นั้นเล็กกว่าและฉันเพิ่งแสดงให้คุณเห็นว่ามีหุ่นยนต์ที่ต้องการขั้นตอน ไม่มีสิ่งที่ต้องการมากกว่า (และทำงาน) แต่มีสิ่งหนึ่งที่ต้องการเงินจำนวนนี้

2 n - 1

$2n-1$

2 n - x

$2n-x$

2 n - 1

$2n-1$

2 n - 1

$2n-1$

— André Souza Lemos

เข้าใจแล้วตอนนี้เพียงแค่ข้อสงสัยเล็ก ๆ น้อย ๆ สมมติว่าฉันมี 4 สถานะในเครื่องของฉันและฉันอ่านสตริง abc และฉันถึงสถานะสุดท้ายแล้วฉันอ่าน d ที่นั่นและกลับมาสู่สถานะเริ่มต้นจากนั้นไปยังสถานะสุดท้ายอีกครั้งดังนั้น สายของฉันจะกลายเป็น abcdabc ฉันจะแบ่งสิ่งนี้ให้เป็นบทแทรกและรับ y ^ i โดยที่ i = 1 เพื่อแสดงว่า y ได้รับการปั๊มครั้งเดียวแล้วหรือยัง?

— ราหุลชาร์

เงื่อนไขเพิ่มเติมช่วยให้คุณสามารถเขียนอัลกอริทึมแบบตรงไปตรงมา - ตรวจสอบสตริงทั้งหมดที่มีความยาวในช่วงเวลานี้ - สำหรับการตัดสินใจ (ใน) ความละเอียดของภาษาที่ยอมรับ ดังนั้นคุณจะได้รับการพิสูจน์ว่าคุณสมบัตินี้สามารถนำกลับมาใช้ใหม่ได้ (ซึ่งไม่ใช่สำหรับรถยนต์ออโตเมต้าส่วนใหญ่ที่มีกำลังแรงเป็นพิเศษ)

— กราฟิลส์
แหล่งที่มา

ทฤษฎีบทเต็มระบุว่ามีความเท่าเทียมกันมากกว่าที่จะบอกเป็นนัย :

ภาษาที่ได้รับการยอมรับโดย -state NFA เป็นอนันต์และถ้าหากมันมีคำมีความพึงพอใจขนาด2n-1 $n$ $w$ $n \leq |w| \leq 2n-1$

เงื่อนไขพิเศษจึงทำให้ทฤษฎีบทแข็งแกร่ง $|w| \leq 2n-1$

— Yuval Filmus
แหล่งที่มา