กำกับการค้นหายูเนี่ยน

พิจารณากราฟกำกับ$G$ที่หนึ่งสามารถเพิ่มขอบแบบไดนามิกและทำแบบสอบถามเฉพาะบางอย่าง

ตัวอย่าง: ฟอเรสต์ disjoint-set

พิจารณาชุดคำถามต่อไปนี้:

arrow(u, v)
equiv(u, v)
find(u)

คนแรกที่จะเพิ่มลูกศรจากกราฟที่สองตัดสินใจถ้ามึง↔ *วีคนสุดท้ายพบตัวแทนที่ยอมรับของชั้นสมมูลของ↔ * , เช่นR ( U )ดังกล่าวว่ายู↔ *วีหมายถึงR ( V ) = R ( U )$u→v$$u↔^*v$$↔^*$$r(u)$$u↔^*v$$r(v)=r(u)$

มีความเป็นอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีโดยใช้โครงสร้างข้อมูลป่าเคล็ดชุดดำเนินการคำสั่งเหล่านี้ในกึ่งคงตัดจำหน่ายซับซ้อนคือ(n)) หมายเหตุว่าในกรณีนี้จะดำเนินการใช้$O(α(n))$equivfind

ตัวแปรที่ซับซ้อนมากขึ้น

ตอนนี้ฉันสนใจปัญหาที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นซึ่งทิศทางสำคัญ:

arrow(u, v)
confl(u, v)
find(u)

คนแรกที่จะเพิ่มลูกศรวินาทีตัดสินใจถ้ามีโหนดสามารถเข้าถึงได้จากทั้งและคือ←วี อันสุดท้ายควรส่งคืนออบเจคต์เช่นที่หมายถึงโดยที่ควรคำนวณได้ง่าย (เพื่อที่จะพูดคำนวณ) เป้าหมายคือการหาโครงสร้างข้อมูลที่ดีเพื่อให้การดำเนินการเหล่านี้รวดเร็ว$u→v$$w$$u$$v$$u→^*←^*v$$r(u)$$u→^*←^*v$$r(u) \bullet r(v)$$\bullet$confl

รอบ

กราฟสามารถมีรอบ

ฉันไม่ทราบว่ามีวิธีในการคำนวณส่วนประกอบที่เชื่อมต่ออย่างมีประสิทธิภาพและเพิ่มขึ้นหรือไม่เพื่อพิจารณา DAG สำหรับปัญหาหลักเท่านั้น

แน่นอนฉันจะขอบคุณวิธีแก้ปัญหาสำหรับ DAG ด้วย มันจะสอดคล้องกับการคำนวณที่เพิ่มขึ้นของบรรพบุรุษร่วมกันน้อยที่สุด

วิธีการไร้เดียงสา

โครงสร้างข้อมูลฟอเรสต์ที่แยกจากกันนั้นไม่เป็นประโยชน์ที่นี่เนื่องจากมันไม่สนใจทิศทางของขอบ โปรดทราบว่าไม่สามารถเป็นโหนดเดียวในกรณีที่กราฟไม่ไหลมารวมกัน$r(u)$

หนึ่งสามารถกำหนดและการกำหนดเป็นเมื่อs_2 แต่วิธีคำนวณนี้เพิ่มขึ้น?$r(u)=\{v ∣ u→^*v\}$$\bullet$$S_1\bullet S_2$$S_1 ∩ S_2≠∅$

อาจเป็นไปได้ว่าการคำนวณชุดใหญ่นั้นไม่มีประโยชน์เลยชุดเล็กควรน่าสนใจยิ่งขึ้นเช่นเดียวกับในอัลกอริทึมค้นหายูเนี่ยน

( แก้ไข : เขียนคำตอบใหม่ทั้งหมดตอนนี้ความเข้าใจของฉันคือชัดเจน (ฉันหวังว่า) ชัดเจนขึ้น)

ดูเหมือนว่าปัญหานี้สามารถลดลงเป็นการสร้างแบบค่อยเป็นค่อยไปและปรับปรุงการประมาณของการปิดสกรรมกริยาของกราฟในขณะที่สร้างและค้นหากราฟ

