การลดความแปรปรวนของ DAG

13

ฉันกำลังมองหาอัลกอริทึม O (V + E) สำหรับการค้นหาการลดขนาดสกรรมกริยาจาก DAG

นั่นคือการลบขอบมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เพื่อที่ว่าถ้าคุณสามารถเข้าถึง v จาก u, สำหรับ v และ u ตามอำเภอใจคุณยังคงสามารถเข้าถึงได้หลังจากการลบขอบ

หากนี่เป็นปัญหามาตรฐานโปรดบอกฉันถึงวิธีแก้ไขปัญหาแบบบางอย่าง

algorithms graphs dag

— คาเรน
แหล่งที่มา

คุณไม่สามารถใช้การอ้างอิงที่ให้ไว้ใน wikipedia lemma ที่คุณอ้างถึง?

— Hendrik Jan

2

อัลกอริทึมที่กล่าวถึงใน Wikipedia ทำงานใน

(ในกรณีที่ดีที่สุดคือในกรณีของกราฟ acyclic) แทนที่จะเป็น

ตามที่ร้องขอ ฉันคิดว่าคำตอบที่ถูกต้องที่นี่คืออัลกอริทึมที่คุณกำลังมองหาอาจไม่มีอยู่

O (V \times E)

$O(V\times E)$

O (V + E)

$O(V+E)$

— Carlos Linares López

1

ตกลงว่ายังไม่ชัดเจนว่าสิ่งที่คุณขอมีอยู่ มีค่อนข้างเอกสารไม่กี่คนที่จะได้รับการจืดถ้ามีขั้นตอนวิธีการดังกล่าวเช่นมีsciencedirect.com/science/article/pii/0012365X9390164O ที่กล่าวว่าหากคุณมีความเฉพาะเจาะจงมากขึ้นเกี่ยวกับแรงจูงใจของคุณสิ่งที่อาจมีวิธีการเฉพาะเจาะจงมากขึ้น ตัวอย่างเช่นคุณรู้อะไรเกี่ยวกับกราฟหรือ

ทำงานอีกหรือไม่

O (n (n + m))

$O(n(n+m))$

— William Macrae

ฉันเห็นปัญหาอยู่ที่ไหนสักแห่ง แต่ไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมบางทีพิมพ์ผิดในปัญหา

— Karan

1

ถ้าคุณทำโทโพโลยีจัดเรียงใน DAG ของคุณ แต่ติดตามจุดยอดที่เข้าถึงได้โดยใช้เด็กเช่น

r e a c h a b l e [v] = \cup_{v^{'} \in c h i l d r e n_{v}} r e a c h a b l e [v^{'}]

$reachable[v] = \cup_{v' \in children_v} reachable[v']$ แล้วเริ่มต้นจากรายการล่าสุดในกราฟที่เรียงลำดับและลบขอบที่ไม่ได้ใช้และไปถึงโดยการรักษาฟังก์ชั่นที่เข้าถึงได้นี้จะช่วยให้คุณเต็มที่ขอบไปได้ที่จะลบ แต่ผมไม่แน่ใจว่าจะได้รับความเป็นไปได้สูงสุด (มัน

.

O (| E | + | V |)

$O(|E|+|V|)$

8

เราสามารถแก้ปัญหานี้ได้เพียงแค่ทำ DFS จากแต่ละจุดสุดยอด

สำหรับแต่ละจุดยอดให้เริ่ม DFS จากแต่ละจุดสุดยอดเช่นนั้นคือการสืบทอดโดยตรงของเช่น เป็นขอบ $u \in G$ $v$ $v$ $u$ $(u,v)$
สำหรับแต่ละจุดสุดยอดสามารถเข้าถึงได้โดย DFS จากเอาขอบ ) $v'$ $v$ $(u, v')$

ความซับซ้อนโดยรวมที่กล่าวมาเป็นความซับซ้อนของการทำงาน DFS' ซึ่งเป็น ) $N$ $O(N(N+M))$