$r(u)$คือนามธรรมชุดของโหนดทั้งหมดที่สามารถเข้าถึงได้จากทั้งและสำหรับทุกในกราฟ (แน่นอนว่าไม่ใช่ทุกคู่จำเป็นต้องมีโหนดที่สามารถเข้าถึงได้จากทั้งคู่) ไม่เหมือนกรณีที่พบในยูเนี่ยนชุดนี้ไม่สามารถแสดงเป็นโหนดตัวแทนที่เป็นที่ยอมรับในกราฟเพราะ อาจจะมีโหนดที่สามารถเข้าถึงได้จากทั้งและและจากทั้งและที่มียังคงไม่สามารถเข้าถึงได้จากทั้งและW$u$$v$$v \ne u$$u, v$$u$$v$$u$$w$$v$$w$

สมมติว่าคุณรักษาไว้สำหรับทุก ๆชุดของโหนดที่เข้าถึงได้จาก (ฉันจะเรียกสิ่งนี้ว่า ) ชุดเหล่านี้จำเป็นต้องเป็นโครงสร้างข้อมูลพิเศษสำหรับแต่ละโหนดหรืออย่างน้อยชุดของ "ทางลัด" พิเศษขอบในกราฟ หากคุณไม่สนใจเกี่ยวกับการรักษาโครงสร้างที่ระบุของกราฟคุณไม่จำเป็นต้องแยกแยะระหว่างขอบเหล่านี้กับขอบที่ระบุ$u$$u$$R(u)$

ฉันไม่มีความคิดใด ๆ เลยสำหรับโครงสร้างข้อมูลที่รวบรวมสิ่งนี้ซึ่งมีประสิทธิภาพมากกว่ากรณีทั่วไป (เช่นบิตเวกเตอร์หรือตารางแฮช) แต่คุณสามารถอัปเดตชุดเหล่านี้แบบเพิ่มเติมได้:

เวลาที่คุณเพิ่มขอบจากบางโหนดอื่น ๆคุณตั้งค่า(V)$u$$v$$R(u) = R(u) \cup R(v)$

ใช้งานconflโดยลองก่อน หากไม่ใช่ค่าว่างให้ส่งคืนค่าจริง แต่ถ้ามันเป็นที่ว่างเปล่าทำคู่ขนานสองค้นหากว้างแรกจากและจนกว่าคุณจะหมดทั้งสองชุดสามารถเข้าถึงได้หรือหาโหนดในการร่วมกัน ในขณะที่คุณทำสิ่งนี้ให้อัปเดตและ (และของโหนดกลางทั้งหมดที่คุณค้นหา) เพื่อรวมโหนดที่เข้าถึงได้ที่คุณพบ และถ้าคุณพบโหนดในการร่วมกันตั้ง R (U) = R (V) = R (U) \ ถ้วย R (V)$R(u) \cap R(v)$$R(u)$$R(v)$$R(u)$$R(v)$$R$

find(u)เพียงแค่ส่งกลับ(U) ปัญหาคือว่าไม่ได้ดำเนินการอย่างหมดจดในแง่ของ ฉันไม่เห็นว่ามันจะเป็นไปได้อย่างไรถ้าอัลกอริทึมนั้นไม่เพิ่มขึ้น (เช่นคำนวณล่วงหน้าชุดทั้งหมดของโหนดทั้งหมดที่มีการปิดกราฟของสกรรมกริยา) อย่างไรก็ตามวิธีการส่วนเพิ่มควรให้ค่าตัดจำหน่ายที่ดีพอสมควร ค่าใช้จ่ายแม้ว่าฉันจะไม่รู้ว่ามันเข้าใกล้ชักช้า (อาจไม่เป็นเช่นนั้นคำตอบที่ไม่ถูกต้องจำเป็นต้องให้คุณเริ่มต้น BFS สองตัวแม้ว่าชุดของคุณจะอิ่มตัว แต่ก็ดูเหมือนว่าจะหลีกเลี่ยงไม่ได้ยกเว้นว่าอัลกอริทึมนั้นไม่ได้เพิ่มขึ้น)$R(u)$conflfind$R$$O(\alpha(n))$confl$R$

เสียงนี้เป็นจำนวนมากเช่นมันอาจจะเป็นกรณีพิเศษของLa Poutréและรถตู้ Leeuwen ของวิธีการรักษาปิดสกรรมกริยาของกราฟ

ฉันรู้ว่าสิ่งนี้ไม่ได้ตอบคำถามอย่างเต็มที่ แต่บางทีมันอาจช่วยชี้แจงได้และใครบางคนที่มีประสบการณ์มากขึ้นกับอัลกอริธึมกราฟสามารถให้โครงสร้างข้อมูลที่ดีขึ้นสำหรับการเข้ารหัสชุด$R$