— pratyaksh
แหล่งที่มา

1

โปรดทราบว่า asymptotically นี้มีความซับซ้อนเช่นเดียวกับอัลกอริทึม

ในบทความ Wikipedia ที่เชื่อมโยงในคำถามตัวเอง

O (N M)

$O(NM)$

— David Richerby

1

ตกลง เนื่องจากคำตอบสั้น ๆ นั้นเป็นเพราะคำถามนี้ฉันจึงเสนอคำตอบหนึ่งข้อ นอกจากนี้โซลูชัน

คือ IMO ไม่น่าเป็นไปได้

O (N)

$O(N)$

— pratyaksh

3

$O(|E|)$

$u$ $v$
$u$ $(v,u)$
$w$ $u$ $v$ $(v,w)$
$(v,v')$ $v'$ $v$

$v$ $(v',v)$ $v$

$O(|E|)$

— AJed
แหล่งที่มา

1

เล็มม่า:หากมีขอบ V -> Y และ Y ก็เป็นตัวสืบทอดทางอ้อมของ V เช่น (V -> W -> + Y) ดังนั้นขอบ V -> Y เป็นสกรรมกริยาและไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของรากสกรรมกริยา

วิธีการ:ติดตามการปิดสกรรมกริยาของแต่ละจุดสุดยอดการทำงานจากขั้วไปยังจุดเริ่มต้นในลำดับทอพอโลยีย้อนกลับ เซตของผู้สืบทอดทางอ้อมของ V คือการรวมตัวกันของการปิดสกรรมกริยาของผู้สืบทอดโดยตรงของ V. การปิดสกรรมกริยาของ V คือการรวมกันของผู้สืบทอดทางอ้อมและผู้สืบทอดที่เป็นปัจจุบัน

ขั้นตอนวิธีการ:

    Initialise Visited as the empty set.
    For each vertex V of G, 
        Invoke Visit(V).

    Visit(V):
        If V is not in Visited,
            Add V to Visited, 
            Initialise Indirect as the empty set,
            For each edge V -> W in G,
                Invoke Visit(W),
                Add Closure(W) to Indirect.
            Set Closure(V) to Indirect.
            For each edge V -> W in G,
                Add W to Closure(V),
                If W is in the set Indirect,
                    Delete the edge V -> W from G.

นี่ถือว่าคุณมีวิธีที่มีประสิทธิภาพในการติดตามชุดของจุดยอด (เช่นแผนที่บิต) แต่ฉันคิดว่าสมมติฐานนี้ทำในอัลกอริทึมO (V + E) อื่น ๆด้วย

ผลข้างเคียงที่มีประโยชน์ที่อาจเป็นประโยชน์คือพบว่าการปิด transitive ของแต่ละจุดยอดของ G

— DRBD
แหล่งที่มา

ฉันได้ลบคำตอบที่โพสต์ในบัญชีก่อนหน้าของคุณ หากคุณยังคงต้องการที่จะรวมบัญชีทั้งสองของคุณโปรดทำตามขั้นตอนในส่วนของศูนย์ช่วยเหลือ ดังที่กล่าวไว้เนื่องจากบัญชีก่อนหน้านี้ไม่มีเนื้อหาที่มองเห็นได้อีกต่อไปคุณสามารถยึดติดกับบัญชีใหม่ได้

— Gilles 'SO- หยุดความชั่วร้าย'

0

ฉันแก้ไขปัญหาเดียวกัน แต่ไม่เหมือนกันทั้งหมดฉันขอค่าต่ำสุดของขอบในกราฟหลังจากลดลงเพื่อให้จุดยอดที่เชื่อมต่อเดิมยังคงเชื่อมต่ออยู่และไม่มีการเชื่อมต่อใหม่ เนื่องจากเป็นที่ชัดเจนว่าไม่ได้บอกว่าจะหากราฟที่ลดลง แต่มีจำนวนขอบที่ซ้ำซ้อนอยู่ ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ใน O (V + E) เชื่อมโยงไปยังคำอธิบายhttps://codeforces.com/blog/entry/56326 แต่ฉันคิดว่าการทำกราฟจริงมันจะมีความซับซ้อนสูงกว่า O (N)

— Kumar Mohit
แหล่งที่มา